正弦函数图象的对称轴与对称中心

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

正弦函数相邻的两个对称中心的距离
正弦函数是数学中常见的一种基本函数，它在各个领域具有广泛的应用。

本文将重点介绍正弦函数相邻两个对称中心的距离以及其应用和意义。

首先，我们需要了解正弦函数的基本概念。

正弦函数是一个周期性函数，其定义为：f(x) = sin(x)（其中x 为自变量），它的周期为2π。

正弦函数具有对称性，即对于任意x 值，有f(x) = f(π - x)。

正弦函数的这些特性为其在解决实际问题和揭示数学性质方面提供了便利。

接下来，我们探讨正弦函数相邻两个对称中心的距离公式。

我们可以通过以下方式推导该公式：首先，正弦函数具有周期性，这意味着对于任意x 值，都有sin(x + 2π) = sin(x)。

其次，正弦函数具有对称性，即对于任意x 值，有sin(x) = sin(π - x)。

结合这两个特性，我们可以得到正弦函数相邻两个对称中心的距离公式：
d = 2 * |x|
其中d 表示相邻两个对称中心的距离，x 表示其中一个对称中心的横坐标。

正弦函数相邻两个对称中心的距离公式在解决实际问题和揭示数学性质方面具有重要意义。

首先，在实际问题中，该公式可以应用于测量角度或计算周期性变化现象。

例如，在物理、地理、生物等学科中，我们常常需要测量周期性变化的角度或距离，这时正弦函数相邻两个对称中心的距离公式就能发挥重要作用。

其次，在揭示数学性质方面，该公式突显了正弦函数的周期性和对称性。

正弦函数的这些性质为研究其他更复杂的数学函数奠定了基础。

综上所述，正弦函数相邻两个对称中心的距离公式在解决实际问题和揭示数学性质方面具有重要意义。

正弦函数对称点
对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈Z对称。

正弦函数是三角函数的一种。

对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

定义域
实数集r，可以扩展到复数集c
值域
[-1，1]（正弦函数有界性的彰显）
最值和零点
①最大值：当x=2kπ (π/2)，k∈z时，y(max)=1
②最小值：当x=2kπ (3π/2)，k∈z时，y(min)=-1
零值点：(kπ，0)，k∈z
对称性
1)对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈z等距
2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈z对称
周期性
最小正周期：2π
奇偶性
奇函数(其图象关于原点对称)
单调性
在[-(π/2) 2kπ,(π/2) 2kπ]，k∈z上是增函数
在[(π/2) 2kπ,(3π/2) 2kπ]，k∈z上就是减至函数
对称轴和对称中心求法
正弦函数存有最基本的公式：y=asin(wx ψ)，对称轴(wx ψ)=kπ ?π（k∈z），对称中心(wx ψ)=kπ （k∈z），求出x即可。

例子：y=sin(2x-π/3)，求对称轴和对称中心
对称轴：2x-π/3=kπ π/2，x=kπ/2 5π/12
对称中心：2x-π/3=kπ，x=kπ/2 π/6，对称中心为(kπ/2 π/6,0)。

三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos&sup2;α-sin&sup2;α=2cos&sup2;α-1=1-2sin&sup2;αtan(2α)=2tanα/(1-tan&sup2;α)cot(2α)=(cot&sup2;α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec&sup2;α/(1-tan&sup2;α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin&sup3;α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos&sup3;α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan&sup3;α)/(1-3tan&sup2;α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot&sup3;α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A&sup2;+B&sup2;)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A&sup2;+B&sup2;)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan&sup2;(a/2))cos(a)= (1-tan&sup2;(a/2))/(1+tan&sup2;(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan&sup2;(a/2))降幂公式sin&sup2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos&sup2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan&sup2;α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

sin函数图像的对称中心
sin函数的对称中心是kπ，0。

正弦函数y=sinx的对称中心就是曲线与x 轴的交点。

正弦函数是指对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为y=sinx。

函数的概况说明:
函数应该算是数学中最重要的概念之一，也是我们接触得比较多的数学对象，从小学到大学的数学学习之中，函数可以说无处不在。

如今我们以极为简洁的方式定义了函数，然而函数概念的发展却并不是一帆风顺的，大量的数学家耗费将近三个世纪的时间才最终形成了一套成熟的函数语音。

将自然现象和规律用数学方式表达出来并加以研究应当说是近代科学得以发展的一个重要原因，而函数在这个过程中几乎起着决定性的作用。

三角函数的周期性与对称性三角函数是数学中一种重要的函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本文将探讨三角函数的周期性与对称性。

一、周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。

对于三角函数来说，周期性是它们的重要性质之一。

1. 正弦函数的周期性正弦函数（sin(x)）是三角函数中最常见的函数之一。

它的图像是一条波浪形曲线，具有明显的周期性。

正弦函数的周期被定义为2π或360度。

换句话说，正弦函数在每个2π或360度的区间内都会重复相同的图像。

2. 余弦函数的周期性余弦函数（cos(x)）也是一种常见的三角函数。

它的图像是一个波峰波谷相间的曲线。

余弦函数的周期同样被定义为2π或360度，因此在每个2π或360度的区间内，余弦函数也会重复相同的图像。

3. 正切函数的周期性正切函数（tan(x)）和余切函数（cot(x)）是三角函数中较为特殊的两种函数。

正切函数的周期为π或180度，而余切函数的周期也为π或180度。

这意味着在每个π或180度的区间内，正切函数和余切函数会重复相同的图像。

二、对称性对称性是指函数的图像相对于某个中心线具有镜像对称的特点。

在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有对称性，而正切函数和余切函数则不具备对称性。

1. 正弦函数的对称性正弦函数的图像以y轴为中心线具有对称性。

即当x取正值时，对应的正弦函数值与x取相同绝对值的负值时的函数值相等，这是因为正弦函数的图像在y轴处对称。

2. 余弦函数的对称性余弦函数的图像以y轴为中心线同样具有对称性。

与正弦函数类似，余弦函数的函数值在x取正值时与x取相同绝对值的负值时的函数值相等。

3. 正切函数和余切函数的无对称性与正弦函数和余弦函数不同，正切函数和余切函数没有对称性。

它们的图像不存在以y轴为中心线的镜像对称。

综上所述，三角函数具有周期性和对称性的特点。

正弦函数和余弦函数在每个2π或360度的区间内具有周期性，而正切函数和余切函数的周期为π或180度。

y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。

y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。

y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。

这是要记忆的。

对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。

（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。

以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（k π/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。

由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。

通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。

下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。

1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。

分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。

解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。

三角函数中的中心对称函数1. 引言三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

而在三角函数中，存在着一类特殊的函数，即中心对称函数。

本文将详细解释什么是中心对称函数，包括其定义、用途和工作方式等。

2. 中心对称函数的定义在三角函数中，如果一个函数满足f(x)=−f(−x)，则称该函数为中心对称函数。

换句话说，如果将该函数的图像以原点为对称轴进行翻转后，得到的图像与原图像完全重合，则该函数就是中心对称的。

常见的三角函数中存在两个具有中心对称性质的函数：正弦函数（sin）和奇数幂余弦函数（cos）。

2.1 正弦函数（sin）正弦函数是最基本、最常见的三角函数之一。

它可以表示一个圆上任意点在y轴上的投影值，并且满足以下定义：sin(x)=opposite ℎypotenuse其中，opposite代表与角度x相对应的直角三角形斜边上离x所在顶点最近点的边长，ℎypotenuse代表斜边的长度。

正弦函数是一个中心对称函数，即满足f(x)=−f(−x)。

这是因为正弦函数的图像以原点为中心，左右对称，即将一段正弦曲线翻转后可以得到与原曲线完全重合的曲线。

2.2 奇数幂余弦函数（cos）奇数幂余弦函数是另一个具有中心对称性质的三角函数。

它可以表示一个圆上任意点在x轴上的投影值，并且满足以下定义：cos(x)=adjacent ℎypotenuse其中，adjacent代表与角度x相对应的直角三角形斜边上离x所在顶点最远点的边长。

奇数幂余弦函数也是一个中心对称函数，即满足f(x)=−f(−x)。

和正弦函数类似，奇数幂余弦函数的图像以原点为中心，左右对称。

3. 中心对称函数的用途中心对称函数在数学、物理、工程等领域有着广泛而重要的应用。

下面将分别介绍它们在不同领域中的具体用途。

3.1 几何学在几何学中，中心对称函数可以用来描述和计算图形的对称性质。

通过正弦函数和奇数幂余弦函数，我们可以得到一些特殊角度的正弦值和余弦值，从而推导出一些特殊角度的三角函数值。

正弦、余弦函数的对称性一． 复习1.函数()f x 的图像关于直线x a =对称等价于()()f a x f a x -=+2. 函数()f x 的图像关于直线(,0)a 对称等价于()()f a x f a x -=-+二．研究()sin f x x =的对称性探索： 你能用诱导公式说明()sin f x x =关于原点和(,0)π对称，关于直线322x x ππ==和对称吗？（提示：如可用sin(2)sin x x π-=-说明()sin f x x =关于点(,0)π对称）总结：1.正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈;余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 对称轴是直线()x k k Z π=∈(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点).2.函数()sin(()cos(f x A x f x A x ωϕωϕω=+=+≠）或）（A 0）的对称性（1）()f x 关于直线x a =对称⇔()f a A =±，（2）()f x 的对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点(,0)a ，()0f a =说明：()f x 是奇函数⇔ ，()f x 是偶函数⇔()sin(()cos(f x A x f x A x ωϕωϕω=+=+≠）+b 或）+b （A 0）的对称中心为图象与直线x b =的交点(,)a b ，()f a b =三．例题、练习题：1. （07福建文5）函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 2. （安徽文15）函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号．．）．①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 3．函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）()A 512π ()B 116π ()C 1112π ()D 以上都不对 ．4.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 A.6π B.4π C. 3π D. 2π 5.（2009青岛一模）设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是 （ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 满足()()44f x f x ππ-=-+C ．把()f x 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像D ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数10已知函数()()sin 21f x x θ=-+满足()()33f x f x ππ-=+，设()()cos 21g x x θ=-+则()3g π= 课标要求了解函数对称性、周期性的概念，能应用对称、周期的概念解决问题。

1.正弦函数的对称轴和对称中心是什么？
答：正弦函数y=sinx的对称中心就是曲线与x轴的交点。

对称中心是：(kπ,0)；对称轴就是函数取得最值时的x的值，对称轴是：x=kπ＋π/2。

正弦在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。

通常，我们用x 表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

三角函数图像的对称轴与对称中心Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。

三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈． 3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心： 渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k π k Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+=()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________． 解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．。

y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。

y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。

y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。

这是要记忆的。

对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。

（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。

以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（kπ/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。

由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。

通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。

下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。

1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。

分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。

解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。

三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos&sup2;α-sin&sup2;α=2cos&sup2;α-1=1-2sin&sup2;αtan(2α)=2tanα/(1-tan&sup2;α)cot(2α)=(cot&sup2;α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec&sup2;α/(1-tan&sup2;α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin&sup3;α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos&sup3;α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan&sup3;α)/(1-3tan&sup2;α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot&sup3;α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A&sup2;+B&sup2;)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A&sup2;+B&sup2;)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan&sup2;(a/2))cos(a)= (1-tan&sup2;(a/2))/(1+tan&sup2;(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan&sup2;(a/2))降幂公式sin&sup2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos&sup2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan&sup2;α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。