高二数学北师大版选修2-2 第1章 §4 数学归纳法课件

1 数学归纳法

素养目标

学科素养

1.了解数学归纳法的原理．(重点、难点)

2．掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤．(重点)

3．能用数学归纳法证明一些数学命题．(难点) 1.数学抽象；

2．逻辑推理；

3．数学运算

情境导学

往一匹健壮的骏马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉；又添加一根……一直往马身上添稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马儿身上后，骏马竟不堪重负瘫倒在地．这在社会学里，取名为“稻草原理”．这其中蕴含着一种怎样的数学思想呢？

1．数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．

2．数学归纳法的框图表示

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． 2 (1)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明．(×)

(2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设．(×)

(3)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数一定增加了一项．(×)

1．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时，式子的值为(B)

A．1 B．1＋k

C．1＋k＋k2 D．以上都不对

2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)时，第一步验证( )

A．n＝1 B．n＝2

C．n＝3 D．n＝4

C 解析：由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．

3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为___________________.

数学选修2-2知识点总结

第一章 导数及其应用

一、导数概念的引入

1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是000()()limxfxxfxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxfxxfxx

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx

导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数. ()yfx的导函数有时也记作y,即0()()()limxfxxfxfxx

二.导数的计算

1.函数()yfxc的导数2.函数()yfxx的导数

3.函数2()yfxx的导数4.函数1()yfxx的导数

基本初等函数的导数公式:

1若()fxc(c为常数)，则()0fx；2 若()fxx,则1()fxx;

3 若()sinfxx,则()cosfxx4 若()cosfxx,则()sinfxx;

5 若()xfxa,则()lnxfxaa6 若()xfxe,则()xfxe

7 若()logxafx,则1()lnfxxa8 若()lnfxx,则1()fxx

导数的运算法则

1. [()()]()()fxgxfxgx2. [()()]()()()()fxgxfxgxfxgx 3. 2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx

一、选择题

1．某快递公司的四个快递点,,,ABCD呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,ABCD四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则

A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种

B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种

C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种

D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种

2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）

A．2450 B．2451 C．2452 D．2453

3．观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（ ）

A．28 B．76 C．123 D．199

4．设,,(0,1)abc，则1ab，1bc，1ca（ ）

A．都不大于2 B．都不小于2

C．至少有一个不大于2 D．至少有一个大于2

5．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．

A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人

B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分

D．在数列{an}中，a1＝1,23a,36a,410a，由此归纳出{an}的通项公式

6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格.

乙：丁肯定能及格.

丙：我们四人都能及格.

丁：要是我能及格，大家都能及格.

成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ）

第 1 页 数学归纳法

知识集结

知识元

数学归纳法

知识讲解

1．数学归纳法

【知识点的认识】

1．数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

（1）证明当n＝n0时命题成立；

（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．

（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．

在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．

（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．

在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．

完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．

第 2 页

3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）

②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．

③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．

④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．

例题精讲

数学归纳法

例1.

（2020春∙安徽期末）已知f（n）=1++++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）>n时，有f（k+1）-f（k）=___．

【答案】

【解析】

题干解析:∵假设n=k时，f（k）=1+，∴当n=k+1时，f（k+1）=1，∴f（k+1）-f（k）=．