北师大版选修2.1.1参数方程的概念(赛教一等奖)

1弦 AB 的长|AB|＝|t1－t2|. 2线段 AB 的中点 M 对应的参数 论使用.
解题时可以作为基本结
3．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两 个坐标系取相等的单位长度．已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6.
(1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 ρ＝2 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离 之积．
段 P→M的长度；
当 a2＋b2≠1 时，参数方程的标准形式为
x＝x0＋
y＝y0＋
a a2＋b2
b a2＋b2
a2＋b2t， a2＋b2t，
其中 a2＋b2t 具有标准参数方程
中参数的几何意义．
3．当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？
[提示] 在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线 段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数 t 的几何 意义求解，比利用直线 l 的普通方程来解决更为方便．
填空：
(1)过点(0,0)且倾斜角为 60°的直线的参数方程是________．
(2)参数方程xy＝ ＝12＋ ＋ttcsions
20°， 20°
(t 为参数)表示的直线的倾斜角是
________．
[解析]
x＝tcos 60°， (1)y＝tsin 60°，
即x＝12t， y＝ 23t
(t 为参数)．
AB＝2atan θ， ∴xy＝ ＝22aactaons2θθ， (θ 为参数)， 这就是所求的点 M 的参数方程．
求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解 析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间 的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、 比值等)，使变量 x，y 之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参 数方程．

y=t
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.若点（-3， 3 ）在参数方程 x=6cos(θ 为参数)的曲线 -3
y=6sin
上，则θ =_______. 【解析】
答案：
8.把圆x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为________. 【解析】圆x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程是 (x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2, 故参数方程为 x=-1+2cos (θ为参数).
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.参数方程 x=t-1 （t为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为
y=t+2
(
(A)（1，0），（0，-2） (C)（0，-1），（1，0） (B)（0， 1），（-1，0） (D)（0，3），（-3，0）

l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2

y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的, 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin

•第一节参数方程的概念‘ 脸明呢’iS iffi ® fui ［学习目标］i 卜1.通过分析抛射体运动中时间与物体位置的I I关系，了解其参数方程，体会参数的意义.I〔•2. 了解一般曲线的参数方程的含义.【I—-------------------------------------------------------------------—JI ［学法指要］i I i 、1. 了解曲线方程的意义.（重点）I 「2厂利用參数方程解决最值问题难点）------- '预习学案启动思维•铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为岭/与地面在么角Z如何来刻画铅球运动的轨迹呢?走进教材1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x, y都是某个变数2, 0…）的函数：、①，并且对于每一个[的允[y=g（t）许值，方程组①所确定的点（X, V）都在这条曲线上 ,那么方稈组①就叫这条曲线的参数方程,T叫做参数,相对于参数方程而言，直接给出坐标间的关系的方稈叫普通方程 .• 2-参数的意义•丄—譬鷲如亦喩蠶几何,也可以是____________________ 的变数.自主练习是（） A. 直线x+2y —2—0B. 以（2,0）为端点的射线C. 圆（x-l ）2+/=lD ・以（2,0）和（0，1）为端点的线段 1. 若曲线 ]x == 1 + cos 20, y=sin 23（0为参数）,则点（x ，y ）的轨迹•解析:x = 1 + cos 20=2 - 2sin20 ,又sin?。

= %• Ax = 2 - 2y ,•艮卩兀+ 2y - 2 = 0.•又;y = sin20G [0,1],•・••轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段・•答案：D2-下列参数方程（T为参数）中与方程于=兀表示同一曲线的是（）A.1 —cos2f x==D・] l+cos2f J = tanr•解析：A中化简是方程y二兀2•B中sin?和sinr都表示在一定范围内•C中化简是方程；/二|兀| z %GR ,•而y?二兀中,丘0故借助万能公式代入化简可知选D .•答案：D3.已知曲线［二:爲；^ (0为参数,0£0<2兀).下列各点A(l,3), B(2,2), C(—3,5),其中在曲线上的点是•解析：将4点坐标代入方程得：e=0或兀z 将B、C点坐标代入方程,方程无解,故4点在曲线上.•答案：A•4.设飞机以匀速17=150 m/s做水平飞行，若在飞行高度力=588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度).•(1)求炸弹离开飞机后的轨迹的参数方程；•(2)试问飞机在离目标多远冰平距离)处投弹才能命中目标？解析：如图所示，4为投弹点，坐标为(0,588), B为目标，坐标为(XoP), g=9.8 m/s?.记炸弹飞行的时间为在4点》=0.设M(x,刃为飞行曲线上的任一点，它对应时刻炸弹水平速度r o=15O m/s,用物理学知识，分别计算水平、竖直方向X = Vot, 上的路程,«L588 1 2,x=150t,即L=588—4.9”这是炸弹飞行曲线的参数方程.标. (2)炸弹飞行得到地面目标B处的时间To满足方程丁=0，即588—4.9冶=0,解得f。