(新)高中数学第二章参数方程2_1参数方程的概念课后训练北师大版选修4-41

【最新】高中数学第二章参数方程23参数方程化成普通方程练习北师大版选修4-41106242§3 参数方程化成普通方程课后篇巩固探究A组1.曲线(θ为参数)的一条对称轴的方程为()A.y=0B.x+y=0C.x-y=0D.2x+y=0解析:曲线(θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),过圆心的直线都是圆的对称轴,故选D.答案:D2.下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的是()A.(2,7)B.C.D.(1,0)解析:当x=时,θ=,2θ=,y=cos 2θ=cos ,故选C.答案:C3.若已知曲线(θ为参数),则点(x,y)的轨迹是()A.直线x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:∵x=1+cos 2θ=1+(1-2sin2θ)=2-2y,∴x+2y-2=0.又∵x=1+cos 2θ∈[0,2],y=sin2θ∈[0,1].∴点(x,y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案:D4.参数方程(α为参数)的普通方程为()A.y2-x2=1B.x2-y2=1C.y2-x2=1(|x|≤)D.x2-y2=1(|x|≤)解析:∵x2==1+sin α,y2=2+sin α,∴y2-x2=1.又x=sin +cos sin∈[- ],即|x|≤.故应选C.答案:C5.导学号73144037若P(x,y)是曲线(0≤θ<2π,θ是参数)上的动点,则的取值范围是()A. B.C. D.解析:曲线C:是以(-2,0)为圆心,1为半径的圆,即(x+2)2+y2=1.设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取得最小值与最大值.=1,解得k2=.故的取值范围是.答案:B6.参数方程(α为参数)化成普通方程为.解析:∵(α为参数),cos2α+sin2α=1,∴x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=17.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π]),则圆C的圆心坐标为,圆心到直线l 的距离为.解析:消参数得到圆的方程为x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为(0,2).消参数后直线方程为x+y=6,则圆心到直线的距离为=2.答案:(0,2)28.已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:(θ为参数),则它们的公共点个数为.解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为C(-1,2),半径为2.由于圆心到直线l的距离d=<2,故直线l与圆C的公共点个数为2.答案:29.把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.(1)(t为参数);(2)(t≥0,t为参数).解(1)由x=1-≤1,得=1-x,代入y=1+2,得到y=3-2x.又因为x≤1,所以参数方程等价于普通方程y=3-2x(x≤1).这是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点).(2)由②得t=y-1,代入①中,得x=-4(y-1)2(y≥1),即(y-1)2=-x(y≥1).方程表示的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x 轴,开口向左的抛物线的一部分.10.导学号73144038在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标,得点(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cos α,sin α),从而点Q到直线l的距离为d==cos+2,当cos=-1时,d取得最小值,且最小值为.B组1.椭圆(φ为参数)的焦点坐标为()A.(-2,0),(2,0)B.(0,-2),(0,2)C.(0,-4),(0,4)D.(-4,0),(4,0)解析:利用平方关系化为普通方程=1,c2=16,c=4,焦点在x轴上,所以焦点为(-4,0),(4,0),故选D.答案:D2.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为()A.B.2C.D.2解析:由题意得直线l的普通方程为x-y-4=0,圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,则圆心到直线l的距离d=,故弦长=2=2.答案:D3.参数方程(θ为参数,且0<θ<2π)表示()A.抛物线的一部分,这部分过点B.双曲线的一支,这支过点C.双曲线的一支,这支过点D.抛物线的一部分,这部分过点解析:由参数方程得x2==cos2+sin2+2cos sin=1+sin θ,故y=x2,且≥x≥0,表示抛物线的一部分.答案:A4.方程为(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l与圆C交点的直角坐标为. 解析:圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,直线l的直角坐标方程为y=1.所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).答案:(-1,1),(1,1)5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为:C1:(t为参数)和C2:(θ为参数),它们的交点坐标为.11AB,AD两边分别平行于x轴、y轴,求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标.解根据圆的参数方程,可设A(3cos θ,3sinθ)(0°≤θ≤90°),则|AB|=4-3cosθ,|AD|=4-3sin θ.S矩形=|AB|·|AD|ABCD=(4-3cos θ)(4-3sin θ)=16-12(cos θ+sin θ)+9cos θsin θ.令t=cos θ+sin θ(1≤t≤),则2cos θsin θ=t2-1.=16-12t+(t2-1)S矩形ABCD=t2-12t+.故t=时,S矩形ABCD取得最小值.此时解得故A或A.1213。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 参数方程 2.1 参数方程的概念学业分层测评 北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D 的坐标是( )A.(9，－1)B.(－3,1)C.(1,3)D.(2,2)【解析】 设D点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故D 点坐标为(1,3).故应选C.【答案】 C2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A.两条直线 B.四条直线 C.两个点D.四个点【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故选D.【答案】 D3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后为( )A.y ＝cos xB.y ＝3cos 12xC.y ＝2cos 13xD.y ＝12cos 3x【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4.将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋3＝0 C.x －y ＋1＝0D.x －y ＋3＝0【解析】 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 【答案】 C5.平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )【导学号：12990002】A.32B.12C.2D.3【解析】 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴a ＝32，∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥32.由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.【答案】 A 二、填空题6.x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________.【解析】 如果x 轴上的单位长度不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆.【答案】 椭圆7.已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2＋1，则点P的轨迹方程是____________.【解析】 由题意得PA →＝(－2－x ，－y )， PB →＝(－3－x ，－y )，∴PA →·PB →＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1， 即y 2＋5x ＋5＝0. 【答案】 y 2＋5x ＋5＝08.如图1­1­2所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________.图1­1­2【解析】 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH ，PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.【答案】 y 2＝23x －19三、解答题9.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，求城市B 处于危险区内的时间.【解】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B 点坐标为(40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km).所以|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区内的时间为1 h.10.A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动.已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程.【解】 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图)，则A 点的坐标为(0,3).设外心P 点的坐标为(x ，y ).∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0). ∵P 也在AB 的垂直平分线上， ∴|PA |＝|PB |，即x 2＋ y －3 2＝22＋y 2， 化简得x 2－6y ＋5＝0. 这就是所求的轨迹方程.能力提升]1.方程x 2＋xy ＝0的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】 x 2＋xy ＝x (x ＋y )＝0，即x ＝0或x ＋y ＝0. 故方程x 2＋xy ＝0表示两条直线. 【答案】 C2.已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )【导学号：12990003】A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x <－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x <－3) 【解析】 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A ，得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为x 29－y 227＝1(x <－3).【答案】 B3.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________.【解析】 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确. 【答案】 ②③4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图1­1­3，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0).观测点A (4,0)，B (6,0).图1­1­3(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4，得x ＝6或x ＝－6(舍去). ∴C 点的坐标为(6,4)， ∴|AC |＝25，|BC |＝4.所以当航天器离观测点A ，B 的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令.。

一、选择题1.下列各点在方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ是参数)所表示曲线上的点是( ) A.(2，－7) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D.(1，0)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ，将选项代入上式即可. ∴x ＝12时，y ＝12.故应选C.答案 C2.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2 θ，y ＝sin 2 θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2 (2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2 (0≤y ≤1) 解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C.答案 C3.曲线(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A.(－1＋cos θ，sin θ)B.(1＋sin θ，cos θ)C.(－1＋2cos θ，2sin θ)D.(1＋2cos θ，2sin θ)解析 可设⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ，∴曲线x 的点可表示为(1＋2cos θ，2sin θ).答案 D4.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( )A.|t 1|B.2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1|解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)，∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|.答案 C 5.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2t ＋3y ＝t 2＋2t ＋2表示的曲线是( ) A.双曲线x 2－y 2＝1B.双曲线x 2－y 2＝1的右支C.双曲线x 2－y 2＝1，但x ≥0，y ≥0D.以上结论都不对解析 平方相减得x 2－y 2＝1，但x ≥2，y ≥1.答案 D二、填空题6.已知曲线⎩⎨⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π).下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________.解析 曲线方程可化为x －2y ＋5＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入曲线的参数方程可知只有A 符合.答案 A7.物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________.解析 设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于物体作平抛运动，依题意，得⎩⎨⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2，这就是物体所经路线的参数方程.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)8.以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数，将方程4x 2＋y 2＝16化成参数方程是__________.解析 设直线为y ＝kx ＋4，代入4x 2＋y 2＝16化简即可.答案⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝16－4k 24＋k 29.将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θy ＝sin θcos θ化成普通方程为__________. 解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2.答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2)三、解答题10.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.圆与直线有公共点，d ＝|0－1＋a |2≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2.11.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值.解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求，由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数). (2)由上述可知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π4)，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，已知动点P 满足PQ ⊥OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程.解 设点P 坐标为(x ，y )，则B (2a ，y )，D (x ，0).在Rt △OAB 中，tan θ＝AB OA ，∴AB ＝OA ·tan θ，即y ＝2a ·tan θ.在Rt △OAQ 中，cos θ＝OQ OA ，∴OQ ＝OA ·cos θ，在Rt △OQD 中，cos θ＝OD OQ ，∴OD ＝OQ ·cos θ，∴OD ＝OA ·cos 2θ，即x ＝2a · cos 2θ.即有⎩⎨⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，化为普通方程为：xy 2＋4a 2x ＝8a 3. 13.在长为a 的线段AB 上有一个动点E ，在AB 的同侧以AE 和EB 为斜边，分别作等腰直角三角形AEC 和EBD ，点P 是CD 的定比分点，且CP ∶PD ＝2∶1，求点P 的轨迹.解 建立如图所示坐标系(设C ，D 在x 轴上方).设E (t ，0)(t 为参数，t ∈[0，a ])，B (a ，0)，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋t 2，a －t 2. ∵CP ∶PD ＝2∶1，即λ＝2.由定比分点公式，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2·12（a ＋t ）1＋2＝16（2a ＋3t ），y ＝t 2＋2·12（a －t ）1＋2＝16（2a －t ）t ∈[0，a ]，这就是点P 运动轨迹的参数方程.。

§1 参数方程的概念1．理解参数方程的概念，了解参数方程的几何意义和物理意义．2．能够根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程．3．理解参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握它们的互化法则．1．参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y)都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝，y ＝，①并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的________，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作______，简称____．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y)表示的曲线方程f(x ，y)＝0叫作曲线的________．【做一做1－1】已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ∈[0,2π))．判断点A(1，3)和B(2,1)是否在方程的曲线上．【做一做1－2】P(x ，y)是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则－2＋＋2的最大值为__________．2．参数的取值范围在参数方程中，应明确参数t 的取值范围．对于参数方程x ＝f(t)，y ＝g(t)来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的．如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f(t)和y ＝g(t)这两个函数的自然定义域的____．参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中，其他的坐标系也可以采用参数方程．【做一做2】化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4t 2，y ＝t ＋1(t 为参数，t≥0)为普通方程，并说明方程的曲线是什么图形．曲线的参数方程的特点剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x ，y 间的间接联系．在具体问题中，参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 之间的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数的个数一般应尽量少．答案：1．参数方程 参变数 参数 普通方程【做一做1－1】分析：把A ，B 两点的坐标分别代入方程验证即可．解：把A ，B 两点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧1＝2cos θ，3＝2sin θ，① ⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝2cos θ，1＝2sin θ，②在[0,2π)内，方程组①的解是θ＝π3，而方程组②无解，故点A 在方程的曲线上，而点B 不在方程的曲线上．【做一做1－2】6 由题意，设d 2＝(x －5)2＋(y ＋4)2＝(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝8sin α－6cos α＋26＝10sin(α－φ)＋26，其中φ为锐角，tan φ＝34. ∴d 2max ＝10＋26＝36，从而d max ＝6， 即－2＋＋2的最大值为6.2．交集【做一做2】分析：把参数t 消掉，注意范围．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1消去t ，得x ＝－4(y －1)2(y≥1)． 即(y －1)2＝－14x(y≥1)． 所以方程的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分．题型一 求曲线的参数方程【例1】如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹．分析：写出圆的参数方程，利用中点坐标公式得到点M 的参数方程，从而求出其轨迹．反思：解答本题时，应先写出圆的参数方程，然后利用中点坐标公式求解，对轨迹的判断也要特别注意． 题型二 参数方程的应用【例2】已知点P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围． 反思：利用参数方程求最值，可以把问题直接转化成三角函数问题，从而使整个运算过程得到了简化． 题型三 易错题型【例3】将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)错解：将参数方程中s in 2θ消去，得y ＝x －2，故选A.错因分析：忽略了参数方程中0≤sin 2θ≤1的限制．反思：参数方程与普通方程互化时，要注意参数的取值范围．答案：【例1】解：设点M 的坐标为(x ，y)，圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ.∴可设点P 坐标为(4cosθ，4sin θ)． 由中点坐标公式得，点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ.∴点M 的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．【例2】解：设P(3＋cos θ，2＋3sin θ)，则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．【例3】C 正解：消参得y ＝x －2，又∵0≤sin 2θ≤1，∴2≤2＋sin 2θ≤3，即x ∈[2,3]．∴普通方程为y ＝x －2(2≤x≤3)．故选C.1下列的点在曲线sin2,cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的是( )．A ．1,2⎛ ⎝B ．31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(－2，3)D ．(12若点M(x ，y)在曲线13cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与它的最小值的差为( )．A ．．C D ．3把方程sin cos ,sin21x y θθθ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为__________．4一架救援飞机以100 m/s 的速度做水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1 000 m 时投放救灾物资(不计空气阻力，g ＝9.8 m/s 2)，问此时飞机的飞行高度约是多少？(精确到1 m)答案：1．B 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin 2θ＝2sin θcos θ，y ＝cos θ＋sin θ化为普通方程是y 2＝1＋x ，把A ，B ，C ，D 各项中点的坐标代入，验证等式是否成立即可．2．B x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. ∴最大值与最小值的差为11＋62－(11－62)＝12 2.3．y ＝x 2－2(－2≤x≤2) 将x ＝sin θ＋cos θ两边平方，然后与y ＝sin 2θ－1相减，得y ＝x 2－2.又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∴－2≤x≤ 2.4．解：在时刻t 时飞机在水平方向的位移量x ＝100t.离地面高度y ＝0＋12gt 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝100t ， ①y ＝0＋12gt 2. ②令1 000＝100t ，得t ＝10，代入②得y ＝12×9.8×100＝490. 即此时飞机的飞行高度约是490 m.。

§1 参数方程的概念1．理解参数方程的概念，了解参数方程的几何意义和物理意义． 2．能够根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程．3．理解参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握它们的互化法则．1．参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，①并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的________，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作______，简称____．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的________．【做一做1－1】已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ∈[0,2π))．判断点A (1，3)和B (2,1)是否在方程的曲线上．【做一做1－2】P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则x －52＋y ＋42的最大值为__________．2．参数的取值范围在参数方程中，应明确参数t 的取值范围．对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的．如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的____．参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中，其他的坐标系也可以采用参数方程．【做一做2】化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1(t 为参数，t ≥0)为普通方程，并说明方程的曲线是什么图形．曲线的参数方程的特点剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x ，y 间的间接联系．在具体问题中，参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 之间的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数的个数一般应尽量少．答案：1．参数方程 参变数 参数 普通方程【做一做1－1】分析：把A ，B 两点的坐标分别代入方程验证即可． 解：把A ，B 两点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧1＝2cos θ，3＝2sin θ，①⎩⎪⎨⎪⎧2＝2cos θ，1＝2sin θ，②在[0,2π)内，方程组①的解是θ＝π3，而方程组②无解，故点A 在方程的曲线上，而点B 不在方程的曲线上．【做一做1－2】6 由题意，设d 2＝(x －5)2＋(y ＋4)2＝(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝8sin α－6cos α＋26＝10sin(α－φ)＋26，其中φ为锐角，tan φ＝34.∴d 2max ＝10＋26＝36，从而d max ＝6， 即x －52＋y ＋42的最大值为6. 2．交集【做一做2】分析：把参数t 消掉，注意范围．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1消去t ，得x ＝－4(y －1)2(y ≥1)．即(y －1)2＝－14x (y ≥1)．所以方程的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分．题型一 求曲线的参数方程【例1】如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为(12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹．分析：写出圆的参数方程，利用中点坐标公式得到点M 的参数方程，从而求出其轨迹． 反思：解答本题时，应先写出圆的参数方程，然后利用中点坐标公式求解，对轨迹的判断也要特别注意．题型二 参数方程的应用【例2】已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．反思：利用参数方程求最值，可以把问题直接转化成三角函数问题，从而使整个运算过程得到了简化．题型三 易错题型【例3】将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)错解：将参数方程中s in 2θ消去，得y ＝x －2，故选A.错因分析：忽略了参数方程中0≤sin 2θ≤1的限制．反思：参数方程与普通方程互化时，要注意参数的取值范围． 答案：【例1】解：设点M 的坐标为(x ，y )，圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ.∴可设点P 坐标为(4cos θ，4sin θ)．由中点坐标公式得，点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ.∴点M 的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．【例2】解：设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]． 【例3】C 正解：消参得y ＝x －2，又∵0≤sin 2θ≤1，∴2≤2＋sin 2θ≤3，即x ∈[2,3]．∴普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．故选C.1下列的点在曲线sin2,cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的是( )．A ．1,2⎛ ⎝B ．31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(－2，3)D ．(12若点M(x ，y )在曲线13cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与它的最小值的差为( )．A ．B ．C ．2D ．32 3把方程sin cos ,sin21x y θθθ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为__________．4一架救援飞机以100 m/s 的速度做水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1 000 m 时投放救灾物资(不计空气阻力，g ＝9.8 m/s 2)，问此时飞机的飞行高度约是多少？(精确到1 m)答案：1．B 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ＝2sin θcos θ，y ＝cos θ＋sin θ化为普通方程是y 2＝1＋x ，把A ，B ，C ，D 各项中点的坐标代入，验证等式是否成立即可．2．B x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2.∴最大值与最小值的差为11＋62－(11－62)＝12 2.3．y ＝x 2－2(－2≤x ≤2) 将x ＝sin θ＋cos θ两边平方，然后与y ＝sin 2θ－1相减，得y ＝x 2－2.又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∴－2≤x ≤ 2.4．解：在时刻t 时飞机在水平方向的位移量x ＝100t .离地面高度y ＝0＋12gt 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ， ①y ＝0＋12gt 2. ②令1 000＝100t ，得t ＝10，代入②得y ＝12×9.8×100＝490.即此时飞机的飞行高度约是490 m.。

参数方程化成普通方程练习1方程1=,=2x t t y ⎧+⎪⎨⎪⎩表示的曲线为( )．A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分2曲线21=1,=1x t y t⎧-⎪⎨⎪-⎩(t 为参数，t ≠0)的普通方程为( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1B ．22=1x x y x --（）（）C ．y ＝211x -（）－1D ．y ＝21x x-＋1 3参数方程=1,=35x q y q +⎧⎨+⎩(q 为参数)化为普通方程是( )． A ．5x －3y ＝1 B ．5x －y ＝1C ．5x －y ＝2D ．x －5y ＝24参数方程=cos ,=cos21x y θθ⎧⎨+⎩(θ为参数)表示的曲线是( )．A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分5将3=31,=x t y t+⎧⎨⎩(t 为参数)化成普通方程为__________． 6点(x ，y )是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y x 的取值范围是__________．7设P 是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，求x ＋2y 的最大值和最小值．8将曲线C ：=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．参考答案1 答案：B x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2.当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴y ＝2(x ≥2或x ≤－2)表示的曲线为两条射线． 2答案：B ∵x ＝1－1t ，∴1=1t x -， ∴y ＝1－t 2＝1－2222122==111x x x x x x x -(-)(-)(-)(-). 3答案：C ∵=1=35x q y q +⎧⎨+⎩，，∴5=55=35x q y q +⎧⎨+⎩， ① ， ②①－②得5x －y ＝2.4 答案：B ∵y ＝cos 2 θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，又∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，它是抛物线的一部分．5 答案：31=27x y (-) 由x ＝3t ＋1得1=3x t -，代入y ＝t 3，得31=27x y (-). 6答案：33⎡-⎢⎣⎦， 曲线C ：=2cos =sin x y θθ-+⎧⎨⎩，是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1. 设=y k x ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值．＝1，解得21=3k . ∴y x的取值范围是33⎡-⎢⎣⎦，. 7 答案：分析：把椭圆方程转化成参数方程，利用三角关系进行求值．解：椭圆的标准方程为22=164x y +.∴参数方程为=2sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)． ∴x ＋2yθ＋4sin θsin(θ＋φ)(其中tan φ＝4，∵sin(θ＋φ)∈[－1,1]，∴x ＋2y∈[．即x ＋2y.8 答案：解：∵=cos =1sin x y θθ⎧⎨-+⎩，，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∴曲线C 是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆．若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，解得1≤a.∴a的取值范围为[1．。

第2课时 参数方程和普通方程的互化一、选择题1．已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为( )．A ．y 2＝1＋xB ．y 2＝1－xC ．y 2＝1－x (－2≤y ≤2)D ．以上都不对答案 C2．曲线⎩⎨⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )．A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1答案 A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝2t 1＋t 2(t 为参数)化为普通方程为 ( )．A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1， 又∵x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D. 答案 D4．直线l ：⎩⎨⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为( )．A.π6或5π6 B.π4或3π4C.π3或2π3D ．－π6或－5π6答案 A 二、填空题5．参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________．答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2)6．令x ＝t ，t 为参数，则曲线4x 2＋y 2＝4(0≤x ≤1，0≤y ≤2)的参数方程为________．答案 ⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)7．将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析 易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点 A 的距离减去半径，易求得为5－1. 答案 (x －1)2＋y 2＝15－18．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32. 答案 32 三、解答题9．设y ＝tx (t 为参数)，求圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程． 解 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得 (1＋t 2)x 2－4tx ＝0，解得x ＝4t 1＋t 2，∴y ＝tx ＝4t 21＋t 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)，这就是圆的参数方程．10．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M 、N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为 ⎝⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．11．(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008·海南·宁夏高考)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由． 解 (1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 2与C 1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22， 联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同．。

一、选择题1．椭圆22:1169x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )A ．181225+ B ．161025- C ．181225- D ．161025+ 2．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） A ．13B ．135+C ．3D ．133+3．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ） A ．22B ．23C ．11D ．224．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：22242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．6．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．7．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14C ．2D ．228．椭圆221164x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ ）A ．3B 11C ．22D 109．点M 的直角坐标是()3,1--，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭10．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ．14B ．214C ．2D ．2211．参数方程22sin { 12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈ 12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，l 与圆224x y +=相交与两点,A B ，则点P 到,A B 两点的距离之积为____.14．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．15．直线1413x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 17．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.18．已知曲线Γ的参数方程为32221{1t x t t y t =-+=+（t 为参数），则以下曲线Γ的说法中： ①关于原点对称；②在直线1y =下方；③关于y 轴对称；④是封闭图形，正确的有______．19．曲线,1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的直角坐标方程分别为_____，_____，两条曲线的交点个数为_____个.20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . （1）若曲线2C ：12x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线1C 相交于两点A ，B ，求AB ；（2）若M 是曲线1C 上的动点，且点M 的直角坐标为(,)x y ，求2x y +的最大值. 22．将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得曲线C ． （1）求出C 的参数方程;（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设P 是曲线C 上的一个动点，求点P到直线:20l x y +-=距离的最小值．23．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程是1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求||AB 的值. 24．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹； （2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，则点P 到直线l的距离12cos 12sin 185d θθ++==1818455πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=. 所以当54πθ=时，d取得最小值185-. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.2．D解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 2313co -s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y 的最大值为133+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题3．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22．考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．4．A解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】 因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l 的参数方程222242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2142216402t a t a -+++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ， 则()122422t t a +=+，()122164t t a =+， 因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2442210164aa +=+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

1 参数方程的概念1。

在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为（) A。

（2,-7)B.C。

D.(1,0)答案:C2.点P（3,b）在曲线上，则b的值为( )A.—5B。

3C。

5或—3D。

—5或3解析:由点P在曲线上，得+1=3,∴t=±2。

当t=2时，y=b=—5，当t=—2时，y=b=3.答案：D3。

曲线（t为参数）与x轴的交点坐标是( )A。

（1,4)B.C.（1,—3）D。

解析:把t=代入x=1+t2,得x=1+.令y=0,得x=.∴曲线与x轴的交点为。

答案:B4.下列方程可以作为x轴的参数方程的是（）A.B。

C.D.解析:因为x轴上的点的纵坐标为0，横坐标可以为任意实数,所以选D.答案：D5。

设O为坐标原点，点P0（1,0),将线段OP0以每秒的角速度逆时针旋转4秒到OP，则点P的坐标为（）A。

B。

C.D.解析:易知∠P0OP=4×，由三角函数的定义知，点P的坐标为，故选C.答案：C6。

圆的参数方程为(0≤θ<2π），若圆上一点P对应参数θ=,则P点的坐标是.解析:当θ=时,x=2+4cos=0，y=-+4sin=-3,∴点P的坐标是(0,-3）。

答案：(0,-3)7.点E（x,y）在曲线（θ为参数)上,则x2+y2的最大值与最小值分别为。

解析:x2+y2=(1+5cosθ）2+（2+5sinθ)2=30+（10cosθ+20sinθ）=30+10sin(θ+α)，其中tanα=,α为锐角，故x2+y2的最大值与最小值分别为30+10,30-10。

答案：30+10,30—108。

物体从高处以初速度v0m/s沿水平方向抛出,以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为。

解析:设物体抛出的时刻为0s,在时刻t s时其坐标为M（x,y），由于物体做平抛运动,依题意,得(t为参数),这就是物体所经路线的参数方程。

答案：(t为参数)9.已知曲线C的参数方程是(t为参数）.（1）判断点M1(0,1）,M2（5,4）与曲线C的位置关系;（2）已知点M3(6，a)在曲线C上,求a的值.解：（1)把点M1的坐标（0,1）代入解得t=0,所以点M1在曲线C上。

第二讲 2.1 2.1.1一、选择题1．(2016·重庆期末)P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任一点，则(x －2)2＋(y ＋4)2的最大值是( A )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：消去参数得(x ＋1)2＋y 2＝1，故曲线是以C (－1,0)为圆心，1为半径的圆，(x －2)2＋(y ＋4)2表示圆上点(x ，y )到P (2，－4)距离的平方，最大距离为|CP |＋R (圆的半径)，即(－1－2)2＋(0＋4)2＋1＝6，即所求的最大值为36. 2．曲线xy ＝1的参数方程是( D )A ．⎩⎨⎧x ＝t12y ＝t －12B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin αy ＝1sin α C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos αy ＝1cos αD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝1tan α解析：注意x ，y 的范围，知答案为D ．3．已知曲线C 满足方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －1(t 为参数)，则曲线C 上点的横坐标的取值范围是( D )A ．RB ． [0，＋∞)C ． [1，＋∞)D ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析：横坐标的取值范围即为t 的范围，由y ＝2t －1，知2t －1≥0即t ≥12，故选D ．4．(2016·湖北黄冈中学检测)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( B ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：化曲线C 的参数方程为普通方程：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2－3×(－1)＋2|10＝71010<3，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又71010>3－71010，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B ．5．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( B )A ．(x －1)2(y －1)＝1(y <1)B ．y ＝x (x －2)(1－x )2(y <1)C ．y ＝1(1－x )2－1(y <1)D ．y ＝x1－x 2－1(y <1)解析：由x ＝1－1t ，得t ＝11－x ，故y ＝1－1(1－x )2＝x (x －2)(1－x )2，又y ＝1－t 2，t ≠0，故y ＜1，因此所求的普通方程为y ＝x (x －2)(1－x )2(y ＜1)．6．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上点的最近距离是( C )A ．2 2B ．2－1C ．22－1D ．1解析：设曲线上任一点P (－2＋cos θ，1＋sin θ)，则点P 到直线x －y －1＝0的距离d ＝|－2＋cos θ－1－sin θ－1|2＝12|cos θ－sin θ－4|＝12⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ－4，所以d min ＝12|2－4|＝22－1.二、填空题7．(2016·湖南怀化期末)若正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋2y 解析：令x ＝cos θ，y ＝sin θ，则x ＋2y ＝cos θ＋2sin θ ＝5⎝⎛⎭⎫15cos θ＋25sin θ＝5sin (α＋θ)⎝⎛⎭⎫其中sin α＝15，cos α＝25， 则x ＋2y 的最大值是 5.8．(2016·广东广州模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos_θ＋4sin_θ.解析：曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，，即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝2cos θ＋4sin θ.9．(2016·广东期末)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ∈R )．解析：圆的方程⇒⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14⇒圆的半径r ＝12⇒OP ＝cos θ·2r ＝cos θ⇒x ＝OP ·cos θ＝cos 2 θ，y ＝OP ·sin θ＝cos θ·sin θ，所以圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ∈R )．三、解答题10．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin (θ＋φ)＋1， 所以－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.即2x ＋y 的取值范围是[－5＋1，5＋1]．(2)因为x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0恒成立，所以a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1恒成立， 所以a ≥2－1.故实数a 的取值范围为[2－1，＋∞)．11．(2016·江西南昌校级二模)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求C 1的极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解析：(1)曲线C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25化为极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －1)2＝1，(x －4)2＋(y －5)2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即交点坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 12．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，设直线l 1的方程为y －4＝k (x －2)(k ≠0)，又l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为y －4＝－1k(x －2)，故l 1与x 轴交点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2－4k ，0， l 2与y 轴交点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，4＋2k . ∵M 为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2＝1－2k，y ＝4＋2k2＝2＋1k(k 为参数)．消去k ，得x ＋2y －5＝0.另外，当k ＝0时，AB 中点为M (1,2)，满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M (1,2)，也满足上述轨迹方程． 综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.。

一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1BCD ．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD3．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±4．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A．BC．D．25．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C． D．6．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．577．曲线的参数方程为2211x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则曲线是（ ）．A ．抛物线B ．双曲线的一支C ．圆D ．直线8．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 的距离等于2的点的坐标是( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,59．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的34，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦11．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ．14B ．214C ．2D ．2212．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C ：15,25x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．15．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________16．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程是112x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M（0l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM +=_______ 17．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.18．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是__________________．19．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，则直线l 与圆C 的公共点的直角坐标为 ．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．22．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为2(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长．23．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>. （1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为1x k y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围. 25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴105d ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．C解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

§1 参数方程的概念课后篇巩固探究A组1.参数方程(t为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为()A.(1,0),(0,-2)B.(0,1),(-1,0)C.(0,-1),(1,0)D.(0,3),(-3,0)解析:当x=t-1=0时,t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时,t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3),(-3,0).答案:D2.下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的是()A.(2,-7)B.C. D.(1,0)解析:由题意得x=sin θ∈[-1,1],y=cos 2θ∈[-1,1],故排除A.由y=cos 2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.答案:C3.若t>0,则下列参数方程的曲线不过第二象限的是()A. B.C. D.解析:由(t>0),得该参数方程表示射线,且只在第一象限内,其余方程的曲线都过第二象限.答案:B4.已知点O为原点,当θ=-时,参数方程(θ为参数)上的点为A,则直线OA的倾斜角为()A. B.C. D.解析:当θ=-时,参数方程(θ为参数)上的点A的坐标为, k OA=tan α==-,0≤α<π,故直线OA的倾斜角α=.答案:C5.在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是()A.(1,)B.(2,)C. D.解析:由题意知x=sin 2θ∈[-1,1],y=sin θ+cos θ=sin∈[- ],故排除A,B,C.令y=sin θ+cos θ=,两边平方得1+2sin θcos θ=,故x=sin 2θ=-.答案:D6.若点(-3,-3)在参数方程(θ为参数)的曲线上,则θ=.解析:将点(-3,-3)的坐标代入参数方程(θ为参数),得解得θ=+2kπ,k∈Z.答案:+2kπ,k∈Z7.已知曲线C的参数方程为(t为参数),判断点A(3,0),B(-2,2)是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.解将点A(3,0)的坐标代入得解得t=2,所以点A(3,0)在曲线C上,对应参数t=2.将点B(-2,2)的坐标代入得此方程组无解,所以点B(-2,2)不在曲线C上.8.已知曲线C的参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π),判断点A(2,0),B是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.解将点A(2,0)的坐标代入因为0≤θ<2π,所以θ=0,所以点A(2,0)在曲线C上,对应θ=0.将点B的坐标代入得因为0≤θ<2π,所以θ=,所以点B在曲线C上,对应θ=.9.经过原点作圆x2-2ax+y2=0(a>0)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程.解如图,设OQ是经过原点的任意一条弦,OQ的中点是M(x,y),设弦OQ和x轴的夹角为θ,取θ作为参数,已知圆的圆心是O'(a,0),连接O'M,则O'M⊥OQ,过点M作MM'⊥OO',则|OM|=a cos θ.所以θ为参数,-<θ<.这就是所求轨迹的参数方程.10.导学号73144022求椭圆=1中斜率是m的平行弦的中点的轨迹的参数方程.解如图,设P1P2是斜率为m的平行弦中的任意一条弦,它所在直线的方程是y=mx+k,这里k是参数,把上式代入椭圆方程,得b2x2+a2(mx+k)2=a2b2,整理得,(a2m2+b2)x2+2a2mkx+a2k2-a2b2=0, ①这个方程的两个根就是P1和P2的横坐标x1和x2,设P1P2的中点是点P'(x',y'),则x'=.∵由①得x1+x2=,∴x'=-.②∵点P'在P1P2上,∴y'=mx'+k,即y'=.③方程②③是用参数k表示所求轨迹上任意一点P'的坐标x'和y',把(x',y')换成(x,y),就得到所求轨迹的参数方程:(k为参数).B组1.参数方程(θ为参数)表示的曲线是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析:∵∴x2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4.故表示的曲线是圆.答案:B2.在参数方程(θ为参数)所表示的曲线上的点是()A. B.C. D.答案:D3.动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为3 m/s和4 m/s,直角坐标系的长度单位是1 m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是()A.(t为参数,t≥0)B.(t为参数,t≥0)C.(t为参数,t≥0)D.(t为参数,t≥0)解析:设在时刻t时,点M的坐标为M(x,y),则(t为参数,t≥0).答案:B4.导学号73144023若点E(x,y)在曲线(θ为参数)上,则x2+y2的最大值与最小值分别为.解析:x2+y2=(1+5cos θ)2+(2+5sin θ)2=30+(10cos θ+20sin θ)=30+10sin(θ+α),其中tan α=,α为锐角,故x2+y2的最大值与最小值分别为30+10,30-10.答案:30+10,30-105.设飞机以匀速v=150 m/s做水平飞行,若在飞行高度h=588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程.(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标?分析这是物理学中的平抛运动,选择合适的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解(1)如图,A为投弹点,坐标为(0,588),B为目标,坐标为(x0,0).记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻t,炸弹初速度v0=150 m/s,用物理学知识,分别计算水平、竖直方向上的路程,得即这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y=0,即588-4.9t2=0,解得t0=2.由此得x0=150×2=300≈1 643(m).即飞机在离目标1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.6.已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),点M为PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)点M到坐标原点的距离d=(0<α<2π).当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.7.边长为a的等边三角形ABC的两个端点A,B分别在x轴、y轴两正半轴上移动,顶点C和原点O 分别在AB两侧,记∠CAx=α,求顶点C的轨迹的参数方程.解如图,过点C作CD⊥x轴于点D,设点C的坐标为(x,y).则由得(α为参数),即为顶点C的轨迹方程.。