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函数)sin(ϕω+=x A y 图象的对称轴与对称中心
新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼
摘要：
新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了
单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中
不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如
二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数
的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验
看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对
称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数
)sin(ϕω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。
关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数
函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对
折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备
对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转
180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称
该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的
对称中心。
正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，
它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴
对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的
“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2ππ+=k y ，
对称中心点为（0,πk ）,其中 Z k ∈。
正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 是由正弦函数x
y sin =演变而成。
一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对
称中心就可以快速准确的求出正弦型函数
)sin(ϕω+=x A y 的对称轴与对称中心。
若a x =是)sin()(ϕω+==x A x f y 的对称轴，则
A a f ±=)(；若)0,(a 是它的对称中心，则0)(=a f 。
函数)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法：令
1)s i n (±=+ϕωx ，得）（Z k 2
k ∈+=+ππϕωx ，则ωϕ
ππ222-+=k x （Z k ∈），所以函数)sin(
ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕ
ππ222-+=
k x ，其中 Z k ∈。 例1：函数)2
52sin(π+=x y 图象的一条对称轴方程是：
（ ）
（A ）2-π=x （B ）4-π=x （C ）8π=x （D ）4
5π=x 解：由性质知，令1)252sin(±=+πx 得2252π
ππ
+=+k x )(Z k ∈，即ππ-2k x =)(Z k ∈，取1=k 时，2-π=x ，故选（A ）。
例2：函数5
2sin 52cos x x y +=的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）。 解：)452sin(252sin 52cos π+=+=x x x y ，设1x ， 2x 分别是
其相邻两条对称轴与图象交点的横坐标，则有
由○2-○1得π=-)(52
12x x 可知，相邻两条对称轴之间的距离是 25π
。
函数)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法：令
)s i n (=+ϕωx ，得）（Z k ∈=+πϕωk x ，则
)(2Z k k x ∈-=ωϕπ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)(0k Z k ∈-），（ωϕπ成中心对称。
例3：设函数)32sin(2π+=x y 的图象关于点)0,(1x P 成中心对称，若]0,2[1π
-∈x ，则=1x ________.
解：由性质知， 令0)32sin(2=+πx 得ππ
k x =+32)(Z k ∈，即6
2ππ-=k x )(Z k ∈，所以函数)32sin(2π+=x y 图象的对称中心
是)0,6
2(ππ-k )(Z k ∈。 在62ππ-=k x 中，取0=k ，得]0,2[6-1π
π-∈=x 。 由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低
点的直线，因此只要把对称轴的方程代入到函数解析
式，函数就会取得最大值或最小值。易错点就在于很
多同学误认为由于正弦函数x y sin =的周期是πk 2，就会错误的令成2k 2ππϕω+=+x 。
通过类比可以得到余弦型函数)cos(ϕω+=x A y 的
对称轴方程是ωϕπ-=k x ，对称中心点是
)0,222(ω
ϕππ-+k ，其中Z ∈k 。
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