分块矩阵及其运算

矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。

矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。

以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。

1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。

具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。

可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。

可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。

1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。

矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。

二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。

行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。

列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换教学目的：1. 介绍矩阵分块时的代数运算；2.讲解矩阵的初等变换及其应用;教学内容：第二章矩阵§2.3分块矩阵；§2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：§2.3 分块矩阵把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的 运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。

A11A21、矩阵的分块：定义2.9 用一些纵、 各个小矩阵称为 分块矩阵, 横虚线将矩阵 A 的子块。

A 分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为其中 A11也可以按行分块: 或按列分块: an A21A22a 21am1 a 11 a12 a 1na21 a22a2nA A 2am1am2amna 12 a 22 a m2a 1n a 2namnB B 2B n、分块矩阵的运算：对分块矩阵进行运算时, 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,但应保证运算的可行。

重点是初等变换的过程和应用A 221.分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:A 11 A 12 A1rB11B 12 B1rA21A22A 2r,B21 B22B 2r，A 21JB 21As1As2AsrBs1Bs2Bsr其中每一 A ij 与 B ij 的规格都对应相同，则规定加法为：AA 11 A21B 21B11 B21A 12B 12 A22 B22A 1rA2r B1rB 2r；；(2.26)As1Bs1As2Bs2AsrB srA11 A 12A1r设 为数，则规定数乘为：AA21A22A 2r；；(2.27)As1As2AsrA 1T 1A 2T 1A s T 1此外，规定转置为：A TA 1T 2 A 2T 2A s T 2。

(2.28)A 1T rA 2T rA s T r2.分块矩阵的乘法：定义2.11 设A 是mn 矩阵， B 是np 矩阵。

矩阵的运算和分块矩阵：数域 F 上 m ∗n 个数构成的数表。

虽然它只是⼀个数表，但这组数可以赋予多个不同的含义，如向量，⽅程系数，线性变换等，理解的⾓度不同，矩阵的运算便代表不同的含义。

单纯来看矩阵，其实就是⼀种书写⼿法，正是赋予了相应地运算，才能够使其具有⼀定地表现⼒。

1. 下⾯介绍下矩阵定义了哪些基本运算。

1）加减运算：两个 m ×n 的矩阵 A =(a ij ),B =(b ij )，两个必须为同型矩阵，它们的加法规定为(A +B )ij =a ij +b ij2）数乘运算：数 k 与矩阵 A 的乘积，记为 Ak 或者 kA ，规则为(kA )ij =(Ak )ij =ka ij3）矩阵转置：把矩阵 A 的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，称为 A 的转置矩阵，其规则为A T =(a ji )4）矩阵相乘：设矩阵 A =(a ij )ms ,B =(b ij )sn ，两个矩阵不必为同型矩阵，其乘法运算规定为AB =s∑k =1aik b kjm ×n以 k 来遍历，对于 A 矩阵，k 遍历第 i ⾏的每⼀个元素，对于 B 矩阵，k 遍历第 j 列的每⼀个元素，由于使⽤⼀个计数变量 k ， 故相乘的两个矩阵必须满⾜前⼀个矩阵的列数等于后⼀个矩阵的⾏数。

第 i ⾏第 j 列的内积和作为结果矩阵第 i ⾏第 j 列的值。

这样规定矩阵的乘法后，发现它具有很多合理性： 1）满⾜结合律：ABC = A (BC ) 2）满⾜分配律：A (B +C ) = AB +AC 但是不满⾜交换律，即 AB ≠BA 。

是不是很神奇，下⾯我们对结合律做⼀个证明： 设矩阵 A =(a ij )mn ,B =(b ij )np ,C =(c ij )pq ，则(ABC )ij =p∑k =1(AB )ik C kj =p∑k =1n∑l =1A il B lk C kj =p∑k =1n∑l =1A il B lk C kj=n ∑l =1p∑k =1A il B lk C kj=n∑l =1A il p∑k =1B lk C kj=n∑l =1A il (BC )lj =(A (BC ))ij注：理解连续求和，需要从外向内解读，相当于嵌套的 for 循环。

分块矩阵1 分块矩阵及其运算对矩阵进行＂分块＂是处理较高阶矩阵的一种常用技巧，分块矩阵的运算能使矩阵间的一些关系更清楚地反映出来．将n m ⨯矩阵A ()n m kl a ⨯=作如下分块s tm m m n st t t n s n s A A A A A A A A A A }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==()ts ij A ⨯其中ij A 是j i n m ⨯矩阵（s i ,,2,1 =，t j ,,2,1 =），m msi i=∑=1，n n tj j =∑=1．这里A 既是以数kl a 为元素的n m ⨯数字矩阵，又是以矩阵ij A 为元素的t s ⨯分块矩阵．注: 在分块矩阵中,每一行小矩阵有相同的行数,每一列小矩阵有相同的列数,在对一个矩阵进行分块时,一定要注意这一点.不能把分块矩阵简单地理解为“以矩阵为元素的矩阵”.比如: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 其中()()98,7,63,542122211211==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A A ,不是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A 的分块.分块矩阵的运算数字矩阵的运算可以用分块矩阵进行操作，换句话说，数字矩阵的运算可以转化为分块矩阵的运算．所以分块矩阵的运算不是矩阵的新运算，只不过是数字矩阵运算的一种新的运算方法，其运算的结果与数字矩阵的运算结果是一致的．加法 设()ts ijn m A A ⨯⨯=，()ts ijn m B B ⨯⨯=，其中ij ij B A ,是j i n m ⨯矩阵（s i .,2,1 =；t j ,,2,1 =），m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则()ts ij ij B A B A ⨯+=+．乘法 设()ts ijn m A A ⨯⨯=,()rt jkl n B B ⨯⨯=，其中ij A 是j i n m ⨯矩阵，jk B 是k j l n ⨯矩阵（s i .,2,1 =；t j ,,2,1 =；r k ,,2,1 =），m msi i=∑=1，n n t j j =∑=1，l l rk k =∑=1，则()r s ik C AB ⨯=C =，其中tk it k i k i ik B A B A B A C +++= 2211 （s i .,2,1 =；r k ,,2,1 =）．数乘 设()ts ijn m A A ⨯⨯=，则()ts ijkA kA ⨯=．分块矩阵的运算规则可以用一句话概括成“只要运算有意义，分块矩阵的运算可以按照数字矩阵的运算规则进行运算”．这里的“运算有意义”是指运算对矩阵行数、列数的相应要求，它包含三层意思：第一 分块之前的两数字矩阵运算要有意义（相加时两矩阵的行、列数分别相同；相乘时前一矩阵的列数要等于后一矩阵的行数）；第二 分块以后的两个分块矩阵的运算要有意义（相加时两分块矩阵的行、列数分别相同；相乘时前一分块矩阵的列数要等于后一分块矩阵的行数）；第三 各对子矩阵的运算要有意义（各对相加的子矩阵的行、列数分别相同；各对相乘的子矩阵中前一子矩阵的列数要等于后一子矩阵的行数）．要保证运算有意义，只需把握住分块环节即可，具体地说：在用分块方法作矩阵加法时，两数字矩阵行和列的分法应当分别一致；在用分块方法作矩阵乘法时，前一数字矩阵列的分法与后一数字矩阵行的分法应一致．注意：在分块矩阵的乘法中，各子矩阵的先后顺序不能随意颠倒，应与其母矩阵的先后顺序一致．下边证明分块矩阵的上述乘法规则．矩阵()nm ija A ⨯=的位于r i i i ,,,21 行、s j j j ,,,21 列的子块（也称为A 的子矩阵，A叫该子矩阵的母矩阵）记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r j j j i i i A 2121，以后总假定s r j j j i i i <<<<<< 2121,． 例如：由元素ij a 构成的子块为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=j i A a ij ； 由A 的第i 行元素构成的子块为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n i A a a a in i i 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----i A ）； 由A 的第j 列元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛j m A a a a mj j j 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j A ）； 由A 的第r i i i ,,,21 行元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧n i i i A r 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----r i i i A 21）；由A 的第s j j j ,,,21 列元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧s j j j m A 2112（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----s j j j A 21）． 由矩阵的乘法可知，AB 的),(j i 元等于A 的第i 行与B 第j 列元素的对应乘积之和，即： ))(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧j B iA j i AB ．由此易得 ))(()(21212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r s r j j j B i i i A j j j i i i AB ，即：AB 的位于r i i i ,,,21 行、s j j j ,,,21 列的子块等于A 的第r i i i ,,,21 行元素构成的子块与B 第s j j j ,,,21 列元素构成的子块的乘积． 特别地 B i A B i A i AB )())(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--------⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----，即：AB 的第i 行元素构成的子块等于A 的第i 行元素构成的子块与B 的乘积．)())(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧--------=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j B A j B A j AB ，即：AB 的第j 列元素构成的子块等于A 与B 的第j 列元素构成的子块的乘积．进一步有 ]))[(()(21212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r s r j j j HK B i i i A j j j i i i HK AB))()((2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=s r j j j K H B i i i A ．特别地 ))()(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧j K H B i A j i HK AB ，))(()(HK B i A i HK AB ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----，))(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j K H AB j HK AB ．下边证明分块矩阵乘法的计算规则：=ABt rtt n n n l tr r r l t l t n st t t n s n s m m m B B B B B B B B B A A A A A A A A A }}}{{{21212121212221212111212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s rm m m l sr r r l s l s C C C C C C C C C }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= C =其中tk it k i k i ik B A B A B A C +++= 2211 （s i .,2,1 =；r k ,,2,1 =），m m si i =∑=1，n ntj j=∑=1，l l rk k =∑=1．只需证明C 与AB 对应位置的元素相同．设C 的),(j i 元为ij c ，则ij c 必在C 的某个子块th kt h k h k kh B A B A B A C +++= 2211之中，设ij c 是kh C 的),(j i ''元，则 i m m i k '+++=-11 ，j l l j h '+++=-11 ，这里k m i ≤'≤1，h l j ≤'≤1．由于ij c 是th kt h k h k B A B A B A ,,,2211 的),(j i ''元之和．而ph kp B A 的),(j i ''元为kp A 的i '行与ph B 的j '列元素的对应乘积之和：))((⎭⎬⎫⎩⎨⎧'----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----'j B i A ph kp ．但是，kp A 的第i '行恰为A 的第i 行，kp A 所处的列恰为A 的第p p p p n n n n n n n +++++++++---111111,,2,1 列；ph B 的第j '列恰为B 的第j 列，ph B 所处的行恰为B 的第p p p p n n n n n n n +++++++++---111111,,2,1 行．（参看下图）i i n m m kt p k n st p k kp p k p n p k n k k k pp A A A A A A A A A ''-++----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛}})1()1()1(1)1(11111}}，p p j h l j h n n n pr h p th h p ph h p h l h p l p B B B B B B B B B }}}1111)1()1()1(1)1(1-'-'-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--所以))((⎭⎬⎫⎩⎨⎧'----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----'j B i A ph kp ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++++++++++++++------j n n n j n n j n n n n n i n n i n n i p p p p p p p p b b b a a a )()2()1()()2()1(111111111111),,,(jn n n n i j n n n n i j n n n n i p p p p p p b a b a b a )()()2()2()1()1(1111111111+++++++++++++++++++=---- ， 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'=))(())(())((2211j B i A j B i A j B i A c th kt h k h k ij )()()()()()1()1()()()1()1(1111111121211111j n n n n i j n n n n i j n n n n i j n n i j n in i i t t t t b a b a b a b a b a b a +++++++++++++++++++++++=--nj in j i j i b a b a b a +++= 2211，恰为AB 的),(j i 元，故C AB =．转置 设()ts ijA A ⨯=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111对分块对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，其中iA 是方阵，s i ,,2,1 =．有：１、s A A A A 21=；２、A 可逆当且仅当s A A A ,,,21 均可逆，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111s A A A A ； ３、A 的秩等于s A A A ,,,21 的秩之和．（此结论当i A 不是方阵时亦然）利用矩阵分块可以将矩阵乘积中的一些关系反映得更清楚，比如： 设()()l n jk nm ijb B a A ⨯⨯==,．对,A B 作如下分块，A 的每个元素为一块，B 的每一行为一块，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n mn m m n n n n n mn m m n n B a B a B a B a B a B a B a B a B a B B B a a aa a a a a a AB22112222121121211121212222111211， 由此可见，AB 的每个行向量是B 的行向量的线性组合．对,A B 作如下分块，A 的每一列为一块，B 的每个元素为一块，可得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nl n n l l n b b b b b b b b b A A A AB 21222211121121()n nl l l n n n n A b A b A b A b A b A b A b A b A b +++++++++= 221122221121221111由此可见，AB 的每个列向量是A 的列向量的线性组合．当0=AB 时，对,A B 作如下分块，A 整个作为一块，B 的每个列为一块，可得 ()()()()0002121===l l AB AB AB B B B A AB即有0=j AB （l j ,,2,1 =）．由此可见，B 的每个列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组0=Ax 的解．若对,A B 作下述分块，A 的每一行作为一块，B 整个为一块，可得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001121 B A B A B A B A A A AB m m即有0=B A i ，亦即0=''i A B （m i ,,2,1 =）．由此可见，A 的每个行向量是以B '为系数矩阵的齐次线性方程组0='x B 的解．例１ A 是n m ⨯矩阵，证明：（１） 存在矩阵0≠B 使⇔=0AB 秩n A <)(； （２） 存在矩阵0≠C 使⇔=0CA 秩m A <)(．证明：只证明（１），（２）的证法类似．（１）⇒：0=AB ，B ∴的每个列向量是齐次线性方程组0=Ax 的解．而0≠B ，可知0=Ax 有非零解，所以系数矩阵A 的秩＜未知量的个数n ，即：秩n A <)(．⇐：因为秩n A <)(，所以齐次线性方程组0=Ax 有非零解．以0=Ax 的若干非零解为列向量构造矩阵B ，则0≠B 且有分块矩阵的乘法可知0=AB ．2 分块矩阵的初等变换类似于数字矩阵，分块矩阵也有其初等变换和初等矩阵，而且它们之间的联系也与数字矩阵中两者之间的联系类似．广义初等变换下述三种变换称为广义初等行（列）变换： １、对换分块矩阵中两行（列）的位置；２、用一个非退化的矩阵D 左（右）乘分块矩阵某一行（列）中的所有元素； ３、用一个非零矩阵C 左（右）乘分块矩阵的某一行（列）后加于另一行（列）．注: ① 行变换左乘,列变换右乘.② 根据所作变换中矩阵运算的需要,对用来左乘或右乘的矩阵应有行、列上的自然要求.比如: 要将分块矩阵j i jt j j it i i m m A A A A A A j i A }}2121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=的第j 行左乘非零矩阵C 后加于第i 行,为了保证乘法可行,C 的列数就必须等于A 的第j 行子矩阵的行数j m ;而为了保证之后的加法可行,C 的行数就必须等于A 的第i 行子矩阵的行数i m ,所以C 应该是j i m m ⨯矩阵.广义初等矩阵对分块单位矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r n n n n E E E E21 （n nri i=∑=1）施行一次广义初等变换所得到的分块矩阵叫做广义初等矩阵．广义初等矩阵共有六类，它们是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P ：交换分块单位矩阵j i ,两行的位置所得到的广义初等矩阵； ()j iP ：交换分块单位矩阵j i ,两列的位置所得到的广义初等矩阵；()i D P )(：用非奇异矩阵D 左乘分块单位矩阵的第i 行所得到的广义初等矩阵； ())(D i P ：用非奇异矩阵D 右乘分块单位矩阵的第i 列所得到的广义初等矩阵；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j C i P )(：将分块单位矩阵的第j 行左乘C 后加于第i 行所得到的广义初等矩阵； ())(C j iP ：将分块单位矩阵的第j 列右乘C 后加于第i 列所得到的广义初等矩阵．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P j i E E E E E E E E ji n n n n n n n n r j ij i ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-111110()j iP j i E E E E E E E E ji n n n n n n n n r j jj i ii ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-11111()i D P )(i E E DE E in n n n r i i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-111())(D i P i E E DE E in n n n r i i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j C i P )(j i E E CE E ji n n n n r j i⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 ())(C j iP j i E E CE E ji n n n n r ji⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 由此可见这六类广义初等矩阵之间的关系：⎪⎪⎭⎫⎝⎛j i P ()j i P '=，()i D P )(＝())(D i P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛j C i P )(＝())(C i j P ．广义初等矩阵的转置：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'j i P ＝()j i P ，()j iP '＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P ；()()i D P i D P )()('='，()())()(D i P D i P '='；⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'i C j P j C i P )()(，()())()(C i j P C j i P '='．广义初等矩阵的逆：广义初等矩阵的行列式不为零，故可逆，且()j i P j i P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-j i P j iP 1；()()i D P i D P )()(11--=，()())()(11--=D i P D i P ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-j C i P j C i P )()(1，()())()(1C j i P C j i P -=-．广义初等变换与广义初等矩阵间的关系：对分块矩阵施行一次广义初等行变换相当于在其左边乘上一个相应的广义初等矩阵；对分块矩阵施行一次广义初等列变换相当于在其右边乘上一个相应的广义初等矩阵．注: ① 这里相应的广义初等矩阵是指将所作初等变换作用到分块单位矩阵上所得到的广义初等矩阵.此结果的证明与数字矩阵相应结果的证明相仿. ② 对应于n m ⨯数字矩阵A 的分块矩阵s tm m m n st t t n s n s nm A A A A A A A A A A }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯,n n m m t j j s i i ==∑∑==11,,相应的分块单位矩阵有两个,它们是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s m m m m E E E E21和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t n n n n E E E E21.对A 施行一次广义初等行变换,等于在A 的左边乘上一个由m E 经过相应的广义初等行变换得到的广义初等矩阵；对A 施行一次广义初等列变换相当于在其右边乘上一个由n E 经过相应的广义初等列变换得到的广义初等矩阵.③ 数字矩阵的初等变换和初等矩阵是广义初等变换和广义初等矩阵的特例,广义初等变换可以用若干次数字矩阵的初等变换来实现,所以在数字矩阵的初等变换下矩阵的不变性质在广义初等变换下也不变.例2 A 是n s ⨯实矩阵，证明：秩-'-)(A A E n 秩s n A A E s -='-)(．证明： 构造矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=n sE A A EB ，下边用两种方法化为对角分块矩阵求秩． 用s E 将A '和A 化为０，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-A A E E E A E E A A E E A E n sn s n s n s0000，所以秩=)(B 秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-A A E E n s0秩+)(s E 秩+='-s A A E n )(秩)(A A E n '-．用n E 将A '和A 化为０，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n s n sn s n s E A A E E A E E A A E E A E 0000，所以 秩=)(B +n 秩)(A A E s '-．比较上两式即得： 秩-'-)(A A E n 秩s n A A E s -='-)(．例３ C B A ,,是同阶方阵，证明Frobenius 不等式：秩+)(B 秩≥)(ABC 秩+)(AB 秩)(BC ．证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000AB BC B ABC AB B ABC B， ∴秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ABC B0秩⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0AB BC B ． 而 秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ABC B0秩+)(B 秩)(ABC ， 秩⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0ABBC B≥秩+)(AB 秩)(BC -＝秩+)(AB 秩)(BC ①． 所以： 秩+)(B 秩≥)(ABC 秩+)(AB 秩)(BC ．① 秩≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛0C B A 秩+)(B 秩)(C 的证明：设 秩1)(r B =,秩2)(r C =，则B 中有一个1r 级子式1B 不为0，C 中有一个2r 级子式1C 不为0．于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0C B A 中由11,C B 所在的行和列确定的21r r +级子式不为0，所以秩=+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛210r r C B A 秩+)(B 秩)(C ．对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A BC A B A CB 0,0,0的分块矩阵也有类似的结果．一般地，对三角形分块矩阵此结论亦然．比如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛rr r r A A A A A A21222111的秩∑=≥ri iiA 1）秩（（三角形分块矩阵的秩大于等于其主对角线上块的秩之和）．3 标准单位向量n 维列向量j e j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100 行 n j ,,2,1 =称为（第j 个）n 维标准单位向量．基本性质： 设()nm ija A ⨯=的行向量组为m ααα,,,21 ，列向量组为n βββ,,,21 ．１、⎩⎨⎧≠==='j i ji e e ij j i 01δ；2、i i A e α='，j j Ae β=，ij j i a Ae e ='； 由此，再利用分块矩阵的乘法规则可得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''r r i i i i i i A e e e ααα 2121，()()t t j jj j j je e e A βββ 2121= (1)()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''t r j j j i i i j j j i i i A e e e A e e e t r 21212121 (2)上述基本性质表明，可以利用标准单位向量将矩阵A 的任意一行、任意一列、任意一个元素、任意一个子矩阵用A 与标准单位向量的乘积表达出来，这对很多问题的讨论将带来帮助．通过以下几个例子能体会到这一点．例４ 设A 是n m ⨯矩阵，证明：若对任意n 维列向量x ，恒有0=Ax ，则0=A ． 证明 由已知，对标准单位向量n e e e ,,,21 ，有0=j Ae n j ,,2,1 =，而j j Ae β=是A 的第j 个列向量，即A 的每个列向量均为0，故0=A ．例５ 若对任意n 维列向量x ，恒有0='Ax x ，则A 是反对称矩阵．证明 取i e x =，则ii i i a Ae e ='=0 n i ,,2,1 =．再取j i e e x +=（j i ≠），则有ji ij i j j i j i j i a a Ae e Ae e e e A e e +='+'=+'+=)()(0，所以ji ij a a -=．总之A 是反对称矩阵．例６ 证明：与任意n 阶可逆矩阵可交换的矩阵必是数量矩阵．证明 设()nn ij a A ⨯=与任意可逆矩阵可交换，其行向量组和列向量组分别是nαα,,1 和n ββ,,1 ．取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n e e e ne e e n B2121221则BA AB =，即()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n αααβββ 212122比较等号两端矩阵的),(j i 元可得ij ij ja ia =，所以当j i ≠时，0=ij a ，即A 的主对角线以外的元素均为0，故A 为对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a A2211()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==n nn n nn e a e a e a e a e a e a 222111222111．取()n j i j i j i e e e e e e e e P 11111+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''=+-+-n j i j i j i e e e e e e e e 11111),(j i P =则PA AP =，由(1)式即得()n nn j j j i ii j j j i i i j jj i i i e a e a e a e a e a e a e a ea111111111111111+++---+++---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''=+++---+++---n nn j j j i ii j j j i i i j jj i i i e a e a e a e a e a e a e a e a111111********* 比较等号两端矩阵的),(j i 元可得jj ii a a =，即nn a a a === 2211，所以E a A 11=是数量矩阵．例７ 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯0001n n n EA ，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000k n k E A 1,,2,1-=n k ，0=nA．证明 ()032ne e e A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''=-1210n e e e ，对k （11-≤≤n k ）作归纳： 1=k 时，结论自然成立．假设m k =时结论成立（11-<≤n m ），即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000m n mEA ()0021 n m m e e e ++=． 考虑1+m 的情况，有=+1m A()()003232n m m m n m e A e A e A e e e A =．由性质２，j me A 是mA 的第j 个列向量，所以()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+-+++00000)1(321m n n m m m E e e e A． 又：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-00000000001111A e A e A EA AA n n （A e 1'是A 的第一个行向量故为０）．例8 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0001100001000100101 n E A 叫n 阶基础循环矩阵．证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00k k n k E E A ，1,,2,1-=n k ；n nE A=．证明 ()121-=n ne e e e A ，由本节性质２，有n e Ae =1，1-=j j e Ae n j ,,3,2 =． （*） 下边对k （11-≤≤n k ）作归纳： 1=k 时，结论自然成立．假设结论对1-k 成立（111-<-≤n k ），即 ()121321)1(100+-+-+-----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k n n k n k n k k n k e e e e e e E E A． 由分块矩阵的乘法及（*），()121321+-+-+--==k n n k n k n k k e e e e e e A AA A()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---+-+-0021121k k n k n nn k n k n E E e e e e e e e ． 由（＊）()()n n n n n n n E e e e e e e e e A E A AAA ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---12113211010 ． 上边例７、例8的结果是应该熟悉的结果．例９ 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---14322154312211321c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C nn n nn n的矩阵叫循环矩阵．证明：两个循环矩阵的乘积仍是循环矩阵．证明 C 是循环矩阵当且仅当⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-----01000000101221223121n n n n n n n E c E E c EE c E c E c C ． 利用上题结果，此式可写为11211213121010010010010-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E c E c E c E c E c C ．如果D 是另一个循环矩阵，由上可知D 亦可表为11211213121010010010010-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E d E d E d E d E d D ．由上题结果，CD 形如11211213121010010010001-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E b E b E b E b E b CD ，可见CD 是循环矩阵．例10 形如=F ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------121100010001000a a a a n n n的矩阵叫Frobenius 矩阵．(1) 求kF ，这里n k ≤≤2；(2) 证明：对满足n s <≤1的任意正整数s ，以及任意1+s 个不全为０的数s b b b ,,,10 ，均有00111≠++++--E b F b F b F b s s s s ．解 (1) ()αn e e e F 32= ，其中()'---=-11a a a n nα．由基本性质２1-=i i Fe e n i ,,3,2 =，n Fe =α (1)又： ,)(,)(,4312133211221e Fe e F F e F e Fe Fe F e F e Fe =======，如此可得11e F e i i -= n i ,,3,2 =． (2) 设()n kF βββ 21=，则111)1()()(---====j j k j k j kj Fe e F F Fe F e F βn j ,,3,2 =． (3)又：当n k =时，αβ)1()2(1111)(====-n n nFe e FF e F , (4)当1-≤n k 时，1)2(11+==k ke e F β． (5) 于是，当k 给定后，先由(4)或(5)求得1β，再由(3)逐个求得n βββ,,,32 ，从而得到()n k F βββ 21=．(2) 令E b F b F b A ss 01+++= ，下边证明A 有一个列不为０．101111111Ee b Fe b e F b e F b Ae s s s s ++++=--()00010102111)2(≠'=++++=-+ s s s s s b b b e b e b e b e b即A 的第一列01≠Ae ，故0≠A ．标准单位向量的定义及结论虽然简单，但在矩阵问题的处理中，却是不可忽视的基本功．。