【一等奖教案】 正弦函数图象的对称性

正弦函数图像教案第一章：正弦函数的定义与性质1.1 教学目标了解正弦函数的定义与基本性质学会用图像表示正弦函数掌握正弦函数的周期性与对称性1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中的一个角的正弦值，用符号sin 表示正弦函数的图像：正弦函数的图像是一条波浪形的曲线，称为正弦波正弦函数的周期性：正弦函数的图像每隔一个周期就会重复一次，周期为2π正弦函数的对称性：正弦函数是奇函数，具有轴对称和中心对称的性质1.3 教学活动引入正弦函数的定义，通过实际问题引入正弦函数的图像利用图形计算器或者软件绘制正弦函数的图像，观察其波浪形的特征引导学生通过观察图像，发现正弦函数的周期性和对称性进行小组讨论，让学生分享自己的观察和发现，进行互动交流1.4 作业与评估布置一些有关正弦函数定义与性质的练习题，让学生进行巩固练习对学生的作业进行评估，了解学生对正弦函数定义与性质的理解程度第二章：正弦函数的图像2.1 教学目标学会绘制正弦函数的图像了解正弦函数图像的各个部分掌握正弦函数图像的平移与伸缩变换2.2 教学内容正弦函数图像的绘制：通过图形计算器或者软件，绘制正弦函数的图像正弦函数图像的各个部分：包括最大值、最小值、零点和周期正弦函数图像的平移与伸缩变换：通过改变函数中的参数，实现图像的平移与伸缩2.3 教学活动利用图形计算器或者软件，引导学生自己绘制正弦函数的图像引导学生观察正弦函数图像的各个部分，理解其含义讲解正弦函数图像的平移与伸缩变换，通过实际操作进行演示进行小组讨论，让学生分享自己的绘制经验和发现，进行互动交流2.4 作业与评估布置一些有关正弦函数图像的练习题，让学生进行巩固练习对学生的作业进行评估，了解学生对正弦函数图像的理解程度第三章：正弦函数的应用3.1 教学目标学会应用正弦函数解决实际问题了解正弦函数在生活中的应用场景掌握正弦函数在数学、物理等领域的应用方法3.2 教学内容正弦函数的实际问题：通过实际问题引入正弦函数的应用正弦函数的应用场景：包括波动、振动、音乐等正弦函数在其他领域的应用：包括数学、物理、工程等3.3 教学活动引入正弦函数的实际问题，引导学生运用正弦函数解决通过实例讲解正弦函数在生活中的应用场景，让学生了解其应用广泛性讲解正弦函数在其他领域的应用方法，引导学生进行思考与探索进行小组讨论，让学生分享自己的应用经验和发现，进行互动交流3.4 作业与评估布置一些有关正弦函数应用的练习题，让学生进行巩固练习对学生的作业进行评估，了解学生对正弦函数应用的理解程度第四章：正弦函数图像的综合分析4.1 教学目标学会综合分析正弦函数图像掌握正弦函数图像的变换规律了解正弦函数图像在实际问题中的应用4.2 教学内容正弦函数图像的变换规律：包括平移、伸缩、反转等正弦函数图像在实际问题中的应用：通过实例分析正弦函数图像的实际意义综合分析正弦函数图像：通过观察图像，得出正弦函数的性质和规律4.3 教学活动引导学生通过观察正弦函数图像，发现图像的变换规律利用实例讲解正弦函数图像在实际问题中的应用，引导学生进行思考与探索进行小组讨论，让学生分享自己的分析和发现，进行互动交流4.4 作业与评估布置一些有关正弦函数图像综合分析的练习题，让学生进行巩固练习对学生的作业进行评估，了解学生对正弦函数图像综合分析的理解程度5.1 教学目标了解正弦函数图像在各个领域的应用探索正弦函数图像的拓展问题5.2 教学内容正弦函数图像的拓展问题：探索正弦函数图像在其他领域的应用和拓展问题5.3 教学活动利用实例讲解正弦函数图像在各个领域的应用，引导学生进行思考与探索提出正弦函数图像的拓展问题，引导学生进行思考与讨论5.4 作业与评估第六章：正弦函数图像的绘制与应用6.1 教学目标学会使用图形计算器或者软件绘制正弦函数图像能够应用正弦函数图像解决实际问题6.2 教学内容正弦函数图像的绘制：学习如何使用图形计算器或者软件绘制正弦函数图像正弦函数图像的应用：通过实际问题，学习如何利用正弦函数图像解决问题6.3 教学活动讲解如何使用图形计算器或者软件绘制正弦函数图像，并进行演示学生分组进行实验，自行绘制正弦函数图像，并尝试解决实际问题6.4 作业与评估布置一些有关正弦函数图像绘制与应用的练习题，让学生进行巩固练习对学生的作业进行评估，了解学生对正弦函数图像绘制与应用的理解程度第七章：正弦函数图像的变换7.1 教学目标学会正弦函数图像的平移、伸缩和反转等变换方法能够理解和应用这些变换方法解决实际问题7.2 教学内容正弦函数图像的平移：学习如何通过改变函数中的参数实现图像的平移正弦函数图像的伸缩：学习如何通过改变函数中的参数实现图像的伸缩正弦函数图像的反转：学习如何通过改变函数中的参数实现图像的反转7.3 教学活动讲解正弦函数图像的平移、伸缩和反转等变换方法，并进行演示学生分组进行实验，尝试对正弦函数图像进行各种变换，并解决实际问题7.4 作业与评估布置一些有关正弦函数图像变换的练习题，让学生进行巩固练习对学生的作业进行评估，了解学生对正弦函数图像变换的理解程度第八章：正弦函数图像在实际问题中的应用8.1 教学目标学会如何将正弦函数图像应用于实际问题中能够利用正弦函数图像解决实际问题8.2 教学内容正弦函数图像在物理中的应用：例如振动、波动等正弦函数图像在工程中的应用：例如信号处理、电路设计等正弦函数图像在数学中的应用：例如证明、分析等8.3 教学活动讲解正弦函数图像在实际问题中的应用，并进行演示学生分组进行实验，尝试利用正弦函数图像解决实际问题8.4 作业与评估布置一些有关正弦函数图像在实际问题中应用的练习题，让学生进行巩固练习对学生的作业进行评估，了解学生对正弦函数图像在实际问题中应用的理解程度第九章：正弦函数图像的进一步探索9.1 教学目标学会如何探索正弦函数图像的更深层次的性质和规律能够利用这些性质和规律解决更复杂的问题9.2 教学内容正弦函数图像的周期性：学习正弦函数图像的周期性及其应用正弦函数图像的对称性：学习正弦函数图像的对称性及其应用正弦函数图像的奇偶性：学习正弦函数图像的奇偶性及其应用9.3 教学活动讲解正弦函数图像的周期性、对称性和奇偶性等更深层次的性质和规律，并进行演示学生分组进行实验，尝试探索正弦函数图像的重点和难点解析1. 正弦函数的定义与性质重点：正弦函数的定义与基本性质的理解难点：正弦函数的周期性与对称性的深入理解2. 正弦函数的图像重点：正弦函数图像的绘制与观察难点：正弦函数图像的平移与伸缩变换的掌握3. 正弦函数的应用重点：正弦函数在实际问题中的应用场景的发现难点：正弦函数在数学、物理等领域的应用方法的探索4. 正弦函数图像的综合分析重点：正弦函数图像的综合分析方法的掌握难点：正弦函数图像的变换规律的应用难点：正弦函数图像在各个领域的应用的拓展6. 正弦函数图像的绘制与应用重点：图形计算器或者软件的使用方法难点：正弦函数图像在实际问题中的应用7. 正弦函数图像的变换重点：正弦函数图像的平移、伸缩和反转等变换方法的掌握难点：变换方法在实际问题中的应用8. 正弦函数图像在实际问题中的应用重点：实际问题中正弦函数图像的应用方法的发现难点：复杂实际问题的解决9. 正弦函数图像的进一步探索重点：正弦函数图像的更深层次的性质和规律的探索难点：性质和规律在更复杂问题中的运用本文主要分析了正弦函数图像的教学内容，从正弦函数的定义与性质，到正弦函数的图像，再到正弦函数的应用，是正弦函数图像的综合分析，接着是正弦函数图像的绘制与应用，之后是正弦函数图像的变换，再之后是正弦函数图像在实际问题中的应用，是正弦函数图像的进一步探索。

正弦函数的性质教案
教学目标：
1. 了解正弦函数的基本性质。

2. 学习如何利用这些性质解决与正弦函数相关的问题。

教学步骤：
一、导入
1. 提出问题：大家知道什么是正弦函数吗？可以举个例子吗？
2. 引入正弦函数的定义：正弦函数是一个周期为2π的周期函数，它的值域在[-1, 1]之间。

二、讲解正弦函数的周期性
1. 引导学生观察正弦函数的图像，并找出周期性的规律。

2. 提示学生记忆正弦函数的周期公式：T = 2π（其中T为周期）。

3. 解释为什么正弦函数的图像是周期性的，并举例说明。

三、讲解正弦函数的对称性
1. 引导学生观察正弦函数的图像，并找出对称性的规律。

2. 提示学生记忆正弦函数的两个对称性质：
- 关于原点对称：sin(-x) = -sin(x)
- 关于y轴对称：sin(pi - x) = sin(x)
3. 解释为什么正弦函数具有这些对称性，并举例说明。

四、讲解正弦函数的奇偶性
1. 引导学生观察正弦函数的图像，并找出奇偶性的规律。

2. 提示学生记忆正弦函数的奇偶性质：
- 正弦函数是奇函数：sin(-x) = -sin(x)
3. 解释为什么正弦函数是奇函数，并举例说明。

五、练习与应用
1. 指导学生进行正弦函数的练习题，包括确定周期、求特定值等。

2. 引导学生应用正弦函数的性质解决实际问题，例如计算物体的周期性振动等。

六、总结
1. 提醒学生正弦函数的周期性、对称性和奇偶性的特点。

2. 鼓励学生积极运用正弦函数的性质解决各类问题。

七、作业
布置合适的正弦函数练习题作为作业。

正弦函数图像教案第一章：正弦函数的定义与性质1.1 教学目标了解正弦函数的定义掌握正弦函数的性质1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中的锐角对边与斜边的比值，用符号sin 表示。

正弦函数的性质：正弦函数是周期函数，周期为2π；正弦函数的值域在[-1,1]之间；正弦函数在对称轴上对称。

1.3 教学活动教师通过实物或图形展示正弦函数的定义。

学生通过例题掌握正弦函数的性质。

教师引导学生进行小组讨论，探索正弦函数的其他性质。

1.4 作业与评估布置练习题，让学生巩固正弦函数的定义与性质。

在下一节课前进行小测验，评估学生对正弦函数的理解程度。

第二章：正弦函数图像的绘制2.1 教学目标学会绘制正弦函数的图像2.2 教学内容学习正弦函数图像的特点：振幅、周期、相位、对称性学习使用函数图像绘制工具绘制正弦函数图像2.3 教学活动教师演示如何使用函数图像绘制工具绘制正弦函数图像。

学生跟随教师的步骤，自行绘制正弦函数图像。

教师引导学生观察图像的特点，并与正弦函数的性质进行联系。

2.4 作业与评估布置练习题，让学生绘制其他函数的图像。

在下一节课前进行小测验，评估学生对绘制正弦函数图像的掌握程度。

第三章：正弦函数图像的应用3.1 教学目标学会使用正弦函数图像解决实际问题3.2 教学内容学习如何通过正弦函数图像找到函数的极值点学习如何通过正弦函数图像解决周期性问题3.3 教学活动教师通过示例讲解如何使用正弦函数图像找到极值点。

学生尝试解决实际问题，例如计算正弦函数在特定区间内的值。

教师引导学生讨论解决过程中遇到的问题，并提供帮助。

3.4 作业与评估布置练习题，让学生应用正弦函数图像解决实际问题。

在下一节课前进行小测验，评估学生对正弦函数图像应用的掌握程度。

第四章：正弦函数图像的综合应用4.1 教学目标能够综合运用正弦函数图像解决复杂的实际问题4.2 教学内容学习如何综合运用正弦函数图像解决多个变量的问题学习如何利用正弦函数图像进行优化问题4.3 教学活动教师通过示例讲解如何综合运用正弦函数图像解决复杂问题。

正弦函数的图像与性质教案教学目标：1. 了解正弦函数的定义和图像特点。

2. 掌握正弦函数的周期性和对称性。

3. 理解正弦函数的增减性和奇偶性。

4. 能够应用正弦函数的性质解决实际问题。

教学内容：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图像第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义2.2 周期性的图像表现第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义3.2 对称性的图像表现第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义4.2 增减性的图像表现第五章：正弦函数的奇偶性5.1 奇偶性的定义5.2 奇偶性的图像表现教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1. 引入正弦函数的概念，让学生回顾三角函数的定义。

2. 解释正弦函数的定义，即在直角坐标系中，正弦函数表示对边与斜边的比值。

1.2 正弦函数的图像1. 利用计算机软件或板书，绘制正弦函数的图像。

2. 解释正弦函数图像的波动特点，如周期性和振幅。

第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义1. 引入周期性的概念，让学生理解周期函数的定义。

2. 解释正弦函数的周期性，即每隔一个周期，函数值重复出现。

2.2 周期性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数周期性的图像。

2. 引导学生观察图像，理解周期性的特点。

第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义1. 引入对称性的概念，让学生理解对称函数的定义。

2. 解释正弦函数的对称性，即函数图像关于y轴对称。

3.2 对称性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数对称性的图像。

2. 引导学生观察图像，理解对称性的特点。

第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义1. 引入增减性的概念，让学生理解函数的增减性质。

2. 解释正弦函数的增减性，即在一定区间内，函数值的增减规律。

4.2 增减性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数增减性的图像。

2. 引导学生观察图像，理解增减性的特点。

正弦函数的图像与性质一．教学目标1. 知识和技能目标:<1>.理解正弦函数，余弦函数的图像<2>.会用五点法画正弦函数，余弦函数的图像<3>.理解正弦，余弦函数的基本性质：包括定义域，值域，奇偶性，对称性，对称中心，周期等2. 过程和方法目标<1>提高学生的观察能力，作图能力<2>巩固数形结合的思想方法，享受一题多解的乐趣<3>通过问题驱动，讨论探索培养学生的数学思维能力3. 情感态度与价值观<1>通过实际背景让学生感受到学习正弦函数的必要性<2>通过借助几何画板绘制正弦函数的图像让学生感受到数学图形的对称美，流畅美，循环美等二．教学重点和难点1. 重点：能用五点法画出正弦，余弦函数的图像，理解正弦，余弦函数的基本性质2. 难点：正弦函数图像的推导过程三．教学过程1. 课堂引入通过播放锦江乐园的摩天轮的运动以及单摆或弹簧振子的运动短片让学生了解正弦函数在实际生活中有着广泛的应用2. 问题驱动，探索新知问题一：函数sin y x =中的自变量是个实数，比如sin1应该怎么计算呢(或者说如何理解呢) 目的：让同学复习实数与弧度制一一对应的关系，从而理解sin y x =的定义探索一：如何画函数sin y x =的图像呢？课堂准备：在三角比的学习过程中学生已经知道 sin y x =的定义域，值域，奇偶性和周期性课堂预测：同学说：用描点法？老师：那你们列表描点看看在画的过程中，同学发现图像上的点上上下下，没有规律很难连起来 老师：有没有同学有办法能够少描一些点来画出图像呢？引导学生：利用周期性和奇偶性来把图像缩小到[0,2)π 间同学通过特殊点的描绘出sin y x =的大致图像问题二：画sin y x =的图像时，横坐标在以1位单位长度来画有什么不方便？目的：引导学生回答出横坐标应该以π为基本单位老师分析：描点法的图像不够精确，下面我们一起来探索一种精确的绘制sin y x =的图像的方法问题三：你能只用尺，圆规(不适用计算器)来绘制点(1,sin1)吗?目的：通过问题引导学生想到单位圆以及正弦线，从而引出通过单位圆和正弦线来绘制函数图像的方法，让学生体会到数形结合的数学思想方法课堂演示一：通过几何画板来演示用单位圆和正弦线来绘制sin y x =的图像问题四：如何快速绘制sin y x =的图像，通过观察回答图像中哪几个点是关键点？目的：引导学生总结出用五点法绘制函数的图像并能延拖函数探索二：通过函数图像总结正弦函数的基本性质探索过程中学生应该都能通过图像顺利发现性质(如单调性，对称性等)。

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）——正弦函数图象的对称性教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下）【教学目标】1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义，体会正弦函数的对称性.2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线2π=x 对称和关于点)0,(π对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合.【教学手段】计算机、图形计算器（学生人手一台）.【教学过程】一、复习引入1.展示生活实例对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.2．复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合； 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.3．作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？4．猜想图形性质经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）如何检验猜想是否正确？我们知道， 诱导公式x x sin )sin(-=-（∈x R ），刻画了正弦曲线关于原点对称，而x x cos )cos(=-（∈x R ），刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）二、探究新知分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.（一）对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线2π=x对称的研究. 1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线2π=x 的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见右图），在直线2π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律？给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在2π=x 左右对称取值时，正弦函数值相等.从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢? 教师组织学生通过合作的方式，对称地在2π=x 左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式)2sin()2sin(x x +=-（∈x R ）表示.请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P ),2(y x -π和P ′),2(y x +π在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？根据画图结果，可以看出，点P),2(yx-π和P′),2(yx+π关于直线2π=x对称.这样，正弦曲线关于直线2π=x对称，可以用等式)2sin()2sin(xx+=-ππ（∈x R）表示.这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.3．严格证明——证明等式)2sin()2sin(xx+=-ππ对任意∈x R恒成立请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？预案一：根据诱导公式ααπsin)sin(=-，有)2s in(x-π)]2(sin[x+-=ππ)2sin(x+=π.预案二：根据公式xx cos)2sin(=-π和xx cos)2sin(=+π，有)2s i n()2s i n(xx+=-ππ.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论α取任何实数，角απ-2和απ+2的终边总是关于y轴对称（见右图），他们的正弦值恒相等.这样我们就证明了等式)2sin()2sin(xx+=-ππ对任意∈x R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线2π=x对称.事实上，诱导公式xx sin)sin(=-π也可以由等式)2sin()2sin(xx+=-ππ推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线2π=x对称，是诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）的几何意义.阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线2π=x 对称可以用等式)2sin()2sin(x x +=-ππ（∈x R ）表示，通过对这一等式的严格证明，证实了我们猜想的正确性.上述等式与诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解. 第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.师生、生生交流，步步深入.问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于x 轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：ππk x +=2（∈k Z ）. 问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线ππk x +=2（∈k Z ）对称”吗？ 根据前面的研究，上述对称可以用等式)2s in()2s in(x k x k ++=-+ππππ（∈k Z ，∈x R ）表示.请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.证明预案：)2sin(x k -+ππ)]2(sin[x k +--=πππ)2sin(x k +-=ππ )]2(2sin[x k k +-+=πππ)2sin(x k ++=ππ.（二）对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数x y sin =（∈x R ）是奇函数，即x x sin )sin(-=-（∈x R ），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.第一阶段，对正弦曲线关于点)0,(π对称的研究.1．直观探索——从图象上探索在点)0,(π两侧的函数值的变化规律.2．数值检验——在π=x 左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.3．严格证明——证明等式)sin()sin(x x +-=-ππ对任意∈x R 恒成立. 预案一：根据诱导公式)2sin(απ-αsin -=，有)si n(x -π)](2sin[x +-=ππ )sin(x +-=π.预案二：根据诱导公式x x s i n )s i n (=-π和x x sin )sin(-=+π，有)sin()sin(x x +-=-ππ.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论α取任何实数，角απ-和απ+的终边总是关于x 轴对称（见右图），他们的正弦值互为相反数.事实上，等式)s in ()s in (x x +-=-ππ与诱导公式x x sin )2sin(-=-π是等价的. 这样，正弦曲线关于点0,(πx x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义. 第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.请同学尝试解决下列三个问题：1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式. 正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：)0,(πk （∈k Z ）（教师利用课件演示）.2．用等式表示“正弦曲线关于点)0,(πk （∈k Z ）对称”.上述对称可以用等式)sin(x k -π)sin(x k +-=π（∈k Z ，∈x R ）表示.3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明）三、课堂小结1．课堂小结（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式x x sin )sin(=-π与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2．作业（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.（2）找一个一般函数，如x a y sin +=，∈a a 为常数且R ，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.（3）思考：如何用等式表示函数)(x f 关于直线a x =对称，以及关于点),(b a 对称？（4）尝试证明函数xy 1=的图象分别关于直线x y =和直线x y -=对称.【教学设计说明】1．关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2．关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题， 引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点. 教学设计流程图如下：通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.3．信息技术在教学中的作用图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人人参与探索过程，帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容，提高他们对图形和数据信息的处理能力，培养信息素养．图形计算器和计算机相结合，力求使技术更有效地为教学服务．。

教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图像1.2 教学内容正弦函数的定义：y = sin(x)正弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，解释正弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像3. 分析正弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性1.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正弦函数图像完成课后练习题，巩固对正弦函数图像的理解第二章：正弦函数的性质2.1 教学目标了解正弦函数的性质能够应用正弦函数的性质解决问题2.2 教学内容正弦函数的单调性：增减区间正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数正弦函数的周期性：周期为2π正弦函数的值域：[-1, 1]2.3 教学步骤1. 介绍正弦函数的单调性，利用图像进行解释2. 解释正弦函数的奇偶性，利用数学公式进行证明3. 强调正弦函数的周期性，引导学生理解周期为2π4. 分析正弦函数的值域，解释正弦函数的取值范围2.4 练习与作业练习判断正弦函数的单调性、奇偶性和周期性完成课后练习题，应用正弦函数的性质解决问题第三章：余弦函数的定义与图像3.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图像3.2 教学内容余弦函数的定义：y = cos(x)余弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性3.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，解释余弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像3. 分析余弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性3.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的余弦函数图像完成课后练习题，巩固对余弦函数图像的理解第四章：正切函数的定义与图像4.1 教学目标了解正切函数的定义能够绘制正切函数的图像4.2 教学内容正切函数的定义：y = tan(x)正切函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性4.3 教学步骤1. 引入正切函数的概念，解释正切函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像3. 分析正切函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性4.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正切函数图像完成课后练习题，巩固对正切函数图像的理解第五章：正弦型函数的应用5.1 教学目标了解正弦型函数的应用能够解决与正弦型函数相关的问题5.2 教学内容正弦型函数在物理、工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等5.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例2. 解释正弦型函数在振动、波动、音乐等方面的作用3. 示例解决与正弦型函数相关的问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像5.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第六章：正弦型函数的积分与微分6.1 教学目标理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数6.2 教学内容正弦型函数的不定积分：基本积分公式正弦型函数的定积分：利用积分公式计算面积正弦型函数的导数：求导法则6.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数的不定积分，讲解基本积分公式2. 通过例题演示如何计算正弦型函数的定积分3. 讲解正弦型函数的导数，引导学生理解求导法则6.4 练习与作业练习计算正弦型函数的不定积分和定积分完成课后练习题，巩固对正弦型函数积分和导数的理解第七章：正弦型函数在坐标系中的应用7.1 教学目标学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像能够利用正弦型函数解决实际问题7.2 教学内容利用直角坐标系绘制正弦型函数的图像解决实际问题：如测量角度、计算物理振动等7.3 教学步骤1. 讲解如何在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像2. 通过实例演示如何利用正弦型函数解决实际问题7.4 练习与作业练习绘制不同类型的正弦型函数图像完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第八章：正弦型函数在三角变换中的应用8.1 教学目标理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换8.2 教学内容三角恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1 等正弦型函数的三角变换：和差化积、积化和差等8.3 教学步骤1. 讲解三角恒等式的含义和应用2. 讲解如何利用正弦型函数进行三角变换8.4 练习与作业练习运用三角恒等式进行计算完成课后练习题，巩固对正弦型函数在三角变换中应用的理解第九章：正弦型函数在工程和技术中的应用9.1 教学目标了解正弦型函数在工程和技术领域的应用学会解决与正弦型函数相关的工程问题9.2 教学内容正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的工程问题：如信号分析、电路设计等9.3 教学步骤1. 讲解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例2. 示例解决与正弦型函数相关的工程问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像9.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的工程问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际工程问题第十章：总结与拓展10.1 教学目标总结正弦型函数的图像和性质的主要内容了解正弦型函数在其他领域的拓展应用10.2 教学内容总结正弦型函数的图像和性质的关键点介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用：如地球物理学、天文学等10.3 教学步骤1. 回顾正弦型函数的图像和性质的主要内容，强调重点和难点2. 介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用，提供相关实例10.4 练习与作业复习正弦型函数的图像和性质的主要内容，巩固所学知识完成课后练习题，探索正弦型函数在其他领域的拓展应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像理解正弦函数的定义：y = sin(x)掌握正弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节二：正弦函数的性质掌握正弦函数的单调性：增减区间理解正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数认识正弦函数的周期性：周期为2π了解正弦函数的值域：[-1, 1]重点环节三：余弦函数的定义与图像理解余弦函数的定义：y = cos(x)掌握余弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节四：正切函数的定义与图像理解正切函数的定义：y = tan(x)掌握正切函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节五：正弦型函数的应用了解正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等重点环节六：正弦型函数的积分与微分理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数重点环节七：正弦型函数在坐标系中的应用学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像学会利用正弦型函数解决实际问题重点环节八：正弦型函数在三角变换中的应用理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换重点环节九：正弦型函数在工程和技术中的应用了解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的工程问题重点环节十：总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质的关键点了解正弦型函数在其他领域的拓展应用全文总结和概括：本教案涵盖了正弦型函数的图像和性质的各个方面，从基本定义到图像特点，再到性质和应用，每个环节都进行了深入的讲解和演示。

1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特点。

文章首先介绍了正弦函数和余弦函数在数学中的重要性，然后概述了本教案的主要内容和目的。

接着分别讨论了正弦函数和余弦函数的图像特点，包括周期、振幅、相位等。

通过具体的案例分析，帮助学生更好地理解函数图像的绘制方法和规律。

在结尾部分，对本教案进行了总结，并提出了相应的教学建议，同时展望了学生在学习正弦函数和余弦函数图像时可能取得的进展和突破。

通过本教案的学习，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，提高数学学习的效率和兴趣。

【关键词】正弦函数、余弦函数、图像、教案、概述、特点、案例分析、总结、教学建议、展望。

1. 引言1.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案正弦函数和余弦函数是高中数学中重要的函数之一，它们在数学中有着广泛的应用。

本教案将重点讲解正弦函数和余弦函数的图像特点，帮助学生更好地理解和掌握这两个函数的性质。

在学习正弦函数的图像特点时，我们将介绍正弦函数的周期、幅值、对称轴等基本概念，并通过实例演示如何绘制正弦函数的图像。

我们也会讲解正弦函数的性质，如奇偶性、单调性等，以便学生更好地应用正弦函数解决实际问题。

通过本教案的学习，学生将能够准确绘制正弦函数和余弦函数的图像，并理解它们的基本特点。

学生还将学会如何利用正弦函数和余弦函数解决实际问题，提高数学应用能力。

希望本教案能够对学生的数学学习起到一定的帮助，让他们更加喜爱数学这门学科。

2. 正文2.1 引言在本节课程中，我们将学习正弦函数和余弦函数的图像特点。

正弦函数和余弦函数是我们在数学中经常接触到的函数，它们在几何学、物理学等领域也有广泛的应用。

通过学习它们的图像特点，我们可以更好地理解它们的性质和规律。

正弦函数是一种周期函数，它的图像呈现出波浪形状。

正弦函数的周期为2π，在每个周期内有一个最大值和一个最小值，这些点称为正弦函数的极值点。

中学数学正弦函数的图象和性质教案中学数学正弦函数的图像和性质教案一、引言正弦函数是数学中重要的一类周期函数，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。

本教案将介绍正弦函数的图像和性质，通过图像展示和数学表达，帮助学生深入理解正弦函数的特点和应用。

二、图像展示正弦函数的图像是一条连续的波形，具有周期性。

我们首先通过计算和绘制来展示正弦函数的图像。

1. 定义正弦函数正弦函数记作y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。

正弦函数的定义域为全体实数，值域为闭区间[-1, 1]。

为了方便，我们先以角度作为自变量，再将其转换为弧度。

2. 绘制正弦函数的图像我们选取适当的自变量取值范围，例如：-2π ≤ x ≤ 2π。

3. 绘制坐标系在平面直角坐标系中，绘制x轴和y轴，并标出刻度和坐标点。

4. 计算函数值根据正弦函数的性质，计算各个自变量对应的函数值。

例如，计算x = π/2时的函数值为sin(π/2) = 1。

5. 绘制图像连接各个坐标点，绘制正弦函数的图像。

注意保证图像的连续性。

三、正弦函数的性质了解正弦函数的特点及性质，对我们进一步的应用和理解具有重要意义。

1. 周期性正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为2π。

即对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)。

2. 对称性正弦函数是奇函数，具有中心对称性。

即对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。

3. 函数值范围正弦函数的值域为闭区间[-1, 1]，即对于任意实数x， -1 ≤ sin(x) ≤ 1。

4. 单调性正弦函数在区间[-π/2, π/2]上递增，在区间[π/2, 3π/2]上递减。

即在一个最小正周期内，正弦函数先增后减，且在关于x轴的中心对称位置取得最值。

5. 零点正弦函数有无数个零点，其中一个重要的零点是x = 0。

对于一般情况，sin(x) = 0的解是x = kπ（k为整数）。

四、练习题为了加深学生对正弦函数图像和性质的理解，我们给出以下练习题。

正弦函数的图象和性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正弦函数的定义和图象特点；（2）掌握正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）能够运用正弦函数的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察正弦函数的图象，探索其性质；（2）运用数形结合的方法，理解正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对正弦函数图象和性质的兴趣；（2）培养学生积极参与数学探索的精神；（3）提高学生对数学美的感受，培养审美情趣。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正弦函数的定义和图象特点；（2）正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）运用正弦函数的性质解决实际问题。

2. 教学难点：（1）正弦函数的周期性和对称性的理解与应用；（2）运用数形结合的方法，探索正弦函数的性质。

三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪、正弦函数图象和性质的课件。

2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。

四、教学过程1. 导入：（1）复习已知函数的图象和性质，如一次函数、二次函数、反比例函数；（2）提问：正弦函数的图象和性质是什么？2. 新课讲解：（1）讲解正弦函数的定义和图象特点；（2）引导学生观察正弦函数的图象，探索其单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）运用数形结合的方法，讲解正弦函数的性质。

3. 课堂练习：（1）让学生独立完成教材中的相关练习题；（2）挑选学生上黑板演示和解说正弦函数的性质。

五、课后作业1. 完成教材中的课后练习题；2. 结合生活实际，寻找正弦函数的应用实例，下节课分享。

教学反思：本节课通过观察正弦函数的图象，引导学生探索其性质，培养了学生的数形结合思想。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的数学素养。

结合实际生活中的例子，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论正弦函数在不同区间的单调性，奇偶性，以及如何判断这些性质。

教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 教学目标了解正弦型函数的定义及标准形式掌握正弦型函数的周期性、奇偶性及对称性理解正弦型函数的相位变换1.2 教学内容正弦型函数的定义：y = A sin(Bx + C) + D标准形式：y = A sin(B(x α))周期性：T = 2π/B奇偶性：f(-x) = ±f(x)对称性：关于y轴对称或原点对称相位变换：通过平移、伸缩、翻折等变换1.3 教学活动引入正弦型函数的概念，引导学生从实际问题中抽象出正弦型函数讲解正弦型函数的标准形式，让学生理解各个参数的含义引导学生通过作图观察正弦型函数的周期性、奇偶性和对称性讲解相位变换，让学生了解如何通过变换得到不同的正弦型函数图像1.4 作业与练习练习1：根据给定的参数，画出正弦型函数的图像练习2：判断给定的正弦型函数的奇偶性和对称性练习3：通过相位变换，将一个正弦型函数变换为另一个正弦型函数第二章：正弦型函数的图像2.1 教学目标学会绘制正弦型函数的图像掌握正弦型函数图像的局部特征理解正弦型函数图像的物理意义2.2 教学内容正弦型函数图像的基本特点：波形、峰值、零点、相位局部特征：波峰、波谷、拐点物理意义：正弦型函数在工程、物理等领域的应用2.3 教学活动引导学生通过作图掌握正弦型函数图像的基本特点讲解波峰、波谷、拐点的形成原因，让学生理解正弦型函数的局部特征结合实际问题，让学生了解正弦型函数图像的物理意义2.4 作业与练习练习4：绘制给定参数的正弦型函数图像练习5：找出正弦型函数图像的波峰、波谷、拐点练习6：分析实际问题中正弦型函数图像的物理意义第三章：正弦型函数的性质3.1 教学目标理解正弦型函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性学会利用正弦型函数的性质解决实际问题3.2 教学内容单调性：了解正弦型函数的单调递增、单调递减区间奇偶性：f(-x) = ±f(x)周期性：T = 2π/B对称性：关于y轴对称或原点对称3.3 教学活动引导学生通过观察正弦型函数图像理解单调性、奇偶性、周期性、对称性讲解如何利用正弦型函数的性质解决实际问题3.4 作业与练习练习7：判断给定的正弦型函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性练习8：利用正弦型函数的性质解决实际问题第四章：正弦型函数的应用4.1 教学目标学会利用正弦型函数解决工程、物理等领域的实际问题了解正弦型函数在其他领域的应用4.2 教学内容工程领域：信号处理、电路设计等物理领域：振动、波动、电磁场等其他领域：数据通信、地球科学等4.3 教学活动结合实际问题，讲解正弦型函数在工程、物理等领域的应用引导学生了解正弦型函数在其他领域的应用4.4 作业与练习练习9：利用正弦型函数解决给定的工程、物理问题练习10：了解正弦型函数在其他领域的应用第五章：正弦型函数的导数与积分5.1 教学目标掌握正弦型函数的导数和积分公式学会运用导数和积分解决相关问题5.2 教学内容正弦型函数的导数：y' = A B cos(Bx + C)正弦型函数的积分：∫sin(Bx + C) dx = -A B/B cos(Bx + C) + D 应用：求解最大值、最小值、曲线长度、曲线下的面积等5.3 教学活动引导学生运用导数求解正弦型函数的极值、拐点等讲解如何利用积分求解曲线长度、曲线下的面积等5.4 作业与练习练习11：求解给定正弦型函数的导数和积分练习12：运用导数和积分解决实际问题第六章：正弦型函数的复合函数6.1 教学目标理解正弦型函数与其他类型函数的复合关系学会分析复合函数的图像和性质6.2 教学内容复合函数的定义：y = f(g(x))正弦型函数与其他函数的复合：y = A sin(Bf(x) + C) + D分析复合函数的图像和性质：周期性、奇偶性、对称性等6.3 教学活动引导学生理解复合函数的概念，观察复合函数的图像讲解如何分析复合函数的性质6.4 作业与练习练习13：分析给定复合函数的图像和性质练习14：将一个正弦型函数与其他函数进行复合，观察图像和性质的变化第七章：正弦型函数在实际问题中的应用7.1 教学目标学会运用正弦型函数解决实际问题了解正弦型函数在工程、物理等领域的应用7.2 教学内容工程领域：信号处理、电路设计等物理领域：振动、波动、电磁场等其他领域：数据通信、地球科学等7.3 教学活动结合实际问题，讲解正弦型函数在工程、物理等领域的应用引导学生了解正弦型函数在其他领域的应用7.4 作业与练习练习15：利用正弦型函数解决给定的工程、物理问题练习16：了解正弦型函数在其他领域的应用第八章：正弦型函数的综合应用8.1 教学目标掌握正弦型函数的基本概念、图像、性质及应用提高解决实际问题的能力8.2 教学内容综合运用正弦型函数的知识解决实际问题分析正弦型函数在各个领域的应用8.3 教学活动引导学生将正弦型函数的知识运用到实际问题中分析正弦型函数在不同领域的应用案例8.4 作业与练习练习17：综合运用正弦型函数的知识解决实际问题练习18：分析正弦型函数在各个领域的应用第九章：正弦型函数的拓展与研究9.1 教学目标了解正弦型函数的拓展知识培养学生的研究能力和创新意识9.2 教学内容正弦型函数的变形式：y = A sin(Bx + C) + D正弦型函数的推广：y = A sin(Bx + C) cos(Dx) 等研究正弦型函数的新性质、新应用9.3 教学活动引导学生了解正弦型函数的变形式和推广鼓励学生研究正弦型函数的新性质、新应用9.4 作业与练习练习19：研究正弦型函数的拓展知识练习20：探索正弦型函数的新性质、新应用10.1 教学目标评价学生的学习成果10.2 教学内容评价学生的学习效果，提出改进意见10.3 教学活动-重点和难点解析1. 正弦型函数的定义与基本性质难点解析：正弦型函数的相位变换的理解和应用。

正弦函数的图像与性质教案正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力。

教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想。

教学难点：正弦函数性质的理解和应用。

教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲述结合教学、分层教学。

教学过程：I。

知识回顾终边相同角的诱导公式：sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z)因此，正弦函数是周期函数，即2π,4π,6π,……以及-2π,-4π,-6π,……都是它的周期，其中2π是它的最小正周期，也叫做周期，因此正弦函数的周期为2π。

II。

新知识1、用五点法作出正弦函数在最小正周期上的图像y=sinx，x∈[0,2π]1）列表x π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 5π/3 11π/6 2πy 1/2 √3/2 1 √3/2 1/2 0 -1/2 -√3/2 -1 -√3/2 -12）描点3）连线因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在[-4π,-2π]、[-2π,0]、[0,2π]、[2π,4π]，以及其他周期区间中与y=sinx，x∈[0,2π]的图像相同。

2、正弦函数的奇偶性由诱导公式sin(-x)=-sinx，x∈R得：①定义域关于原点对称②满足f(-x)=-f(x)因此，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称）。

3、正弦函数单调性、值域由图像观察可得：正弦函数在 [-π/2+2kπ,π/2+2kπ] 是增函数，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ] 是减函数（k∈Z）。

得到最大值为1，最小值为-1，因此值域为[-1,1]。

一、教案简介本教案旨在帮助学生理解正弦函数的图像与性质,掌握正弦函数的图像特点和基本性质,并能够运用正弦函数解决相关问题。

本节课的教学重点是正弦函数的图像和性质,教学难点是理解和掌握正弦函数的周期性、奇偶性和对称性。

二、教学目标1. 了解正弦函数的图像特点,掌握正弦函数的增减性和凹凸性。

2. 掌握正弦函数的周期性、奇偶性和对称性,并能够运用这些性质解决相关问题。

3. 培养学生的数学思维能力和图形直观感知能力,提高学生的数学综合素质。

三、教学内容1. 正弦函数的图像特点:正弦函数的图像是一条波浪形的曲线,它的取值在-1和1之间波动,周期为2π。

2. 正弦函数的增减性:当x从0增加到π/2时,正弦函数的值从0增加到1;当x 从π/2增加到π时,正弦函数的值从1减少到0。

3. 正弦函数的凹凸性:当x从0增加到π/2时,正弦函数的图像从下凹增加到上凸;当x从π/2增加到π时,正弦函数的图像从上凸减少到下凹。

4. 正弦函数的周期性:正弦函数的周期为2π,即sin(x+2π)=sinx。

5. 正弦函数的奇偶性:正弦函数是奇函数,即sin(-x)=-sinx。

6. 正弦函数的对称性:正弦函数的图像关于y轴和原点对称。

四、教学方法采用讲解法、演示法、例题法和互动法等多种教学方法,引导学生通过观察、思考、实践和交流,全面理解和掌握正弦函数的图像与性质。

五、教学环境教室环境舒适、安静,教学设备齐全,黑板、粉笔、投影仪等教学工具准备充分。

六、教学步骤1. 引入：通过回顾初中阶段学习的三角函数知识，引导学生思考正弦函数的图像和性质。

2. 讲解：详细讲解正弦函数的图像特点，包括波浪形的曲线、取值范围、周期性等。

3. 演示：利用投影仪展示正弦函数的图像，让学生直观地感受正弦函数的波动特点。

4. 例题：选取一些典型例题，让学生运用正弦函数的性质解决问题，巩固所学知识。

5. 互动：鼓励学生提问、讨论，解答学生在学习过程中遇到的困惑。

高中数学教案：正弦函数图像的性质与应用一、正弦函数图像的性质正弦函数是高中数学中一个重要的函数，学习正弦函数的图像的性质和应用，能够帮助学生更好地理解数学概念和解决实际问题。

本文将讨论正弦函数图像的周期、幅值、对称轴和零点，以及正弦函数在实际应用中的一些例子和应用。

1.1 周期性正弦函数的图像是一个周期函数，它的周期是2π。

也就是说，正弦函数的图像在横轴上每2π个单位长度上重复一次。

这一特性使得我们可以在一定的范围内研究正弦函数的性质，然后将其扩展到整个数轴上。

1.2 幅值和对称轴正弦函数的图像在纵轴方向上波动，振幅表示纵轴方向的最大偏移量。

对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，A表示幅值，是正弦函数图像在纵轴上的最大值或最小值与x轴的距离之差的一半。

也就是说，正弦函数的中心线（即零线）位于最大值和最小值之间的中间位置。

对称轴是正弦函数图像的一条垂直线，它将图像分为两个对称的部分。

对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，对称轴的方程为 x = C/B。

也就是说，对称轴的位置跟B有关，B越大，对称轴的位置越靠近原点。

1.3 零点正弦函数的图像在横轴上的零点是指函数值为零的点，也就是正弦函数的解。

对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，零点的坐标为 (C/B, 0)、(2π/B+C/B, 0)、(4π/B+C/B, 0)、... 以此类推。

正弦函数在横轴上的零点是平衡点，对于很多实际问题的建模和解决都有重要意义。

二、正弦函数图像的应用正弦函数不仅在数学中具有重要性，而且在物理、工程学、音乐等领域也具有广泛的应用。

下面将介绍一些正弦函数在实际应用中的例子和应用。

2.1 摆动正弦函数的周期性使得它非常适合描述摆动的现象。

以钟摆为例，它的运动可以用正弦函数进行建模。

正弦函数的周期是固定的，很好地描述了钟摆的周期性运动。

此外，正弦函数的振幅可以用来表示钟摆摆动的幅度大小。

高中数学正弦函数图像教案
一、教学目标：
1. 理解正弦函数的定义及其基本性质。

2. 掌握正弦函数的图像特点。

3. 能够解决与正弦函数相关的数学问题。

二、教学重点：
1. 正弦函数的定义及性质。

2. 正弦函数的图像特点。

三、教学难点：
1. 正弦函数的变量与图像之间的关系。

2. 正弦函数的周期性及振幅。

四、教学内容：
1. 正弦函数的定义及性质：y = A*sin(ωx + φ)。

2. 正弦函数的图像特点：周期性、对称性、振幅。

五、教学过程：
1. 引入：通过实际问题引入正弦函数的概念。

2. 概念讲解：介绍正弦函数的定义及其性质。

3. 示例分析：通过示例分析正弦函数的图像特点。

4. 练习巩固：进行练习，加深学生对正弦函数的理解。

5. 总结提升：总结正弦函数的特点，引导学生思考更深层次的问题。

六、教学辅助手段：
1. 教材、课件等教学用具。

2. 板书、投影等教学辅助手段。

七、教学评估：
1. 课堂练习：考查学生对正弦函数的理解程度。

2. 课堂讨论：引导学生讨论与解决正弦函数相关的问题。

八、教学反思：
1. 及时调整教学方法，根据学生实际情况灵活运用各种教学手段。

2. 定期评估学生学习效果，及时对学生提出指导性意见和建议。

正弦函数的性质教案
教学目标：
1.了解正弦函数的定义和性质。

2.能够根据正弦函数的性质绘制图象。

3.能够应用正弦函数的性质解决实际问题。

教学重点：
正弦函数的定义和性质。

教学难点：
根据正弦函数的性质绘制图象。

教学准备：
教材、教具、白板、黑板、彩色粉笔。

教学过程：
Step 1：引入
引导学生回顾三角函数的概念和定义，包括正弦函数的定义。

Step 2：讲解正弦函数的性质
1. 周期性：正弦函数的周期是2π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数。

3. 对称性：正弦函数在y轴上是对称的。

4. 范围：正弦函数的值域是[-1, 1]。

Step 3：绘制正弦函数的图象
1. 在黑板上绘制一个坐标系。

2. 让学生根据正弦函数的定义和性质，在坐标系上绘制一条正弦曲线。

Step 4：练习
布置一些练习题，让学生应用正弦函数的性质解决实际问题。

Step 5：总结
总结正弦函数的定义和性质，以及如何绘制正弦函数的图象。

Step 6：作业
布置作业：完成教材上相关练习题。

教学延伸：
教师可以邀请学生利用计算机或计算器绘制正弦函数的图象，并让学生观察和分析图象的特点。

正弦函数图象的对称性【教学目标】1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义，体会正弦函数的对称性.2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】用等式表示正弦函数图象关于直线2π=x 对称和关于点)0,(π对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】计算机、图形计算器（学生人手一台）. 【教学过程】一、复习引入 1.展示生活实例对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.2．复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合； 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合. 3．作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？4．猜想图形性质经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）如何检验猜想是否正确？我们知道， 诱导公式x x sin )sin(-=-（∈x R ），刻画了正弦曲线关于原点对称，而x x cos )cos(=-（∈x R ），刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题） 二、探究新知分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.（一）对于正弦曲线轴对称性的研究第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线2π=x对称的研究.1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线2π=x 的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见右图），在直线2π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律？给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在2π=x 左右对称取值时，正弦函数值相等.从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验. 2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索 请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?教师组织学生通过合作的方式，对称地在2π=x 左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式)2sin()2sin(x x +=-（∈x R ）表示.请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P ),2(y x -π和P ′),2(y x +π在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？根据画图结果，可以看出，点P),2(yx-π和P′),2(yx+π关于直线2π=x对称.这样，正弦曲线关于直线2π=x对称，可以用等式)2s in()2s in(xx+=-ππ（∈x R）表示.这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.3．严格证明——证明等式)2sin()2sin(xx+=-ππ对任意∈x R恒成立请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？预案一：根据诱导公式ααπsin)sin(=-，有)2s in(x-π)]2(sin[x+-=ππ)2sin(x+=π.预案二：根据公式xx cos)2sin(=-π和xx cos)2sin(=+π，有)2s i n()2s i n(xx+=-ππ.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论α取任何实数，角απ-2和απ+2的终边总是关于y轴对称（见右图），他们的正弦值恒相等.这样我们就证明了等式)2sin()2sin(xx+=-ππ对任意∈x R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线2π=x对称.事实上，诱导公式xx sin)sin(=-π也可以由等式)2sin()2sin(xx+=-ππ推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线2π=x对称，是诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）的几何意义.阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线2π=x 对称可以用等式)2sin()2sin(x x +=-ππ（∈x R ）表示，通过对这一等式的严格证明，证实了我们猜想的正确性.上述等式与诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解.第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴. 师生、生生交流，步步深入.问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？ 可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于x 轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：ππk x +=2（∈k Z ）. 问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线ππk x +=2（∈k Z ）对称”吗？根据前面的研究，上述对称可以用等式)2s in()2s in(x k x k ++=-+ππππ（∈k Z ，∈x R ）表示.请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路. 证明预案：)2sin(x k -+ππ)]2(sin[x k +--=πππ)2sin(x k +-=ππ)]2(2sin[x k k +-+=πππ)2sin(x k ++=ππ.（二）对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数x y sin =（∈x R ）是奇函数，即x x sin )sin(-=-（∈x R ），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.第一阶段，对正弦曲线关于点)0,(π对称的研究.1．直观探索——从图象上探索在点)0,(π两侧的函数值的变化规律. 2．数值检验——在π=x 左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.3．严格证明——证明等式)sin()sin(x x +-=-ππ对任意∈x R 恒成立. 预案一：根据诱导公式)2sin(απ-αsin -=，有)si n(x -π)](2sin[x +-=ππ)sin(x +-=π.预案二：根据诱导公式x x s i n )s i n (=-π和x x sin )sin(-=+π，有)sin()sin(x x +-=-ππ.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论α取任何实数，角απ-和απ+的终边总是关于x 轴对称（见右图），他们的正弦值互为相反数.事实上，等式)s in ()s in (x x +-=-ππ与诱导公式x x s i n )2si n (-=-π是等价的. 这样，正弦曲线关于点0,(πx x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义.第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心. 请同学尝试解决下列三个问题：1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：)0,(πk （∈k Z ）（教师利用课件演示）.2．用等式表示“正弦曲线关于点)0,(πk （∈k Z ）对称”.上述对称可以用等式)sin(x k -π)sin(x k +-=π（∈k Z ，∈x R ）表示. 3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明） 三、课堂小结 1．课堂小结（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式x x sin )sin(=-π与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2．作业（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.（2）找一个一般函数，如x a y sin +=，∈a a 为常数且R ，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.（3）思考：如何用等式表示函数)(x f 关于直线a x =对称，以及关于点),(b a 对称？（4）尝试证明函数xy 1=的图象分别关于直线x y =和直线x y -=对称.【教学设计说明】1．关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2．关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题， 引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点. 教学设计流程图如下：通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.3．信息技术在教学中的作用 图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人人参与探索过程，帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容，提高他们对图形和数据信息的处理能力，培养信息素养．图形计算器和计算机相结合，力求使技术更有效地为教学服务．二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈ 教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心 数学组 刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式：)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2Ⅱ 新知识1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象x y sin =，[]π2,0∈x（1）、列表（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y s in =的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-Ⅲ 知识巩固例1 作下列函数的简图 （1）x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x解：（1）①列表②描点 ③连线（2）①列表②描点 ③连线例2 求下列函数的单调区间（1）)sin(x y -= （2）)4sin(π-=x y解：（1）因x x y sin )sin(-=-=所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数 （2）由题知：πππππk x k 22422+≤-≤+-ππππk x k 24324+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤-≤+ππππk x k 247243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 243,24是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数练习（师生互动，分层次提问）1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4sin(π+=x y 的单调性解：由题知：πππππk x k 22422+≤+≤+-ππππk x k 24243+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤+≤+ππππk x k 24524+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数Ⅳ 小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。