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2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

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2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)

2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
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点击下图进入
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x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.

高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4

高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件

高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-4第二讲-参数方程

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-4第二讲-参数方程

3π x＝ ， 2 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3
3π ，3 2
变式训练1
半径为2的基圆的渐开线的参数方程为
________，当圆心角φ＝π时，曲线上点的直角坐标为________．
解析 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)．
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)，求对应圆的摆线的参数方程．
解
首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为6，所以对 (φ为参数)．
x＝6φ－6sinφ， 应圆的摆线的参数方程为 y＝6－6cosφ
x＝cosφ＋φsinφ， π 【例3】 当φ＝ ，π时，求出渐开线 (φ为 2 y＝sinφ－φcosφ
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例1】
x＝3cosφ＋3φsinφ， 给出某渐开线的参数方程 y＝3sinφ－3φcosφ
(φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是 ________，且当参数φ取 ________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程 (φ为参数)进行对照可知．
故A，B两点间的距离为 |AB|＝ 3π π [ 2 ＋1－2－1]2＋1－12
＝ π＋22＝π＋2.
参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
【解】
x＝cosφ＋φsinφ， π 将φ＝2代入 y＝sinφ－φcosφ，
π π π π 得x＝cos2＋2sin2＝2， π π π y＝sin － cos ＝1. 2 2 2
π ∴A(2，1)．
x＝cosφ＋φsinφ， 将φ＝π代入 y＝sinφ－φcosφ，

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.

高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44

高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44

数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。

高中数学：2.1《参数方程的概念》教案(新人教A版选修4-4)

高中数学：2.1《参数方程的概念》教案(新人教A版选修4-4)

1． 参数方程的概念一）目标点击：1． 理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标;2． 熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别,掌握他们的互化法则；3． 能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等； 4． 能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题； 二）概念理解： 1、例题回放：问题1:（请你翻开黄岗习题册P122，阅读例题）已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ,过点P 1(1，0) 作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程。

书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程?此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？设M(y x ,），由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x,消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为41)23(22=+-y x (1≠x ） 解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k(直线的斜率）,间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M点的轨迹方程。

实际上方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x )（2)都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式。

方程组（1）是曲线的参数方程,变数k 是参数，方程(2)是曲线的普通方程。

由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生,在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k ，先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法。

问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：【例1】 形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组,描述了运动轨道上的每一个位置（y x ,） 和时间t 的对应关系.【例2】 我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组表示质点的运动规律.3）参数t 的取值范围是由t 的物理意义限制的. 2、曲线的参数方程与曲线C 的关系在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈（*)与曲线C 满足以下条件：（1） 对于集合D 中的每个t 0，通过方程组（＊）所确定的点（)(),(0t g t f ）都在曲线C 上;（2） 对于曲线C 上任意点（00,y x ），都至少存在一个t 0，满足⎩⎨⎧==)()(0000t g y t f x则 曲线C ⇔ 参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式. 问题3：方程222a y x =+(0≠a ）；方程λ=-2222by a x （0≠λ）是参数方程吗？参数方程与含参数的方程一样吗？方程222a y x =+(0≠a )表示圆心在原点的圆系，方程λ=-2222by a x （0≠λ）表示共渐近线的双曲线系.曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x（t 为参数，t D ∈）是表示一条确定的曲线；含参数的方程),,(t y x F ＝0却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原则区别的. 三)基础知识点拨：例1：已知参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ∈θ［0，2π）判断点A （1,3）和B （2,1)是否在方程的曲线上。

人教新课标版数学高二A版选修4-4课件 第二讲 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化

人教新课标版数学高二A版选修4-4课件 第二讲 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化

(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决 问题的关键．
(2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题 的转折点．
3．已知方程 y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论 θ 如何变化，方程都表示顶点在同一 椭圆上的抛物线；
(2)θ 为何值时，该抛物线在直线 x＝14 上截得的弦 最长，并求出此弦长．
(1)（x－31）2＋（y－52）2＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数)
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方 法，解答本题只需将已知的变量 x 代入方程，求出 y 即可．
(1)将
x＝
3cos
θ＋1
代
入（x－3 1）2
＋
（y－2）2 5
所以 x2＋y2 的最小值为 9.
答案：9
8．点(x，y)是曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
(θ 为参数，0≤
θ＜2π)上任意一点，则xy的取值范围是________．
解析：曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
是以(－2，0)为圆心，
1 为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设xy＝k，∴y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴ |－k22＋k|1＝1，k2＝13.
(1)求常数 a； (2)求曲线 C 的普通方程．
解：(1)由题意可知有1a＋t2＝2t1＝3，故ta＝＝11，，∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t， 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程得 y＝(x－2 1)2，即 (x－1)2＝4y 为所求.

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-3第二讲-参数方程

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-3第二讲-参数方程
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
称为标准形式，其中参
数t的几何意义是：|t|表示参数t对应的点M到________，t就是有向 → 线段 M0M 的数量．当点M在点M0的上方时，________；当点M在 点M0的下方时________；当点M与点M0重合时，________.
4 x ＝ 1 ＋ 5t， 的方程为 y＝3t 5
(t为参数)．代入椭圆方程x2＋9y2＝9，并
整理得：97t2＋40t－200＝0. 由t的几何意义，知所求的弦长为
|t2－t1|＝ t2＋t12－4t2t1 ＝ －200 60 40 2 － －4 ＝ 22. 97 97 97
3．直线参数方程的应用 直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线 相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运 算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
【例1】
典例剖析 x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(u为参数)．
规律程，只要用代入法消去参
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α<π)的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα，
其中参数t有几何意义，t＝M0M，即t表示有向线
→ 段 M0M 的数量，其中M(x，y)为直线上任意一点，因为倾斜角α∈ [0，π)，所以sinα≥0，再化参数方程的标准形式时应注意这一 点．
(t为参数)．
规律技巧
本题可使用直线的普通方程求解．也可以使用参
数方程求解，但是使用普通方程求解，计算量大，如果设出直线 的倾斜角，写出直线的参数方程求解．就可以转化为三角函数求 最值问题，计算简便．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第二讲《参数方程》小结

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第二讲《参数方程》小结
第二讲 参数方程
本讲小结
知识结构
知识要点
方法技巧
本讲主要介绍了参数方程的概念，以及常用曲线的参数方程和 它们的应用． 1．曲线参数方程的定义 一般地，在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变量t的函数
x＝ft， y＝gt.
(1)
并且对于t的每一个允许值，由方程(1)所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程(1)就叫作这条曲线的参数方程， 联系x，y之间关系的变数叫作参变数，简称参数．参数方程的 参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显的意义．
(t为参数)．
代入圆的方程x2＋y2＝7，得 3 2 1 2 (－4＋ t) ＋( t) ＝7，化简得 2 2 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设点A，B所对应的参数分别为t1和t2，由韦达定理，得t1＋ t2＝4 3，t1· t2＝9. ∴|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4 32－4×9＝2 3. (2)设过P0作圆的切线为P0T. 由切割线定理及参数t的几何意义得 |P0T|2＝|P0A|· |P0B|＝|t1t2|＝9. ∴切线长|P0T|＝3.
在互化后某个变量的范围扩大了(或缩小了)，则必须注明，将 扩大(或缩小)的部分去掉(或补上)．由于选取参数不同，同一 曲线的参数方程也不一样．因此，一般曲线的参数方程不唯 一．另外，不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程 的． 化参数方程为普通方程，常用的方法有：代入法、三角恒 等式消参数法、代数恒等式消参数法等．
(φ 为参数)．
【答案】
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)
x＝2φ－sinφ， y＝21－cosφ

2.1 1.参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)

2.1 1.参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)

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在 Rt△QBP 中， |BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜ )． 2
返回
求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任
转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、
斜率、截距等也常常被选为参数． 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
返回
1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动， π 角速度为 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨 60 迹的参数方程．
(t 为参数)．
(1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的
参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲 线上．
返回
[解]
(1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，
解：选 t＝x，则 y＝2t＋3
x＝t， 由此得直线的参数方程为 y＝2t＋3，
(t 为参数)．
也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1.
x＝t－1， 参数方程为： y＝2t＋1.
(t 为参数)
返回
[例 2]
x＝3t 已知曲线 C 的参数方程是 y＝2t2＋1
答案：D
返回
4．已知某条曲线 C
x＝1＋2t， 的参数方程为 y＝at2
(其中 t 为参
数，a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.

选修4-4 2.1.2 圆的参数方程

选修4-4 2.1.2 圆的参数方程
选修4-4 坐标系与参数方程 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 2.圆的参数方程
1. 圆的参数方程概念
圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作 匀速转动时,物体中各个点都作匀速圆周运动. 那么,怎样刻画运动中点的位置呢？
yrMo NhomakorabeaM0
x
1. 圆的参数方程概念
如果在时刻t,点M转过的角度是,坐标是M(x,y), 那么＝t.设|OM|＝r, 那么由三角函数定义有
x y cos t ,sin t , r r x r cos t 即 (t为参数) y r sin t
y
r
M

o
M0
x
这就是圆心在原点O,半径为r的 圆的参数方程.其中参数t有明确的物 理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).
圆的参数方程中参数的几何意义 考虑到＝t,也可以取为参数,于 是有 x r cos y ( 为参数) y r sin M
这也是圆心在原点O, 半径为r的圆的参数方程.其 中参数的几何意义是OM0 绕点O旋转到OM的位置时, OM0转过的角度.
r
o

M0
x
2. 参数法求轨迹方程
例2.如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴 上的定点,M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动时,求 点M的轨迹的参数方程.
解：设点M 的坐标是( x, y )，xOP , 则点P的坐标是(2 cos , 2 sin ), 由中点坐标公式得： 2 cos 6 x cos 3, 2 2 sin y sin 2 所以，点M 的轨迹的参数方程是 x cos 3 ( 为参数) y sin

2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲 一 第二课时 圆的参数方程

2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲 一 第二课时 圆的参数方程

1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻 ．
2．若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝rcos θ，
___y＝___rs_i_n_θ____(θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点
O 逆 时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度． 3．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程为__xy_＝＝__yx_00＋_＋_R_R_sc_ion_s_θθ_，____0_≤__θ_＜___2_π_.
用参数方程表示为xy＝＝23＋＋scions
θ， θ
(θ 为参数)，
由于点 P(x，y)在圆上，
∴可设点 P 为(3＋cos θ，2＋sin θ)，
(1)x2＋y2＝(3＋cos θ)2＋(2＋sin θ)2 ＝14＋4sin θ＋6cos θ ＝14＋2 13sin(θ＋φ)(其中 tan φ＝32)， ∴x2＋y2 的最大值为 14＋2 13，最小值为 14－2 13. (2)x＋y＝3＋cos θ＋2＋sin θ＝5＋ 2sin(θ＋π4)， ∴x＋y 的最大值为 5＋ 2，最小值为 5－ 2.
1．已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程． 解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 得(x＋1)2＋(y－3)2＝1. 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ， 所以参数方程为xy＝＝3－＋1s＋incθos θ ，(θ 为参数)．
探究二 与圆的参数方程有关的轨迹问题
θ， θ
(θ∈[0,2π))．故

08 王蕊：人教A版选修4-4第二讲第二节圆的参数方程

08 王蕊：人教A版选修4-4第二讲第二节圆的参数方程

班级：
肢茨与裸扁涧晒钵 军寥趾遵蜡饯 密搬缄拍凳众 沁肋宽耐苇技 卷漆荡宙寥钙 塑务袜征帮鸭 芽刨审幻煎叫 桂棍碌侗拢足 厕通放灰赘鸯
姓名：
小组：
08 王蕊：人教 A 版选修 4-4 第二 讲第二节圆的 参数方程第 页 2 . 1 . 2 圆 的 参 数 方 程 班 级 ： 姓 名 ： 小 组 ： 学 习 目 标 理 解 圆 的 参 数 方 程 ， 能 选 取 适 当 的 参 数 建 立 参 数 方 程 ， 通 过 观 察 、 探 索 、 发 现 的 创 造 性 过 程 ， 培 养 创 新 意 识 学 习 重 点 难 点 重 点 ： 能 选 取 适 当 的 参 数 ， 求 圆 的 参 数 方 程 难 点 ： 能 喀 克 俱 赢 晚 膏 红 挂
的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
二.例题探究
例 1:圆 O 的半径为 2，P 是圆上的动点， Q(6,0) 是 X 轴上的定点 M 是 PQ 的中点，点 P 绕 O 作匀速
圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程.
练习 1:写出下列圆的圆心和半径
（1）
x

例 2:已知圆的一般方程 x2+y2－6x－4y+12=0，将它化为参数方程.
练习
2:已知圆的参数方程为
x

y

5 c os 5 s in
1，则其标准方程为？ 1
课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）
教学过程： 一、探究新知
（一）圆的参数方程探求
如图：设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M 0 （
时的位置）出发.
1．若实数 x、y 满足条件: x 2 +y 2 -2x+4y=0,求 x-2y 的最大值。

2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)

2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)

1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．

高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程

高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程

(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为 ___xy_＝＝__yx_00＋＋__rr_sc_ion_s_θθ_，__(_θ_为__参__数__)_．__
温馨提示 圆的参数方程不唯一，选取的参数不同，
相应的参数方程也不同．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
解：(1)消去参数 t，得到圆的标准方程为(x－1)2＋(y
＋2)2＝9. 由 2ρsin(θ－π4)＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，
(1)圆
x2＋y2＝25
的参数方程是xy＝＝55csions
θ， θ (θ
为参
数)．( )
(2)圆(x＋6)2＋y2＝4
的参数方程是xy＝＝26s＋in2θcos
θ， (θ
为参数)．( )
(3)参数方程xy＝＝44scions
θθ，(θ∈[0，2π)与xy＝＝44scions
x＝5cos θ，

中 θ 的几何意义是不同的，但参数方程是正
y＝5sin θ
确的．Βιβλιοθήκη (2)由圆方程知圆心为(－6，0)，半径为 2，故参数方
x＝－6＋2cos θ，
程为
故不正确．
y＝2sin θ，
x＝4cos θ，
(3)
θ∈[0，2π)表示以原点为圆心，半径为
y＝4sin θ
x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
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(A)（1， 3）
(B)（2， 3）
(C)（ 1 ，-2）
2
(D)（ - 3 ，1 ）
4 2
【解析】选D.由题意x=sin 2θ∈［-1,1］, y=sinθ+cosθ= 2 sin(θ+ )∈［- 2 , 2］, 4 故排除A、B、C. 由y=sinθ+cosθ= 1 ,
2
两边平方得1+2sinθcosθ= ,
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.若点（-3， 3 ）在参数方程 x=6cos(θ 为参数)的曲线 -3
y=6sin
上，则θ =_______. 【解析】
答案：
8.把圆x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为________. 【解析】圆x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程是 (x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2, 故参数方程为 x=-1+2cos (θ为参数).
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.参数方程 x=t-1 （t为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为
y=t+2
(
(A)（1，0），（0，-2） (C)（0，-1），（1，0） (B)（0， 1），（-1，0） (D)（0，3），（-3，0）
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
2 2
（D）(1,0)
【解析】选C.由题意x=sinθ∈［-1,1］, y=cos2θ∈［-1,1］,故排除A. 由y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.
3.若t＞0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是(
)
【解析】选B.由 x=1, t＞0，得方程表示射线，且只在第一象
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
y=2+2sin
答案: x=-1+2cos (θ为参数)
y=2+2sin
9.一架救援飞机以100 m/s的速度作水平直线飞行，在离灾区 指定目标的水平距离还有1000 m时投放救灾物资，此时飞机
的飞行高度约是____________（不计空气阻力，重力加速度
g=10 m/s2）.
y=t
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
三、解答题（共40分） 10.（12分）已知曲线C的参数方程是
x=1+2sin (θ 为参数， y=2-cos
0≤θ ＜2π ),试判断点A(1,3),B(0, 5 )是否在曲线C上.
2
【解析】
11.（14分）已知圆的பைடு நூலகம்坐标方程为
2 -4 2cos(- )+6=0. 4