曲线的参数方程
1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个
变数t 的函数：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )
y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )
都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．参数方程与普通方程的区别与联系
(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝f (t )y ＝g (t )
(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关
系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．
(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．
1．下列方程中可以看作参数方程的是( )
A ．x －y －t ＝0
B ．x 2
＋y 2
－2ax －9＝0
C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＝t 2
y ＝2t －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ
y ＝cos θ
解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2
＝t 2
不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义．
2．点M (2，y 0)在曲线C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝2t y ＝t 2
－1
，(t 为参数)上，则y 0＝________．
解析：将M (2，y 0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t y 0＝t 2
－1， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧t ＝1
y 0＝0.
答案：0
3．已知曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ
y ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，判断点A (2，0)，
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．
解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩
⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，
sin θ＝0.
由于0≤θ<2π，
解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.
将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32的坐标代入⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，
得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩
⎪⎨⎪⎧cos θ＝－3
2，
sin θ＝12
.
由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π
6
，
所以点B ⎝
⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6.
参数方程的概念
已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝3t y ＝2t 2
＋1
，(t 为参数)．
(1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．
[解] (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧0＝3t ，
1＝2t 2
＋1. 解得：t ＝0.所以点M 1在曲线C 上． 同理：可知点M 2不在曲线C 上．
(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩
⎪⎨⎪⎧6＝3t ，
a ＝2t 2
＋1. 解得：t ＝2，a ＝9.所以a ＝9.
(1)满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩
⎪⎨
⎪⎧x 1＝f (t )
y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．
1.曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t
y ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．
解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)
2．已知曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
＋1
y ＝2t ，(t 为参数)．
(1)判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：(1)把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．
把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，
得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2
＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，
t ＝1.
故t 不存在，所以点E 不在曲线上．
(2)令10＝t 2
＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.
求曲线的参数方程
如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、
y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．
[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .
如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数，(0－t 2
， 所以|BQ |＝a 2
－t 2
.
