三角函数图象的对称性

三角函数的像对称性与对称轴分析三角函数是数学中常见的函数类型之一，它包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

其中，正弦函数和余弦函数在图像上展现出像对称性，并且在对称轴上具有特殊的性质。

本文将着重分析三角函数的像对称性以及对称轴的特点。

一、正弦函数的像对称性与对称轴分析正弦函数的表达式为：y = sin(x)。

我们可以通过对其图像进行观察来探究其像对称性和对称轴的情况。

1. 像对称性观察正弦函数的图像，我们可以发现它在原点（0,0）处具有像对称性。

即，对于任意实数a，都有sin(-a) = -sin(a)。

这意味着，如果一个角度a使得sin(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得sin(-a)等于这个特定的值。

这种像对称性在数学运算和图像分析中具有重要的作用。

2. 对称轴正弦函数的图像相对于x轴是关于原点对称的。

也就是说，如果通过将正弦函数的图像沿着x轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。

因此，x轴即为正弦函数的对称轴。

二、余弦函数的像对称性与对称轴分析余弦函数的表达式为：y = cos(x)。

我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其像对称性和对称轴的特点。

1. 像对称性余弦函数也具有像对称性，即对于任意实数a，都有cos(-a) = cos(a)。

如果一个角度a使得cos(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得cos(-a)等于这个特定的值。

这种像对称性与正弦函数的像对称性相似，可以在数学运算和图像分析中发挥重要作用。

2. 对称轴余弦函数的图像相对于y轴是关于原点对称的。

也就是说，如果通过将余弦函数的图像沿着y轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。

因此，y轴即为余弦函数的对称轴。

三、三角函数的常见性质除了像对称性和对称轴这两个特点之外，三角函数还具有其他一些常见的性质。

以下列举其中几个重要的性质：1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期都是2π。

Z)，解出的 x 的值即为对称轴与 x 轴交点的横坐标．
4.已知函数
π
x＝6对称，则 φ＝(
C
)
π
A．－6
π
B.6
π
C．－3
π
D.3

π
π

f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线


解析：函数

π
π

f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线


π
x＝6对称，则
法一：由2
（x ） k，k Z
法二 : f (0) sin 2 0
k
对称中心( ,0)
2
2 k，k Z
k
由 0，
0
2


2


2
[变式]若函数y sin(2 x )( 0 )是R上的偶函数, 则 ___ .
3 4
2------------



3
2w
3
得w .
2


2w
...........-2

2w
融会贯通：

函数f ( x) 2 cos wx( w 0)在[0, ]上单调, 求w的范围.
3
7 1
k＝1 时，m＝14＝2，
13
k＝2 时，m＝14.
求三角函数对称轴和对称中心的方法
对于函数 y＝sin(ωx＋φ)(或 y＝cos(ωx＋φ))的图象的对称性，应将 ωx＋φ
看成一个整体，利用整体代入思想，令 ωx＋φ 等于

π

三角函数的周期与对称性三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。

在研究三角函数时，周期与对称性是两个重要的性质。

本文将讨论三角函数的周期与对称性，并且给出相关的定义和性质。

一、三角函数的周期1. 正弦函数的周期正弦函数是最基本的三角函数之一，在数学中用符号sin(x)表示。

正弦函数具有周期性，即它的函数值在一定的间隔内反复变化。

正弦函数的周期是2π（或360度），即sin(x+2π) = sin(x)。

这意味着当自变量x增加2π时，正弦函数的值会重复。

2. 余弦函数的周期余弦函数也是常见的三角函数，用符号cos(x)表示。

余弦函数同样具有周期性，其周期也是2π。

也就是说，当自变量x增加一个周期的长度，余弦函数的值会重新开始。

3. 正切函数的周期正切函数是tan(x)，它的周期是π（或180度）。

当自变量x增加π时，正切函数的值会重新开始。

4. 正割、余割和余切函数的周期正割函数(sec(x))，余割函数(csc(x))和余切函数(cot(x))的周期与它们的倒数函数的周期相同。

这意味着它们的周期分别是2π、2π和π。

二、三角函数的对称性1. 正弦函数的对称性正弦函数具有奇对称性。

也就是说，对于任何实数x，有sin(-x) = -sin(x)。

这表示正弦函数以坐标原点为对称中心呈现镜像对称。

2. 余弦函数的对称性余弦函数具有偶对称性。

对于任何实数x，有cos(-x) = cos(x)。

这意味着余弦函数以y轴为对称中心呈现轴对称。

3. 正切函数的对称性正切函数具有周期性和奇对称性。

即tan(-x) = -tan(x)，而且tan(x+π) = tan(x)。

这表示正切函数以坐标原点和间隔为π的位置为对称中心，可以同时看作奇对称和周期性的体现。

4. 正割、余割和余切函数的对称性正割函数、余割函数和余切函数的对称性与它们的倒数函数的对称性相同。

正割函数具有偶对称性，余割函数具有奇对称性，余切函数具有周期性和奇对称性。

24
1．(教材改编题)y＝sin(x－π4)的图象的一个对称中心是( )
A．(－π，0)
B．(－34π，0)
C．(34π，0)
D．(π2，0)
【解析】 令 x－π4＝kπ，∴x＝kπ＋π4，k∈Z. 令 k＝－1，得 x＝－43π，y＝0.
【答案】 B
三角函数的对称性
例3
作业： 求函数y sin( 1 x )的对称中心和对称轴
y=cosx的图象对称中y 心为：(k


2
，0 )， k

Z.
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例5、y sin(2x 5 )的一条对称轴是（ C ）
4
A、x B、x C、x D、x 5
2
4
8
4
该函数的对称中心为
( k
2
，0)，k Z
8
.
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
C.x
12
y
D.x 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1

2
3 2
2
5 3
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为

三角函数诱导公式和函数的对称性作者：宋英来源：《新课程·教师》2016年第01期三角函数的诱导公式我们比较熟悉，但对一些公式所反映的对称性并不熟悉。

下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧。

一、轴对称定理一如果函数y=f（x）满足f（x+a）=f（x-a）或f（x）=f（2a-x），函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。

证明：设函数y=f（x）的图象上的任意一点为P（x，y），点P关于直线x=a的对称点p （2a-x，y），显然有y=f（x）。

说明点p（2a-x，y）也在函数的图象上。

由点P的任意性，说明函数y=f（x）图象关于直线x=a对称。

例如：三角函数诱导公式cos（2kπ-x）=cosx，k∈Z，函数y=cosx的图象对称轴为x=kπ，k∈Z；sin（2kπ+π-x）=sinx，k∈Z，函数y=sinx的图象对称轴为x=kπ+ ，k∈Z。

二、中心对称定理二如果函数y=f（x）满足y=f（2a-x）=-f（x）或=f（a-x）=-f（a+x）函数y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称。

证明：设函数y=f（x）的图象上的任意一点为P（x，y），点P关于点（a，0）的对称点p（2a-x，-y）由f（2a-x）=-f（x），则-y=f（2a-x）说明点p（2a-x，-y）也在函数y=f（x）的图象上。

点P的任意性，说明函数y=f（x）图象关于点（a，0）成中心对称。

例如：三角函数诱导公式sin（2kπ-x）=-sinx，k∈Z就说明y=sinx的函数图象关于点（a，0）成中心对称；由cos（2kπ+π-x）=-cosx，k∈Z，说明函数y=cosx图象关于点（kπ+ ，0）成中心对称。

应用上述结论就比较容易解决人教版数学必修四教材第70页的第17题：1.用描点法画出函数y=sinx，x∈0，的图象。

2.如何根据第1小题并应用正弦函数的性质得出函数y=sinx，x∈0，2π的图象？编辑温雪莲。

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例析三角函数对称性的两个结论的应用
作者：曾晓阳
来源：《数理化学习·高三版》2013年第08期
三角函数的对称性是其一个重要的性质，是高考考查的热点之一.本文通过三角函数的图
象给出两个简单有效的结论，以期能方便广大的读者理解和掌握相关的知识.
由正、余弦函数和正切函数的图象很容易得到以下两个重要的结论：
1.正、余弦函数在对称轴处取得最值，在对称中心处取得零值；
2.正切函数在对称中心处取得零值或其值不存在.
在应用以上两个结论时，往往最关键的是能找到所取三角函数值时对应的角α，我们可以借助三角函数线的概念简单地利用坐标系来表示它们之间的关系，如图1所示：
在解决三角函数有关对称性和奇偶性问题时，若能充分应用这两个结论及相应坐标系来处理角，可轻易达到目的.
一、在对称性问题中的应用
在处理三角函数对称性问题时，常碰到的是形如y=Asin（ωx+φ）的复合型函数，应用本文两个结论求解时只要将角ωx+φ看成整体.
二、在奇偶性问题中的应用
由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以三角函数的奇偶性问题完全可转化为三角函数的对称性问题来加以解决，“一法多用”可使得知识的掌握更为简单明了.
[福建省惠安第三中学（362100） ]。

03
三角函数的基本图像
正弦函数图像
1
正弦函数图像是周期函数，其周期为$2pi$。
2
正弦函数图像在$[0, pi]$区间内是单调递增的， 而在$[pi, 2pi]$区间内是单调递减的。
3
正弦函数图像关于直线$y = 0$对称，也即关于 原点对称。
余弦函数图像
余弦函数图像也是周期函数， 其周期为$2pi$。
在统计学中，三角函数用于描述数据的分布和变化规 律，如正态分布、泊松分布等。
计量经济学
在计量经济学中，三角函数用于建立经济模型和进行 预测分析，如时间序列分析、回归分析等。
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感谢您的观看
三角函数的有界性
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界函数， 其值域分别为[-1,1]。
有界性的应用
有界性是三角函数的一个重要性质，在解决 三角函数的值域、最值等问题中有着重要的 应用。
02
三角函数的对称性
轴对称
总结词
三角函数的图像关于y轴对称，这是由于三角函数的定义和性 质决定的。
振动与波动
三角函数在描述简谐振动和波动 问题时也经常用到，例如振幅、 相位、频率等参数都可以用三角 函数来表示。
电磁波
在研究电磁波的传播和辐射时， 三角函数也扮演着重要的角色， 如电磁波的极化、偏振等现象都 可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
01
机械振动
在机械工程中，三角函数被广泛 应用于描述各种振动现象，如弹 簧振荡、阻尼振荡等。
详细描述
三角函数在数学中有着广泛的应用，它们的图像具有特定的 对称性。例如，正弦函数和余弦函数的图像都是关于y轴对称 的。这种对称性是由三角函数的定义和性质决定的，对于理 解三角函数的性质和行为非常重要。

三角函数的对称轴
对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈Z对称。

正弦函数是三角函数的一种。

对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

定义域
实数集r，可以扩展到复数集c
值域
[-1，1]（正弦函数有界性的彰显）
最值和零点
①最大值：当x=2kπ (π/2)，k∈z时，y(max)=1
②最小值：当x=2kπ (3π/2)，k∈z时，y(min)=-1
零值点：(kπ，0)，k∈z
对称性
1)对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈z等距
2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈z对称
周期性
最小正周期：2π
奇偶性
奇函数(其图象关于原点对称)
单调性
在[-(π/2) 2kπ,(π/2) 2kπ]，k∈z上是增函数
在[(π/2) 2kπ,(3π/2) 2kπ]，k∈z上就是减至函数
对称轴和对称中心求法
正弦函数存有最基本的公式：y=asin(wx ψ)，对称轴(wx ψ)=kπ ?π（k∈z），对称中心(wx ψ)=kπ （k∈z），求出x即可。

例子：y=sin(2x-π/3)，求对称轴和对称中心
对称轴：2x-π/3=kπ π/2，x=kπ/2 5π/12
对称中心：2x-π/3=kπ，x=kπ/2 π/6，对称中心为(kπ/2 π/6,0)。

三角函数中的中心对称函数1. 引言三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

而在三角函数中，存在着一类特殊的函数，即中心对称函数。

本文将详细解释什么是中心对称函数，包括其定义、用途和工作方式等。

2. 中心对称函数的定义在三角函数中，如果一个函数满足f(x)=−f(−x)，则称该函数为中心对称函数。

换句话说，如果将该函数的图像以原点为对称轴进行翻转后，得到的图像与原图像完全重合，则该函数就是中心对称的。

常见的三角函数中存在两个具有中心对称性质的函数：正弦函数（sin）和奇数幂余弦函数（cos）。

2.1 正弦函数（sin）正弦函数是最基本、最常见的三角函数之一。

它可以表示一个圆上任意点在y轴上的投影值，并且满足以下定义：sin(x)=opposite ℎypotenuse其中，opposite代表与角度x相对应的直角三角形斜边上离x所在顶点最近点的边长，ℎypotenuse代表斜边的长度。

正弦函数是一个中心对称函数，即满足f(x)=−f(−x)。

这是因为正弦函数的图像以原点为中心，左右对称，即将一段正弦曲线翻转后可以得到与原曲线完全重合的曲线。

2.2 奇数幂余弦函数（cos）奇数幂余弦函数是另一个具有中心对称性质的三角函数。

它可以表示一个圆上任意点在x轴上的投影值，并且满足以下定义：cos(x)=adjacent ℎypotenuse其中，adjacent代表与角度x相对应的直角三角形斜边上离x所在顶点最远点的边长。

奇数幂余弦函数也是一个中心对称函数，即满足f(x)=−f(−x)。

和正弦函数类似，奇数幂余弦函数的图像以原点为中心，左右对称。

3. 中心对称函数的用途中心对称函数在数学、物理、工程等领域有着广泛而重要的应用。

下面将分别介绍它们在不同领域中的具体用途。

3.1 几何学在几何学中，中心对称函数可以用来描述和计算图形的对称性质。

通过正弦函数和奇数幂余弦函数，我们可以得到一些特殊角度的正弦值和余弦值，从而推导出一些特殊角度的三角函数值。

三角函数诱导公式和函数的对称性秭归二中 邮编:443600杜海柱三角函数的诱导公式我们比较熟悉,但对一些公式所反映的对称性并不熟悉.下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧.一. 轴对称定理一 如果函数y ()f x =满足()()f x a f x a +=-或()(2)f x f a x =-,函数y ()f x =的图像关于直线x=a 对称。

证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于直线x=a 的对称点'(2,)p a x y -，显然有y ()f x =。

()(2),f x f a x =-由则y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y -也在函数的图像上。

由点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于直线 x=a 对称。

例如 三角函数诱导公式()cos 2cos ,,k x x k z π-=∈函数cos y x =的图像对称轴为,x k k z π=∈；sin(2)sin ,k x x k z ππ+-=∈，函数sin y x =的图像对称轴为,2x k k z ππ=+∈。

二 . 中心对称 定理二 如果函数y ()f x =满足()2()()()f a x f x f a x f a x -=--=-+或 函数y ()f x =的图像关于点（a,0）成中心对称。

证明：设函数y ()f x =的图像上的任意一点为P （x,y ），点P 关于点（a,0）的对称点'(2,)p a x y --由(2)(),f a x f x -=-则-y=f(2a-x)说明点'(2,)p a x y --也在函数y ()f x =的图像上。

点P 的任意性，说明函数y ()f x =图像关于点（a,0）成中心对称。

例如：三角函数诱导公式sin(2)sin ,k x x k z π-=-∈，就说明函数sin y x = 的图像关于点（a,0） 成中心对称；由cos(2)cos ,k x x k z ππ+-=-∈，说明函数cos y x = 图像关于点(,0)2k ππ+ 成中心对称。

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。

2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。

3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。

4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。

5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。

6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。

对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。

三角函数图象的对称性质及其应用一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形性质1、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x 为函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程。

)cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x 为函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程。

例1、函数)62sin(3π+=x y 图象的一条对称轴方程是（ ）（A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，32π=x ，故选（B ）。

例2、函数)33cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是解：由性质1知， 令1)33cos(±=+πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)33cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程93ππ-=k x )(Z k ∈。

二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形性质2、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称； 例3、函数)62sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是（ ）（A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6(π解：由性质2知，令0)62sin(=-πx 得ππk x =-62)(Z k ∈，即122ππ+=k x )(Z k ∈，取0=k 时，12π=x ，故选（A ）。

三角函数的对称性三角函数是数学中重要的函数之一，它们的对称性在解决各种数学问题中起到了重要的作用。

本文将探讨三角函数的对称性及其应用。

一、正弦函数的对称性正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的图像呈现出对称的特点。

具体而言，正弦函数在原点O处具有对称轴x=0，这意味着对于任意实数x，有sin(-x)=-sin(x)。

这个性质称为正弦函数的奇性。

这种对称性可以通过图像来直观地解释。

以单位圆为例，设圆上一点P(x,y)，则对应的角度为θ。

现考虑点P'(-x,-y)，它与点P关于原点对称。

根据单位圆上的定义，点P和点P'对应的弧度相等，而正弦函数的值与角度的正负无关，所以有sin(θ)=sin(-θ)。

通过类似的推理，可以证明对于任意实数x，有sin(-x)=-sin(x)。

利用正弦函数的对称性，我们可以得到一些重要的性质。

例如，sin(π-x)=sin(x)，这是因为sin(-x)=-sin(x)和sin(π)=0。

这个性质在解决三角方程时非常有用。

二、余弦函数的对称性余弦函数是另一个重要的三角函数，它也具有对称性。

与正弦函数类似，余弦函数的对称轴也是x=0。

对于任意实数x，有cos(-x)=cos(x)，这意味着余弦函数是偶函数。

与正弦函数不同的是，余弦函数在单位圆上的解释与正弦函数相反。

设单位圆上的点P(x,y)，对应的角度为θ。

考虑点P'(-x,-y)，它与点P关于原点O对称。

由于余弦函数的值取决于点P到原点O的横坐标，所以cos(θ)=cos(-θ)。

同样，通过类似的推理可以证明cos(-x)=cos(x)对于任意实数x成立。

借助余弦函数的对称性，我们也可以得到一些重要的推论。

例如，cos(π-x)=-cos(x)，这是由cos(π)=-1和cos(-x)=cos(x)得到的。

这个性质在计算三角函数的值时常常被使用。

三、正切函数的对称性正切函数是另一个常用的三角函数，它的对称性与正弦函数和余弦函数有所不同。

三角函数图像的对称轴与对称中心Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。

三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈． 3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心： 渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k π k Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+=()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________． 解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．。

y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。

y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。

y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。

这是要记忆的。

对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。

（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。

以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（kπ/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。

由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。

通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。

下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。

1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。

分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。

解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。

π
直线 x ＝ 对称，则函数 g ( x )＝
6
sin x ＋ a cos x 的图象(
C )
(1)因为函数 f ( x )＝ a sin x ＋ cos x ( a 为常数， x ∈R)的图象关于直线 x
π
π
＝ 对称，所以 f (0)＝ f
6
3
＝ sin x ＋
3
2 3
cos x ＝
sin
3
3
，所以1＝
π
＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－ ， k ∈Z.
4
π
＋＋
4
π
为奇函数，所以φ＋
4
因此，选项D正确.
3.
π
(2024·河北衡水模拟)已知 x 0＝ 是函数 f ( x )＝
6
cos
π
2
− 3 cos φ＋
cos 3 x sin φ的一个极小值点，则 f ( x )的一个单调递增区间是(
＋
则f
π
−
4
＝－ 2 sin 2 −
π
4
＝ 2 cos 2 x ，为偶函数，A正确.
π
π

令2 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，则 x ＝ ＋ π， k ∈Z，
2
4
2
π

即 f ( x )的对称轴为 x ＝ ＋ π， k ∈Z，B错误.
4
2
因为 x ∈
π
π
，
3
2
，所以2 x ∈
所以 f ( x )单调递增，C正确.
(1)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ cos (π－ x )－ cos
C. π

三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚． 一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴． 2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１　函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ，Ｃ．ππ3x k k =+∈Z，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，．故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2　由函数2sin 3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３　函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z，Ｃ．πk k ∈Z，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ）．3．综合运用例４　已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ ≤≤，π2ϕ∴=．由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭A ，又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…．2(21),0,1,2,3k k ω∴=+= 当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥，π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。