关于函数图象的对称性研究——兼谈MATHEMATICA软件的应用
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第２６卷第７期 ２００８年７月 河南科学
ＨＥＮＡＮ ＳＣＩＥＮＣＥ Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．７ Ｊｕ１．２００８
文章编号：１００４—３９１８（２００８）０７—０７６８—０３
关于函数图象的对称性研究
一兼谈ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ软件的应用
詹玉， 王远民
（商丘职业技术学院，河南商丘４７６１００）
摘要：根据函数图象轴对称及点对称的基本原理，利用函数的泰勒级数展开式，来判定和寻找函数图象的对称轴 或对称中心． 关键词：函数；对称性；对称轴；中心对称 中图分类号：０ １７２．１ 文献标识码：Ａ
众所周知，奇函数的图像关于原点中心对称，偶函数的图像关于Ｙ轴对称．那么作为一般的函数厂 ），
该如何判断其是否为对称图形？如果是对称图形，那么又如何寻找对称轴或对称中心呢？关于这个问题，本文 进行了深入的研究．从图象轴对称及中心对称的基本原理出发，利用函数的泰勒级数展开式，来判定和寻 找函数图象的对称轴或对称中心．
引理１ 函数， ）的图像关于直线ｘ＝ａ对称的充要条件是， ） （ ）；函数， ）的图像关于点（口，６） 对称的充要条件是厂 ）＝２ｂ－ｆ（２ｎ＿ ）．
引理２如果函数．厂 ）的图像关于直线ｘ＝ａ对称，那么它的泰勒展开式中奇次项系数为０． 证明令 ．厂 ） ） ）， 其中． ）为／ ）在ｘ＝ａ处的泰勒展开式中奇次项之和，． ）为其偶次项之和， 则 ）＝ （２ｎ＿ ）， ）＝Ｊ￣（２ａ－ｘ）， 所以 ／ ） ） ）＝ （２ ） （２ｎ＿ ）， （１）
又因厂 ）的图像关于直线ｘ＝ａ对称，所以 厂 ）＝厂（２ ），
即 ／ ） （２㈣） （２ｎ＿ ） （２ ）， （２） 由（１），（２）式可知： （２ｎ＿ ） （２ｎ ） （２ｎ＿ ） （２ｎ ），
所以 （２ｎ—— ）＝０，即 ）＝０， 从而，（１）式的奇次项之和为零，故各奇次项的系数为零，引理得证．
引理３如果函数．厂 ）的图像关于点（ｎ，６）对称，那么．厂 ）在ｘ＝ａ处的泰勒展开式中偶次项的系数全为 零，即 为偶数时，厂∞（ｎ）：０且厂（ｎ）：６，（ ＞０）．
仿引理２的证明思路类似可证． 易证引理２和引理３的逆命题也真． 由前面的引理可得，寻找函数厂 ）的对称轴或对称中心的步骤如下：
１）令ｆ ）＝０ 如果该方程的所有实根是：ＸＩ ９孙孙…（有可能是无限多个）．则用数学软件ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ分别计算
出．厂 ）在ＸＩ ９ ：，孙…处的泰勒展开式．如果／ ）在其中某个点 处的泰勒展开式中只有 一 ）的偶次幂 （这里ｉ＝１，２，３，…），而所有的奇次幂都为０，Ｄ］ｌＪｆ（ｘ）的图像关于直线 对称．否则，进行第２）步．
２）令，” ）＝０ 如果该方程的所有实根是：¨，，， ，Ｙ －－（有可能是无限多个）．则用数学软件ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ分别计算 出／ ）在 ，ｙ２，ｙ３，…处的泰勒展开式．如果／ ）在其中某个点 处的泰勒展开式中只有 ＿ 的奇次幂
（这里 ＝１，２，３，…），而所有的偶次幂都为０，则／ ）的图像关于点 ，， ））中心对称．否则，进行第３）步．
收稿日期：２００８—０３—１０ 基金项目：河南省教育厅自然科学基金资助（２００５１０４８３００２） 作者简介：詹玉（１９６４一），男，河南商丘人，副教授，主要从事函数论的研究与教学工作．
维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年７月 詹 玉等：关于函数图象的对称性研究——兼谈ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ软件的应用 一７６９—
３）函数厂 ）的图像既不是轴对称也不是中心对称． 实际计算时，如果厂 ）的表达式较复杂，则取ｎ＝５；一般取ｎ＝ｌＯ．
例１讨论函数厂 ）＝Ｘ４－４、／ ＋６ｘ ＋４、／ ｘ＋ｌ图像的对称性．
解：求厂 ）的一阶导数：
ｌｎ［１ ２６３＝Ｄ［ ４＿４、／ 一 ＋６ ＋４、／ 一ｘ＋ｌ， ］，
Ｏｕｔ［１２６］＝４ ＼／ 一＋１２ｘ一１２＼／ ＋４ ，
求厂 ）：０的实数根：
ｌｎ［１２５］＝Ｓｏｌｖｅ［４ ３一ｌ２、／ 一 ｚ＋１２ ＋４、／ 一：：０， ］，
Ｏｕｔ［１２５］＝｛｛ — ），｛ — 一 ），｛ — ＋ ）），
分别在ＸＩ＝、／ ，Ｘ２＝、／ 一、／丁，Ｘ３＝、／ ＋、／丁处把厂 ）展开成泰勒级数：
ｌｎ Ｅｌｉ＝Ｓｅｒｉｅｓ［ 一４ ｘ３＋６ ２＋４ ｘ＋ｌ，｛ ， ，ｌＯ｝Ｉ，
Ｏｕｔ Ｅｌｉ＝９－６ 一 ） ＋ 一 ） ＋０［ 一 ］“，
ｌｎ［２］：Ｓｅｒｉｅｓ［ 一４ ３＋６ ２＋４ ＋ｌ，｛ ， 一 ，ｌＯ｝Ｉ，
Ｏｕｔ［２］＝ｌ２ 一 ＋ ） 一４ 一 ＋ ） ＋ 一、／ 一＋、／ 一） ＋０［ 一 ＋ ］“，
ＩｎＥ４Ｉ＝Ｓｅｒｉｅｓ［ 一４ ｘ３＋６ ２＋４ ｘ＋ｌ，｛ ， ＋ ，ｌＯ｝Ｉ，
Ｏｕｔ［４］＝ｌ２ 一Ｖ 一 ）ｚ＋４ 一 一 ），＋ 一 一 ） ＋０ 一 一 ］ＩＩ．
可见厂 ）在 ＝、／ 处的泰勒级数展开式中只有 一、／ ）的偶次幂，所以，厂 ）的图像关于直线 ＝、／ 对称．如图１所示．
１兰 ／
３ ～２ ～１ Ｏ １ ２ ３ —２．５ ●
图１ 函数 ＿４＼／ ＋６ｘ ＋４、／ ｘ＋ｌ的图像 Ｆｉｇ．１ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ＇１： Ａ．４－４～ ＋６ ＋４、／ 一ｘ＋ｌ ｉｍａｇｅ
例２讨论函数厂（ ）：Ｉｎ ＋ｌ＋＼ ）图像的对称性．
解：求厂 ）的一阶导数：
Ｉｎ Ｅ３１Ｉ＝Ｄ［１ｏ只 ＋ｌ＋、／ ］， ］，
ｌ＋ ±塾
Ｏｕｔ［３１］： ±塾 ， ｌ＋ ＋、／２＋２ ＋ 求厂 ）＝０的实数根：
ｌ＋ ２＋２ｘ
ｌ ［３２］：Ｓ…１［ 堕 ：： ， ｌ＋ ＋＼／芝 芝
Ｏｕｔ［３２］＝｛）， 无解，说明对定义域内任意的 ，ｆ ）≠０，
维普资讯 http://www.cqvip.com ——７７０—— 河南科学 第２６卷第７期
求 ” ）：
， ］，
／１＋ 塾一１ 一 塾 ： ＋ ｏｕ ［３３］：一 堕 ＋ 堕互
（１＋ ＋、／芝 ； ： ） １＋ ＋、／芝 ；
求 ” ）＝０的实数根：
ｆ １＋一 一１ ｌｎ［３４］：ｓ。ｌ、，。［一 ±生 ＋
（１＋ ＋、／２＋２ ＋ ）
ＯｕｔＥ３４］＝“ 一一１））， 在 。＝一１处把ｆｆｘ）展开成泰勒级数： （２＋２ ） １ ： 至 二亟．．。
， １＋ｘ＋￣ｖ／‘。２。。。‘’‘＋。。。。。２。。。。ｘ。。。。。。＋。。。。。ｘ。。。。—２—
Ｉｎ［３５］＝Ｓｅｒｉｅｓ［ＬｏｇＩｘ＋１＋ ］， ，一１，１０｝］，
Ｏｕｔ［３５］＝ ）一 ㈧）３＋斋 １）５－斋 ）７＋ ＋０［ｘ枷“， Ｏ ４Ｕ ｌｌＺ ｌ １）Ｚ
可见ｆｆｘ）在 ＝一１处的泰勒级数展开式中只有 ＋１）的奇次幂，且 （一１）＝０． 从而函数ｆｆｘ）的图像关于点（一１，０）中心对称．如图２所示．
４
２ ——一
．．．．．．．．。／ 二／ ０ ２ ４ Ｉ ●
－ － —４ ● ● ： ●
图２ 函数 ｌｎ ＋１＋、／ 丽）的图像
Ｆｉｇ．２ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｙ＝ｌｎ ＋１＋、／ ＿２）ｉｍａｇｅ
参考文献：
［１］ 华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．人民教育出版社，１９８１：１５６—１５８． ［２］北京大学数学力学系，高等代数［Ｍ］．人民教育出版社，１９７８：１４．４７． ［３］顾静相．经济数学基础［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版社，２０００：１１２—１１４． ［４］ 丁大正．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在大学课程中的应用［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００６：４３—４４－．５ １—５２，６０—６１
Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｓｙｍｍｅｔｒｙ
——ＣＯｎｃｕｒｒｅｎＵｙ Ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
Ｚｈａｎ Ｙｕ， Ｗａｎｇ Ｙｕａｎｍｉｎ （Ｓｈａｎｇｑｉｕ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌｌｙ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ ４７６１００，Ｈｅｎａｎ Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ ａｘｉａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂａｓｉｃ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， ｔｈｅ ｕｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔａｙｌｏｒ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ，ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ａｎｄ ｓｅｅｋｓ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ ｔｈｅ ａｘｉｓ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ
ｏｒ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｙｍｍｅｔｒｙ；ａｘｉｓ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ；ａｘｉａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ
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