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参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。
通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。
圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。
对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。
这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。
在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。
通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。
圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。
此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。
除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。
每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。
总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。
圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。
参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
2.1.1 参数方程的概念及圆的参数方程 学习目标1．理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
学习过程课前自主学习（先认真阅读教材P 21—P 24完成教材助读设置的问题和预习自测题。
将预习中不能解决的问题标出来并写到后面“我的疑惑”处。
）一）．教材助读（学着在教材上勾画重点知识）1.什么是参数方程？2. 圆的参数方程二）．预习自测（自测题体现一定的基础性，请大家结合课本知识与例题，自己独立完成）1．下列哪个点在曲线)(2cos sin 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上（ ） A ．(2,7) B ．)32,31( C ．)21,21( D ．(1,0) 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(3,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点M 3(3,a )在曲线C 上，求a 的值。
三）．我的疑惑:二、探究·合作·展示※ 学习探究【探究一】已知参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ∈θ[0,2π)判断点A(1,3)和B(2,1)是否在方 程的曲线上.【探究二】分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
变式：求圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值。
三．我的收获：学习评价※ 当堂检测1、曲线⎩⎨⎧-=+=3412t y t x （t 为参数）与x 轴交点的坐标是（ ）A （1，4）B （1625，0）C （1，－3）D （±1625，0） 2.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。
（1）求 x y的最小值与最大值；（2）求x －y 的最大值与最小值3．动点M 从起点M 0(1,2)出发作等速直线运动，它在x 轴与y 轴方向上的分速度分别为6和8，求点M 的轨迹的参数方程。
