第三章 幂级数展开 3.1 泰勒级数展开

泰勒公式和幂级数展开
（最新版）
目录
1.泰勒公式和幂级数展开的定义与区别
2.泰勒公式和幂级数展开的联系
3.泰勒公式和幂级数展开的应用实例
4.总结
正文
一、泰勒公式和幂级数展开的定义与区别
泰勒公式和幂级数展开都是数学中常见的用于描述函数近似的方法。

它们之间的区别在于，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，而幂级数展开则是指在级数的每一项均为与级数项序号 n 相对应的以常数倍的（x-a）的 n 次方（n 是从 0 开始计数的整数，a 为常数）。

二、泰勒公式和幂级数展开的联系
尽管泰勒公式和幂级数展开在定义上有所区别，但它们之间仍然存在紧密的联系。

事实上，泰勒公式可以看作是幂级数展开的一种特殊形式。

具体来说，当泰勒公式中的余项极限为 0 时，泰勒公式就可以展开成幂级数。

三、泰勒公式和幂级数展开的应用实例
泰勒公式和幂级数展开在数学、物理等科学领域中有广泛的应用。

例如，在泰勒级数中，我们可以通过展开式来估计函数的值，而在幂级数展开中，我们可以通过级数项的求和来计算函数的近似值。

四、总结
总的来说，泰勒公式和幂级数展开都是数学中重要的概念和工具。

它们既有区别，又有联系，可以相互转化，同时也有自己独特的应用领域和价值。

第三章解析函数的幂级数展开¤目录x1 复常数项级数2一基本概念与基本判敛法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2二*判敛法的进一步讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x2 复函数项级数5一普通函数项级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5二一致收敛的函数项级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6三解析函数项级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11四*Riemann ³函数、Riemann 假设与千禧数学难题. . . . . . . . . . . . . . . 12x3 幂级数14一幂级数的敛散性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14二收敛半径的求法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15三和函数的解析性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15x4 解析函数的Taylor 展开16一Taylor 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16二展开式的收敛半径. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18三初等单值函数的Taylor 展开式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18四初等多值函数的Taylor 展开式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19x5 解析开拓的基本概念21¤c°1992{2019 林琼桂本讲义是中山大学物理系学生学习“数学物理方法”课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人复制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．1x1 复常数项级数2本章先介绍复数级数、尤其是幂级数的性质，然后利用Cauchy 积分公式导出解析函数的Taylor 展开式．x1 复常数项级数一基本概念与基本判敛法复常数项级数具有形式1 X k=1®k = ®1 + ®2 + ¢ ¢ ¢+ ®k + ¢ ¢ ¢ ; (1)其中每一项都是复数，s n = P nk=1 ®k 称为其部分和，如果lim n!1 s n = s 是有限复数，则称级数(1) 收敛于s，s 称为其和，记作P1k=1 ®k = s，否则称级数(1) 发散．注发散包括两种情况：1°lim n!1 s n = 1；2°数列fs n g1n=1 没有极限．设®k = a k + i b k（其中a k 2 R; b k 2 R; k 2 N），则不难证明，级数(1) 收敛的充要条件是级数P1k=1 a k 和P1k=1 b k 均收敛．这使得我们原则上可以用实级数的判敛方法来对复级数进行判敛，但在实用上这并不是很有效．比如级数P1k =1(p + i q)k（其中p 2 R; q 2 R），其通项的实部和虚部都比较复杂，难以用上述方法来判敛．根据上述充要条件，如果级数(1) 发散，则级数P1k=1 a k 和P1k=1 b k 不可能都收敛，但其中有一个收敛显然是可能的．比如当所有的a k = 0，则P1k=1 a k 显然收敛，不过这是平庸的情况．非平庸一点的例子如级数P1k=1(1=k2 + i=k)，它显然发散，但其实部所构成的级数是收敛的．对于数列fs n g1n=1 是否收敛、即其极限是否存在的问题，类似于实数列，我们有Cauchy收敛原理：数列fs n g1n=1 收敛的充要条件是，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N，均有js n+p ¡ s n j < "．（这一精确描述的大意是：当数列的下标足够大以后，任取两项，其距离都可以任意小．更形象地说，越往后，数列的各项就越是挤在一起．这样自然就有极限了．）据此，立得关于级数(1) 的Cauchy 收敛原理：定理（Cauchy 收敛原理）级数(1) 收敛的充要条件是，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0时，8 p 2 N，均有¯¯¯¯¯p X k=1®n+k¯¯¯¯¯< ": (2)作为上式的特例，取p = 1，即得®n+1 < "，所以级数(1) 收敛的必要条件是limk!1®k = 0: (3)如果这一条件得不到满足，我们马上可以断定级数是发散的．Cauchy 收敛原理无疑是一个最基本的判别法，但是使用这一判别法需要计算式(2) 中的求和，或至少要估计其上限（更准确地说，是估计其模的上限），这只有在少数简单情况下可以做得到，比如几何级数P1k =1 ®k．x1 复常数项级数3根据Cauchy 收敛原理，在级数(1) 中添加或去掉有限项，并不改变级数的收敛或发散性质．如果级数1 X k=1j®k j (4)收敛，则称级数(1) 绝对收敛．收敛但不绝对收敛的级数称为条件收敛．定理绝对收敛的级数必定收敛．这是因为¯¯¯¯¯p X k=1®n+k¯¯¯¯¯·p X k=1j®n+k j:设®k = a k + i b k（其中a k 2 R; b k 2 R; k 2 N），显然ja k j · j®k j，jb k j · j®k j，而j®k j ·ja k j+jb k j，由正项级数收敛的比较判别法，易知级数(1) 绝对收敛的充要条件是级数P1k =1 a k 和P1k=1 b k均绝对收敛．当然，级数(1) 条件收敛甚至发散，并不排除级数P1k=1 a k 和P1k=1 b k 当中可以有一个绝对收敛．比如当所有的a k = 0，则P1k=1 a k 显然绝对收敛，不过这是平庸的情况．非平庸一点的例子如级数P1k=1(cos kµ=k2 + i=k) 和P1k=1[cos kµ=k2 + i(¡)k¡1=k] （其中0 · µ < 2¼），前者显然发散，而后者条件收敛，但它们的实部所构成的级数是绝对收敛的．在实际操作上，给定一个级数，我们先看看式(3) 是否满足，若不满足，我们马上可以断定级数发散．若式(3) 得到满足，再看相应的级数(4) 是否收敛，若收敛，则原级数绝对收敛．由于级数(4) 是正项级数，我们可以用正项级数的种种判别法来判敛，比如比较判别法、Cauchy 判别法、d' Alembert 判别法、Cauchy 积分判别法等．如果式(3) 得到满足，而相应的级数(4) 又不收敛，则需要进一步判断原级数是发散还是条件收敛．不过，如果是由Cauchy 判别法或d' Alembert 判别法得到级数(4) 发散，则原级数必定也发散，因为这时式(3) 必不满足．其它情况下要进一步判断原级数是否条件收敛就比较困难．这时可以尝试计算式(2) 中的求和，或估计其上限，如果成功，就可以用Cauchy 收敛原理来判断，如果式(2) 中的和式无法计算或估计上限，则可以尝试下面介绍的方法．就我们所知，并没有什么方法能够百分之百地解决任何级数的判敛问题．例1 几何级数P1k=1 ®k．当j®j < 1 时，由于正项级数P1k =1 j®j k 收敛，故原级数绝对收敛．当j®j ¸1 时，式(3) 不能成立，故原级数发散．二*判敛法的进一步讨论下面介绍一些更细致的判别法．对于和式P nk=1 a k®k，其中a k 2 R，®k 2 C，令A k =k X i=1®i; (5)则®k = A k ¡ A k¡1，其中A0 ´0．于是P nk=1 a k®k = P nk=1 a k(A k ¡ A k¡1) = P nk=1 a k A k ¡P nk=1 a k A k¡1 = P nk=1 a k A k ¡P n¡1k=1 a k+1A k = a n A n +P n¡1k=1(a k ¡ a k+1)A k，即n X k=1a k®k = a n A n +n¡1 X k=1(a k ¡ a k+1)A k: (6)x1 复常数项级数4上式称为Abel 变换，它把一个求和变成另一个求和，这对于和式的计算未必有帮助，但在估计和式的上限时会很有用，下面马上就可以看到．如果a k 2 C，上式仍然成立，但下面用到的都是a k 2 R 的情况．引理（Abel）若fa k g nk=1 单调（增加或减少），而fA k g nk=1 有界，即9 M > 0，使得jA k j · M，则¯¯¯¯¯n X k=1a k®k¯¯¯¯¯· M(ja1j + 2ja n j): (7)注“fa k g nk =1 单调”就意味着a k 2 R，因为虚部不为0 的复数是没有大小可言的．证明由Abel 变换式(6)，有n X k=1a k®k¯¯¯¯¯· ja n jjA n j +n¡1 X k=1ja k ¡ a k+1jjA k j · Mja n j +n¡1 X k=1Mja k ¡ a k+1j:若fa k g nk=1 单调减少，则a k ¡ a k+1 为正数，这时ja k ¡ a k+1j = a k ¡ a k+1，故n X k=1a k®k¯¯¯¯¯· Mja n j +n¡1 X k=1M(a k ¡ a k+1) = Mja n j +M(a1 ¡ a n) · M(ja1j + 2ja n j): (8a)fa k g nk=1 单调减少的一种特殊情况是a1 ¸ a2 ¸ ¢ ¢ ¢ ¸ a n ¸0，这时容易看出n X k=1a k®k¯¯¯¯¯· Mja n j +n¡1 X k=1M(a k ¡ a k+1) = Ma n +M(a1 ¡ a n) · Ma1: (8b)这是一个更强的结果．若fa k g nk =1 单调增加，则a k ¡ a k+1 为负数，这时ja k ¡ a k+1j = a k+1 ¡ a k，故n X k=1a k®k¯¯¯¯¯· Mja n j +n¡1 X k=1M(a k+1 ¡ a k) = Mja n j +M(a n ¡ a1) · M(ja1j + 2ja n j): (8c)综合式(8a) 和式(8c)，即得式(7)，证毕．有了Abel 引理，马上可以得到以下两个判别法．定理（Abel 判别法）若数列fa k g1k=1 单调有界，而级数P1k=1 ®k 收敛，则级数P1k=1 a k®k 收敛．注°1 如果P1k =1 ®k 是正项级数且收敛，则只要数列fa k g1k =1 有界，级数P1k =1 a k®k 就收敛，而且是绝对收敛．在直观上，这是很容易理解的．证明也很容易．事实上，数列fa k g1k=1 有界意味着9 K >0，使得ja k j · K，8 k．今¯¯¯P n+pk=n+1 ja k®k j¯¯¯ = P n+pk=n+1 ja k j®k · K P n+pk=n+1 ®k = K¯¯¯P n+pk=n+1 ®k¯¯¯，故由正项级数P1k=1 ®k 收敛，立得级数P1k =1 a k®k 绝对收敛．°2 但是，现在®k 可正可负，也可能是复数，这时，数列fa k g1k=1 不仅要有界，而且必须单调，才能保证级数P1k=1 a k®k 收敛．这一单调的要求虽然不是很直观，但很容易举例说明这一要求是无法取消的．比如a k = (¡)k¡1 显然有界，但不单调，若®k = (¡)k¡1=k，则P1k=1 ®k = P1k=1(¡)k¡1=k 收敛，但P1k =1 a k®k = P1k=1 1=k 发散．有的读者可能会认为这是由于a k 可正可负造成的，那么如果a k 非负且有界，是否就可以不必单调呢？答案还是不可以．比如a k = 1 + (¡)k¡1=pk 显然有界而且是恒正的，但不单调，如果®k = (¡)k¡1=pk，则P1k=1 ®k = P1k=1(¡)k¡1=pk 收敛，但这时P1k=1 a k®k = P1k =1[1=k + (¡)k¡1=pk] 是发散的．由此可见，数列fa k g1k=1 单调的要求是很重要的．证明已知数列fa k g1k =1 有界，则9 K > 0，使得ja k j · K，8 k．而级数P1k=1 ®k 收敛，故8 " > 0，9 n0 2 N，使得当n > n0 时，有n+m X k=n+1®k¯¯¯¯¯· "; 8 m 2 N:x2 复函数项级数5又数列fa k g1k=1 单调，由Abel 引理，当n > n0，n+p X k=n+1a k®k¯¯¯¯¯· "(ja n+1j + 2ja n+p j) ·3K"; 8 p 2 N:由Cauchy 收敛原理，级数P1k =1 a k®k 收敛．证毕．定理（Dirichlet 判别法）若数列fa k g1k=1 单调趋于0，而级数P1k =1 ®k 的部分和有界，则级数P1k =1 a k®k 收敛．证明已知数列fa k g1k=1 趋于0，则8 " > 0，9 n0 2 N，使得当k > n0 时，有ja k j < "．而级数P1k =1 ®k 的部分和有界，故9 M > 0，使得js k j · M，8 k 2 N，于是，n+m X k=n+1®k¯¯¯¯¯= js n+m ¡ s n j · js n+m j + js n j ·2M; 8 n;m 2 N:又数列fa k g1k=1 单调，由Abel 引理，当n > n0，n+p X k=n+1a k®k¯¯¯¯¯·2M(ja n+1j + 2ja n+p j) < 6M"; 8 p 2 N:由Cauchy 收敛原理，级数P1k =1 a k®k 收敛．证毕．例2 研究级数P1k=1 e i kµ=k s 的敛散性，其中0 · µ < 2¼，s > 0．解由于s > 0，收敛的必要条件总是满足的．(1) 如果s > 1，由于其模构成的级数P1k =1 1=k s 收敛，故原级数绝对收敛．由此可知，级数P1k =1 cos kµ=k s 和P1k=1 sin kµ=k s 当s > 1 时绝对收敛．(2) 如果0 < s ·1，由于其模构成的级数P1k=1 1=k s 发散，故原级数不能绝对收敛．若µ= 0，原级数亦成为P1k=1 1=k s，显然发散．若µ 6= 0，我们就有n X k=1e i kµ¯¯¯¯¯e iµ(1 ¡e i nµ)1 ¡e iµ¯¯¯¯ = j sin(nµ=2)jsin(µ=2) ·1sin(µ=2); (9)亦即级数P1k=1 e i kµ的部分和数列有界，而数列f1=k s g1k=1 单调趋于0，根据上面的Dirichlet 判别法，原级数收敛，亦即条件收敛．由此可知，级数P1k =1 cos kµ=k s 和P1k=1 sin kµ=k s 当0 < s ·1 且µ 6= 0时收敛，不过对于后一级数，µ 6= 0 的限制是不必要的，因为这时它的通项为0，是一个平庸的级数．这两个级数之所以能够收敛，主要是因为三角函数的出现使得各项有正有负，互相抵消．前面指出，当原级数条件收敛时，级数P1k=1 cos kµ=k s 和P1k=1 sin kµ=k s 当中有一个绝对收敛是可能的．不过，实际上这两个级数都不能绝对收敛．事实上，j cos kµj ¸cos2 kµ= (1+cos2kµ)=2，由于P1k =1 1=k s 发散而P1k=1 cos 2kµ=k s 收敛，故正项级数P1k=1(1+cos 2kµ)=2k s 发散，由正项级数的比较判别法，P1k=1 j cos kµj=k s 发散．类似可证P1k=1 j sin kµj=k s 发散．x2 复函数项级数一普通函数项级数设级数1 X k=1f k(z) (10)x2 复函数项级数6的每一项都是定义在点集E 上的复变函数，则该级数称为复函数项级数，s n(z) = P nk=1 f k(z)称为其部分和．如果对E 中的一点z0，常数项级数P1k=1 f k(z0) 收敛，则称级数(10) 在z0收敛；如果8 z 2 E，级数(10) 都收敛，则称它在点集E 上收敛，这时级数在E 上每点有和，记作f(z)，称为其和函数，即1 X k=1f k(z) = f(z):从上述定义可以看出，这是一个逐点收敛的概念．取定一点，则级数(10) 成为一个常数项级数，其判敛方法与上节所述无异．二一致收敛的函数项级数对于函数项级数的研究，不能只是满足于逐点收敛的概念．因为即使级数(10) 在E 上处处收敛，我们也看不出它在E 上各点的行为有何共性．既然是函数项级数，我们自然更关心这种共性．更重要的是，即使级数(10) 在E 上处处收敛，我们也无法由级数中各项均具有某种性质（比如连续、可导）而推断其和函数具有同种性质．为了研究和函数的性质，一个关键的概念是一致收敛，即级数在各点的收敛速度大致相同．这一概念的精确描述如下．定义（一致收敛）设在点集E 上存在函数f(z)，如果8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，js n(z) ¡ f(z)j < "在E 上处处成立，则称级数(10) 在E 上一致收敛于f(z)．按这一定义，一致收敛当然就收敛，但反之则不然．让我们看看收敛与一致收敛的区别在于何处．如果级数(10) 在E 上收敛于f(z)，则8 " > 0，对于每一点z 2 E，9 n0 2 N，当n > n0 时，js n(z) ¡ f(z)j < " 在该点z 成立，由此可以看出，对于同样的"，不同的点z 可能需要不同的n0，即n0 = n0("; z)．这样就存在一种可能性，当z 沿某一趋势变化时，比如z ! z0 （其中z; z0 2 E）时，所需的n0 越来越大，以至于我们无法找到n0("; z) 的上限，亦即找到一个共同的n0，使得当n > n0 时，js n(z) ¡ f(z)j < " 在E 上一致成立．而一致收敛的定义正是要求存在这样一个共同的n0 = n0(")，它不依赖于z，而只与" 有关．一致收敛的基本判别法是Cauchy 一致收敛原理：定理（Cauchy 一致收敛原理）级数(10) 在E 上一致收敛的充要条件是，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，均有p Xk=1f n+k(z)¯¯¯¯¯< ": (11)证明必要性．按定义，若级数(10) 一致收敛，则存在函数f(z)，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，有js n(z) ¡ f(z)j < "=2; js n+p(z) ¡ f(z)j < "=2;x2 复函数项级数7于是，当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，有p Xk=1f n+k(z)¯¯¯¯¯= js n+p(z) ¡ s n(z)j = j[s n+p(z) ¡ f(z)] ¡[s n(z) ¡ f(z)]j· js n+p(z) ¡ f(z)j + js n(z) ¡ f(z)j < ":充分性．按已知条件，级数(10) 在E 上收敛，故在每点有和，记和函数为f(z)，即lim n!1 s n(z) =f(z)．又按已知条件，8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N 和z 2 E，式(11) 成立，将它改写为js n(z) ¡ s n+p(z)j < ";令p ! 1，得到js n(z) ¡ f(z)j · ";由于该式在E 上一致成立，故原级数一致收敛．证毕．例1 级数1X k=1(¡)k¡1在x 2 (¡1;+1) 上一致收敛．事实上，当p = 2q，q 2 N，有n+2q X k=n+1(¡)k¡1k + x2¯¯¯¯¯1(n + 1) + x2 ¡· 1(n + 2) + x2 ¡1(n + 3) + x2 ¸¡ ¢ ¢ ¢¡· 1(n + 2q ¡2) + x2 ¡1(n + 2q ¡1) + x2 ¸¡1(n + 2q) + x21(n + 1) + x2 <1n当p = 2q ¡1，q 2 N，有（第三行·号中的等号当q = 1，亦即p = 1 时成立）n+2q¡1 X k=n+1(¡)k¡1k + x2¯¯¯¯¯1(n + 1) + x2 ¡· 1(n + 2) + x2 ¡1(n + 3) + x2 ¸¡ ¢ ¢ ¢¡· 1(n + 2q ¡2) + x2 ¡1(n + 2q ¡1) + x2 ¸1(n + 1) + x2 <1n因此，只要取n0 > 1="，则当n > n0 时，n+p X k=n+1(¡)k¡1k + x2¯¯¯¯¯对一切x 2 (¡1;+1) 和p 2 N 成立．但对于任何x 2 (¡1;+1)，该级数不能绝对收敛．事实上，1X k=1¯¯¯¯k + x2¯¯¯¯ =1X k=11k + x2 ;而右边的正项级数发散，这是因为正项级数P1k=1 1=k 发散，而limk!11=(k + x2)1=k= limk!1kk + x2 = limk!111 + x2=k= 1:x2 复函数项级数8例2 级数P1k =1 z k 当jzj < 1 时绝对收敛，因为正项级数P1k=1 jzj k 当jzj < 1 时收敛．但该级数在单位圆jzj < 1 上不能一致收敛，事实上，易得和函数f(z) 与部分和s n(z) 为f(z) = z1 ¡ z; s n(z) = z(1 ¡ z n)1 ¡ z故js n(z) ¡ f(z)j =¯¯¯¯z n+11 ¡ z¯¯¯¯ = jzj n+1j1 ¡ zj只要取n0 = ·ln("j1 ¡ zj)ln jzj ¸;则当n > n0 时，有js n(z) ¡ f(z)j < ":然而，上述n0 不仅依赖于"，而且依赖于z，当jzj ! 1 时，n0 会越来越大，以至于无法找到一个共同的n0，使上式在jzj < 1 上一致成立，因此原级数不能一致收敛．由以上二例可以看到，一致收敛与绝对收敛之间没有因果关系．下面给出的一致收敛的Weierstrass 判别法是一个充分条件，它是一个非常有用的判别法，但象上面的例1 是无法用它来判断的．下面给出一个一致收敛的充分条件，它是一个常用的判别法．定理（Weierstrass M{判别法）如果存在正数列fM k g1k=1，使得jf k(z)j · M k; 8 z 2 E; k 2 N;且正项级数P1k=1M k 收敛，则级数(10) 在E 上绝对收敛且一致收敛．证明由正项级数P1k=1M k 收敛和比较判别法，级数P1k =1 jf k(z)j 在E 上收敛，亦即级数(10) 在E 上绝对收敛．又正项级数P1k=1M k 收敛意味着8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，8 p 2 N，有p Xk=1M n+k < ":由已知条件，¯¯¯¯¯p X k1 f n+k(z)¯¯¯¯¯·p Xk=1jf n+k(z)j ·p Xk=1M n+k < "在E 上一致成立，由Cauchy 一致收敛原理，级数(10) 在E 上一致收敛．证毕．例3 级数P1k =1 z k 在闭圆jzj · r < 1 上绝对收敛且一致收敛．事实上，存在正项级数P1k =1 r k 满足上述定理的要求．但该级数在单位圆jzj < 1 上不能一致收敛，参看上面的例2．例4 级数P1k=1 e i kµ=k s 当s > 1 时在0 · µ < 2¼ 上绝对收敛且一致收敛．事实上，存在正项级数P1k=1 1=k s 满足上述定理的要求．等价地说，级数P1k=1 z k=k s 当s > 1 时在单位圆周jzj = 1 上绝对收敛且一致收敛．x2 复函数项级数9例5 由上节例2 已经知道，级数P1k=1 e i kµ=k s 当0 < s ·1 且µ 6= 0 时条件收敛．下面进一步证明，它在± · µ ·2¼ ¡ ±上一致收敛，其中0 < ± < ¼．事实上，当µ 6= 0 时，由式(9)，n+m X k=n+1e i kµ¯¯¯¯¯m X k=1e i kµ¯¯¯¯¯·1sin(µ=2);当± · µ ·2¼ ¡ ±时，±=2 · µ=2 · ¼ ¡ ±=2，从而sin(±=2) ·sin(µ=2) ·1，故n+m X k=n+1e i kµ¯¯¯¯¯·1sin(±=2):由于数列f1=k s g1k=1 单调减少且恒正，故由式(8b) 可得n+p X k=n+1e i kµk s¯¯¯¯¯·1sin(±=2)1(n + 1)s <1n s sin(±=2):只要取n0 > 1=[" sin(±=2)]1=s，则当n > n0 时，8 p 2 N，n+p X k=n+1e i kµk s¯¯¯¯¯在± · µ ·2¼ ¡ ±上一致成立，由Cauchy 一致收敛原理，原级数在± · µ ·2¼ ¡ ±上一致收敛．注意本题无法用Weierstrass M{判别法来判断．一致收敛的重要性体现在下面的定理上．定理（和函数连续）若级数(10) 的各项均在点集E 上连续，且级数在E 上一致收敛于函数f(z)，则f(z) 亦在E 上连续．证明已知级数在E 上一致收敛于函数f(z)，故8 " > 0，9 n 2 N，使js n(z) ¡ f(z)j < "=3在E 上一致成立．另一方面，由于级数的各项均在点集E 上连续，故s n(z) 亦在点集E 上连续，于是，8 " > 0，9 ± > 0，使得当jz ¡ z0j < ±时，有js n(z) ¡ s n(z0)j < "=3:于是，当jz ¡ z0j < ±时，jf(z) ¡ f(z0)j = jf(z) ¡ s n(z) + s n(z) ¡ s n(z0) + s n(z0) ¡ f(z0)j· jf(z) ¡ s n(z)j + js n(z) ¡ s n(z0)j + js n(z0) ¡ f(z0)j< "=3 + "=3 + "=3 = ";亦即和函数在E 上连续．证毕．x2 复函数项级数10例6 考虑级数(10)，其中f1(z) = z，f k(z) = z k ¡z k¡1（k = 2; 3; ¢ ¢ ¢），显然s n(z) =z n，故级数在单位圆jzj < 1 和点z = 1 处收敛，特别地，它在z = x 2 [0; 1] 上收敛，在该区间上，其和函数为f(x) = ( 0; 0 · x < 1;1; x = 1:显然和函数在x = 1 处不连续，这是由于级数在z = x 2 [0; 1] 上不能一致收敛．事实上js n(x) ¡ f(x)j = ( x n; 0 · x < 1;0; x = 1:为使n > n0 时，js n(x) ¡ f(x)j < "，需取n0 ¸ln "= ln x，当x ! 1，n0 越来越大，因此无法找到共同的n0，使js n(x) ¡ f(x)j < " 一致成立．由上例可以看出，尽管级数的各项都具有良好的解析性质，并且级数在点集E 上处处收敛，但其和函数仍然可能在E 上不连续，由此可见一致收敛的重要性．和函数在点z0 2 E 连续就是lim z!z0 f(z) = f(z0)，也就是limz!z01 X k=1f k(z) =1 X k=1f k(z0) =1 X k=1limz!z0f k(z):所以，可以等价地说，取极限与求和可以交换次序，其前提是级数要一致收敛．定理（逐项积分）若级数(10) 的各项均在曲线C 上连续，且级数在C 上一致收敛于函数f(z)，则可以沿C 逐项积分，即Z Cf(z) d z =1 X k=1 Z Cf k(z) d z: (12)证明记曲线C 的长度为L．已知级数在C 上一致收敛于函数f(z)，故8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，js n(z) ¡ f(z)j < "=L在C 上一致成立，于是，当n > n0 时，n X k=1 Z Cf k(z) d z ¡Z Cf(z) d z¯¯¯¯¯=¯¯¯¯Z C[s n(z) ¡ f(z)] d z¯¯¯¯·Z C js n(z) ¡ f(z)j j d zj <L Z C j d zj = ":证毕．式(12) 可以写作1 X k=1 Z Cf k(z) d z = Z C1 X k=1f k(z) d z: (120)亦即积分与求和可以交换次序，其前提是级数要一致收敛．很容易想到的一个问题是，什么情况下求导与求和可以交换次序？当然，只有在级数各项均可导、或者说各项均解析的条件下，这一问题才有意义．所以这是一个关于解析函数项级数的问题，下一小节就会给出答案．x2 复函数项级数11三解析函数项级数若级数(10) 的各项均为解析函数，就称为解析函数项级数．关于解析函数项级数，有下面的重要定理．定理（Weierstrass）若级数(10) 的各项均在区域D 内解析，且级数在D 内的任一有界闭集上一致收敛（称为在D 上内闭一致收敛）于函数f(z)，则(1) 和函数f(z) 在D 内解析；(2) 级数P1k=1 f(p)k (z) 在D 上内闭一致收敛到f(p)(z)，其中p 2 N．注1°这是一个非常重要的定理，它是级数理论的基石，所以复变函数论中的级数理论也称为Weierstrass 级数理论．2°这个定理是微积分中所没有的．在微积分中，要求级数P1k=1 f k(x) 在区间[a; b] 上收敛，各项都具有连续导数，且P1k=1 f0k (x) 在[a; b] 上一致收敛，才能逐项求导一次，并且不能保证可以进一步逐项求导．而这里只要求原级数一致收敛，且各项解析，那么就可以不断地逐项求导，且求导后的级数也一致收敛到和函数的同阶导数．3°总的来说，这一结果很容易理解，但需注意其前提仍然是级数要一致收敛．4°这里要求级数在D 上内闭一致收敛，这比要求级数在D 内一致收敛要弱．比如级数P1k=1 z k虽然在单位圆jzj < 1 上不能一致收敛，但内闭一致收敛（因为它在闭圆jzj · r < 1 上一致收敛，参看上面的例3），所以其和函数f(z) 在单位圆jzj < 1 内解析，且可以逐项求导．我们知道，其和函数是z=(1 ¡ z)，它确实在单位圆jzj < 1 内解析．为了证明这一定理，需要引用Morera 定理，后者是Cauchy 积分定理的逆定理．这一定理本来应该放在第二章介绍，但因为是选读内容，而且以后也不需要用到，所以放在此处，作为证明Weierstrass定理的预备．定理（Morera）设函数f(z) 在单通区域D 内连续，且对D 内任一围线C，满足R C f(z) d z = 0，则f(z) 在D 内解析．证明取固定点z0 2 D，由于对D 内任一围线C 有R C f(z) d z = 0，故积分R zz0f(³) d³（其中z 2 D）只与上限z 有关，而与z0 到z 的路径无关．定义F(z) = R zz0f(³) d³，它是z 的单值函数．我们在第二章已经证明，只要f(z) 在D 内连续，就有F0(z) = f(z)，亦即F(z) 解析．由于解析函数的导数也是解析函数，故f(z) 在D 内解析．证毕．下面就给出Weierstrass 定理的证明(1) 8 z 2 D，总可以找到邻域N(z; r) ½ D，按已知条件，级数(10) 在N(z; r) 内的任一围线C 上一致收敛，故Z Cf(z) d z =1X k=1 Z Cf k(z) d z = 0;其中最后一个等号用了Cauchy 积分定理，因为级数各项在N(z; r) 内解析，而N(z; r) 为单通区域．由上式和Morera 定理，易知f(z) 在N(z; r) 内解析，特别地，f(z) 在点z 解析，由z 的任意性，可知f(z) 在D 内解析．(2) 8 z0 2 D，总可以找到邻域N(z0; 2r)，使得N(z0; 2r) ½ D，按已知条件，级数(10) 在N(z0; 2r) 上一致收敛，故8 " > 0，9 n0 2 N，当n > n0 时，n X k=1f k(³) ¡ f(³)¯¯¯¯¯x2 复函数项级数12在圆周C：j³ ¡ z0j = 2r 上一致成立．今8 z 2 N(z0; r)，³ 2 C，有j³ ¡ z0j = 2r，jz ¡ z0j < r，故j³ ¡ zj = j(³ ¡ z0) ¡(z ¡ z0)j ¸ j³ ¡ z0j ¡ jz ¡ z0j > 2r ¡ r = r;故¯¯¯¯¯n X k=1f k(³)(³ ¡ z)p+1 ¡f(³)(³ ¡ z)p+1¯¯¯¯¯= j P nk=1 f k(³) ¡ f(³)jj³ ¡ zj p+1 <r p+1 ; p 2 N;对³ 2 C 和z 2 N(z0; r) 一致成立．由于f(z) 和f k(z) 均在N(z0; 2r) 上解析，由Cauchy 高阶导数公式，当z 2 N(z0; 2r)，有f(p)k (z) = p!2¼i Z Cf k(³)(³ ¡ z)p+1 d³; f(p)(z) = p!2¼i Z Cf(³)(³ ¡ z)p+1 d³:当z 2 N(z0; r)，上式当然也成立，于是当n > n0 时，有n X k=1f(p)k (z) ¡ f(p)(z)¯¯¯¯¯= p!2¼¯¯¯¯¯n X k=1 Z Cf k(³)(³ ¡ z)p+1 d³ ¡Z Cf(³)(³ ¡ z)p+1 d³¯¯¯¯¯·p!2¼ Z C¯¯¯¯¯n X k=1f k(³)(³ ¡ z)p+1 ¡f(³)(³ ¡ z)p+1¯¯¯¯¯j d³jp!2¼r p+1 Z C j d³j = p!2¼r p+1 4¼r =2p!r p ":上式在z 2 N(z0; r) 时一致成立，换句话说，级数P1k=1 f(p)k (z) 在N(z0; r) 上一致收敛到f(p)(z)，而z0 2 D 是任意的，所以对D 内任一闭集G 上的任一点，都存在该点的一个邻域，使P1k=1 f(p)k (z)在该邻域上一致收敛到f(p)(z)．这些邻域构成了闭集G 的一个开覆盖（就是说这些邻域（开集）覆盖了闭集G），我们总可以从中选出有限个覆盖闭集G（这里用到了一个定理，称为有限覆盖定理，又称Heine{Borel 定理，不过，这一结论是比较直观的），由于P1k=1 f(p)k (z) 在其中的每一个上都一致收敛到f(p)(z)，故在闭集G 上亦然．证毕．四*Riemann ³函数、Riemann 假设与千禧数学难题下面用Weierstrass 定理来研究一个实例．例7 研究级数P1k=1 1=k z = P1k=1 e¡z ln k．显然，该级数的每一项都是复平面上的解析函数．只要找到级数的收敛区域，应用Weierstrass 定理，其和函数的解析性也就清楚了．从级数的形式来看，我们猜想级数的敛散性主要取决于z 的实部．又已经知道，当z = x > 1 时级数收敛，而z = x ·1 时级数发散，所以估计级数的收敛区域应该是Re z > 1．首先证明，如果级数在z0 收敛，则当Re z > Re z0 时亦收敛．事实上，由于级数在z0 收敛，故9 M > 0，使得8 n 2 N，均有js n(z0)j < M．显然e¡z ln k = e¡(z¡z0) ln k e¡z0 ln k = e¡(z¡z0) ln k[s k(z0) ¡ s k¡1(z0)]; k 2 N;其中s0(z0) ´0，故有n+p X k=n+1e¡z ln k = e¡(z¡z0) ln(n+p)s n+p(z0) ¡e¡(z¡z0) ln(n+1)s n(z0)n+p¡1 X k=n+1(z ¡ z0)s k(z0) Z k+1ke¡(z¡z0) ln ttd t;x2 复函数项级数13于是n+p X k=n+1e¡z ln k¯¯¯¯¯· M[e¡(x¡x0) ln(n+p) + e¡(x¡x0) ln(n+1)] +Mjz ¡ z0jn+p¡1 X k=n+1 Z k+1ke¡(x¡x0) ln ttd t< 2M e¡(x¡x0) ln n +Mjz ¡ z0jn+p¡1 X k=n+1 Z k+1ke¡(x¡x0) ln ttd t;其中x = Re z，x0 = Re z0．但n+p¡1 X k=n+1 Z k+1ke¡(x¡x0) ln ttd t = Z n+pn+1e¡(x¡x0) ln ttd te¡(x¡x0) ln(n+1) ¡e¡(x¡x0) ln(n+p)x ¡ x0e¡(x¡x0) ln nx ¡ x0于是¯¯¯¯¯n+p X k=n+1e¡z ln k¯¯¯¯¯< M µjz ¡ z0jx ¡ x0+ 2¶e¡(x¡x0) ln n = M µjz ¡ z0jx ¡ x0+ 2¶ 1n x¡x0由于x > x0，容易看出，只要n 充分大，上式就可以任意小．事实上，8 " > 0，只要取n0 > ·M" µjz ¡ z0jx ¡ x0+ 2¶¸1=(x¡x0)则当n > n0 时，就有¯¯¯¯¯n+p X k=n+1e¡z ln k¯¯¯¯¯< "; 8 p 2 N;由Cauchy 收敛原理，级数当Re z > Re z0 时收敛．但注意以上的n0 不仅依赖于"，而且也依赖于z．我们已经知道，当z = 1 时级数发散，由上述结论容易推知，级数当Re z < 1 时必然发散．另一方面，我们也知道，当s > 1 时，正项级数P1k=1 1=k s 收敛，而当Re z ¸ s 时，有j1=k z j =1=k x ·1=k s，由Weierstrass M{判别法，级数当Re z ¸ s 时绝对且一致收敛．由此容易推知，级数在区域Re z > 1 内的任一有界闭集上一致收敛，亦即在区域Re z > 1 上内闭一致收敛，由Weierstrass定理，和函数在区域Re z > 1 内解析，并且逐项求导后的级数也在区域Re z > 1 上内闭一致收敛到和函数的同阶导数．但是用上面的方法无法判断级数在z = 1 + i y 而y 6= 0 时的敛散性．由上面的级数定义的函数可以解析开拓到整个复平面上，所得的函数称为Riemann ³函数，记作³(z)，z = 1 是它的唯一一个奇点，z = ¡2n（n 2 N）是它的简单零点（即一阶零点），其它的零点都位于带形区域0 ·Re z ·1 内．Riemann 假设（Riemann's hypothesis）：³(z) 在带形区域0 ·Re z ·1 内的所有零点都位于直线Re z = 1=2 上．已经知道有一个不可数的零点集合位于该直线上．但Riemann 假设的严格证明目前尚未完成．1900 年，著名的数学家D. Hilbert 在巴黎的世界数学家大会上提出了23 个数学问题，认为对这些问题的研究会极大地影响二十世纪数学的发展，Riemann 假设就是这些问题之一．这些问题有的很快就得到解决，有的则直到目前尚未解决，Riemann 假设就是尚未解决的问题之一．关于Hilbert 问题，参看/~djoyce/hilbert/．x3 幂级数142000 年，美国的Clay 数学研究所在尚未解决的著名数学问题中选出七大难题，并设立了每题100万美元的奖金，Riemann 假设就在其中，参看/Millennium Prize Problems/．x3 幂级数一幂级数的敛散性形如1 X n=0c n(z ¡ a)n (a 2 C; c n 2 C) (13)的级数称为幂级数．注从本节开始，我们改用n 来表示求和指标．并请注意现在求和多了n = 0 一项，不过这对于级数的性质没有什么影响．显然，级数(13) 的每一项都是解析函数，事实上，幂级数是最简单的解析函数项级数．根据Weierstrass 定理，只要把级数的收敛区域研究清楚，那么和函数的解析性质也就清楚了．关于这一级数的敛散性，Abel 给出了下述的重要定理．定理（Abel）如果级数(13) 在某点z0 6= a 收敛，则(1) 它在圆K：jz ¡ aj < jz0 ¡ aj 内绝对收敛；(2) 它在闭圆K½：jz ¡aj · ½ < jz0 ¡aj 内一致收敛（即在圆K 上内闭一致收敛）．证明(1) 由已知条件，级数P1 n=0 c n(z0 ¡ a)n 收敛，故9 M > 0，使得jc n(z0 ¡ a)n j < M; n = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;于是jc n(z ¡ a)n j = jc n(z0 ¡ a)n j¯¯¯¯z ¡ az0 ¡ a¯¯¯¯n< M¯¯¯¯z ¡ az0 ¡ a¯¯¯¯n当jz ¡ aj < jz0 ¡ aj，以右边为通项的级数收敛，由比较判别法，以左边为通项的级数亦收敛，即原级数在圆K 上绝对收敛．(2) 当jz ¡ aj · ½ < jz0 ¡ aj，jc n(z ¡ a)n j < M¯¯¯¯z ¡ az0 ¡ a¯¯¯¯n· M µ½jz0 ¡ aj¶n右边是与z 无关的正数，且以此为通项的级数显然收敛，由Weierstrass M{判别法，原级数在闭圆K½ 上一致收敛．证毕．由Abel 定理，立得以下推论1 如果级数(13) 在某点z0 6= a 发散，则它必在圆周jz ¡ aj = jz0 ¡ aj 外发散．由Abel 定理和推论1 可知，级数(13) 在某点z 收敛或发散只与该点到a 的距离有关，而与该点相对于a 的方向无关（即只与z ¡ a 的模有关，而与其辐角无关），因此收敛点集与发散点集的分界必定是一个圆周，这就是下面的x3 幂级数15推论2 对于级数(13)，9 R ¸0，使它在圆周jz ¡aj = R 内绝对收敛而在其外处处发散．上面的R 称为收敛半径，jz ¡ aj < R 称为收敛圆，而jz ¡ aj = R 称为收敛圆周．应当指出，对于级数(13) 在收敛圆周jz ¡ aj = R 上的敛散性，Abel 定理及其推论没有给出结论．二收敛半径的求法上一小节的推论2 可以换一种等价的方式来表达：级数P1 n=0 jc n jr n 当0 · r < R 时收敛，而当r > R 时发散．也就是说，R 是该正项级数的收敛区间与发散区间的分界点．由正项级数收敛的Cauchy 判别法和d' Alembert 判别法，不难推出下面收敛半径的计算公式．定理（收敛半径的Cauchy 计算公式）如果lim n!1n p jc n j = l，则级数(13) 的收敛半径为R =8>><>>:1=l; 当0 < l < 1;1; 当l = 0.(14)实际上，即使lim n!1n p jc n j 不存在，只要lim n!1n p jc n j = l，式(14) 仍然成立（相应的判别法也称为Cauchy{Hadamard 判别法）．这里lim 表示上极限．一个实数列的上极限就是它的所有收敛子列的极限中最大的一个（虽然这不是上极限的原始定义）．例1 级数P1n=0[2 + (¡)n]n z n，n p jc n j = 2 + (¡)n，显然lim n!1n p jc n j 不存在，但考虑子列fc2k g1k=0，易得lim n!1n p jc n j = 3．因此，该级数的收敛半径为R = 1=3，即收敛圆为jzj < 1=3．例2 级数P1k=0 z k2 = 1+z +z4 +z9 +z16 +¢ ¢ ¢，当n = k2 （k = 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢），c n = 1，其它情况下c n = 0，显然lim n!1n p jc n j 不存在，但考虑子列fc k2g1k=0，易得lim n!1n p jc n j = 1．因此，该级数的收敛半径为R = 1，即收敛圆为jzj < 1．定理（收敛半径的d' Alembert 计算公式）如果lim n!1 jc n+1=c n j = l，则级数(13) 的收敛半径由式(14) 给出．如果极限lim n!1 jc n+1=c n j 不存在，则无法使用d' Alembert 计算公式，所以它不如Cauchy{ Hadamard 计算公式来得普遍，甚至也不如Cauchy 计算公式．但是，当极限lim n!1 jc n+1=c n j 存在时，d' Alembert 计算公式通常是比较方便的．例3 考虑级数P1n=2 c n z n，其中c2k = 2k ，c2k+1 = k （k 2 N）．易得lim k!1 jc2k+1=c2k j =1=2，而lim k!1 jc2k+2=c2k+1j = 2，即lim n!1 jc n+1=c n j = 2，lim n!1 jc n+1=c n j = 1=2．根据d' Alem- bert 判别法，易知当jzj < 1=(lim n!1 jc n+1=c n j) = 1=2 时级数收敛，而当jzj > 1=(lim n!1jc n+1=c n j) =2 时级数发散，但是对于1=2 < jzj < 2 时级数的敛散性，我们无法由d' Alembert 判别法得到进一步的信息．另一方面，不难求得lim n!1n p jc n j = 1，故由Cauchy 计算公式立得该级数的收敛半径为R = 1，即收敛圆为jzj < 1．可见Cauchy 计算公式更普遍一些．三和函数的解析性知道了幂级数的收敛范围，由前面的有关定理，就可以得到以下结论：x4 解析函数的Taylor 展开16定理幂级数(13) 在收敛圆K：jz ¡ aj < R 上有如下性质：(1) 和函数f(z) 解析；(2) 可以逐项求导而收敛半径不变；(3) 可以逐项积分而收敛半径不变．证明考虑闭圆K½：jz ¡ aj · ½ < R，总可找到一点z0，使得½ < jz0 ¡ aj < R．如此，z0 在收敛圆内，故级数(13) 在z0 收敛，由Abel 定理，它必在K½ 上一致收敛．也就是说，它在收。