数学归纳法(北师大版选修-)

数学归纳法-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.了解数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题；3.能够理解和应用数学归纳法解决实际问题。

二、教学内容1.数学归纳法的概念与特点；2.数学归纳法的推广和严密化；3.数学归纳法的应用。

三、教学重点1.数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题。

四、教学难点1.数学归纳法的推广和严密化；2.数学归纳法的应用。

五、教学方法1.观察与讨论法：通过生动的例子，引导学生认识和理解数学归纳法的基本概念和特点；2.讲授与演示法：通过讲授和演示归纳法的具体步骤，使学生掌握如何运用归纳法证明命题；3.练习与探究法：通过练习和探究，让学生掌握数学归纳法的应用技巧。

第一步：引入1.引入数学归纳法的基本概念；2.通过实际例子，引导学生理解数学归纳法的重要性。

第二步：讲解1.讲解数学归纳法基本的步骤；2.分析数学归纳法的特点，包括归纳假设、基本步骤、归纳证明、结论；第三步：演示1.带领学生完成归纳法的几个简单例子，让学生深入掌握归纳法的基本操作；2.带领学生完成一道较为复杂的归纳证明练习，让学生掌握归纳法的应用技巧。

第四步：练习1.让学生分组自主练习归纳法的应用；2.教师辅助解答学生的问题。

第五步：总结1.对本节课所学的内容进行总结；2.强调数学归纳法在理解和应用中的重要性。

七、教学评价1.课堂参与度（20%）：检测学生是否认真听讲、积极互动，师生互动是否频繁；2.练习与应用（40%）：检测学生掌握归纳法的技巧和应用能力；3.课堂表现（40%）：检测学生是否能够在课上正确展现自己的学习成果。

通过本节课的教学，我发现学生对于数学归纳法的概念和特点有了更加深入的理解和认识。

同时，在练习中也发现了一些问题，比如有些学生在归纳证明中容易犯错，需要加强指导和训练。

因此，在教学中需要更加强化实践，多引入真实案例来加强学生对归纳法的认识和理解，同时通过练习和探究来让学生得到更好的应用和提高。

§4 数学归纳法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例的探究，使学生知道数学归纳法可以完成一些与正整数n有关的命题的证明；(2)通过具体实例的证明，让学生体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题．2．过程与方法从具体实例出发，让学生认识到与正整数n有关的命题是蕴含了无数个命题，然后借助多米诺骨牌游戏等引伸出通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，进而理解归纳法原理．3．情感、态度与价值观通过数学归纳法的学习和运用，体会数学中“无限”与“有限”的相互转化及辨证统一．●重点难点重点：了解数学归纳法的思想实质，掌握它的步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．难点：数学归纳法的思想实质，以及归纳递推的证明．学生对归纳法并不陌生，但对完全归纳法如何来实施是一个新的增长点，教学时应详细分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．并通过思考，引导学生分析条件②的作用：给出一个递推关系，从而突破难点，然后通过具体实例的求解强化重点．(教师用书独具)●教学建议可通过具体实例(如求数列通项)引出归纳法(不完全归纳法和完全归纳法)，并分析归纳法的特点，进而提出问题，“如何进行完全归纳”，即解决无限个命题的证明，然后通过多米诺骨牌游戏引出数学归纳法原理，再通过例题及练习深化提高．●教学流程创设问题情境，提出问题：要使排成一排的自行车倒下，需要几个条件.⇒通过引导学生对问题导思的分析，引出数学归纳法的证明步骤.⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用数学归纳法证明恒等式.⇒通过例2及互动探究，使学生掌握利用数学归纳法证明不等式.⇒通过例3及变式训练，使学生掌握数学归纳法在数列问题中的应用.⇒归纳小结，整体认识本节知识.⇒完成当堂双基达标，巩固本节课所学知识，并进行反馈矫正.在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？【提示】一些与正整数n有关的问题．数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：n＝1时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥1)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．拓展：一般地，数学归纳法可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.＋【思路探究】第(1)步验证n＝1时等式成立，第(2)步在假设n＝k等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．【自主解答】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意正整数n都成立．1．本题在推证“n＝k＋1”等式成立时，必须把归纳假设“n＝k”时1＋3＋…＋(2k－1)＝k2作为必备条件使用上，否则就不是数学归纳法了．2．用数学归纳法证明与自然数有关的等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．将本例等式左边的“n个奇数的和”改为“n个偶数的和”即变为2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝2，右边＝1＋1＝2，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k 成立， 那么当n ＝k ＋1时， 2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1) ＝k 2＋k ＋2(k ＋1) ＝(k ＋1)2＋k ＋1，这就说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56，(n ≥2，n ∈N *)．【思路探究】 在由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中，可用分析法或“放缩”的技巧来证明．【自主解答】 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1) >56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)，* 法一 (分析法)下面证*式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)>0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)>0， 只需证9k ＋5>0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．法二 (放缩法)*式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．1．本题中证明*式>56，用到了两种方法，其中分析法思维量较小，但运算量较大，而放缩法虽然运算量小，但需要通过观察、比较挖掘出已有代数式和目标间的差异，适当放缩，故思维量较大．2．对与正整数有关的不等式的证明，如果其它方法较困难，可考虑用数学归纳法证明，使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还经常用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等．若n 为大于1的自然数，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324.【证明】 (1)n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324.(2)假设当n ＝k 时成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324.则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋1－1＝13＋1>13.由(1)(2)可知，原不等式成立.n n ＋1n n (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2.【思路探究】 令n ＝1，2，3，求a 2，a 3，a 4→由a 2，a 3，a 4的式子结构猜想a n→数学归纳法证明【自主解答】 (1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3， 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4， 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时不等式成立，即a k ≥k ＋2， 那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3. 即n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.由①②可知，对n ≥1，都有a n ≥n ＋2.1．本题用数学归纳法证明数列问题的思路为：归纳—猜想—证明．2．数列是定义在N ＋上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)证明你的猜想，并求出a n 的表达式．【解】 (1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，S n ＝n 2a n ， ∴S n ＝n 2(S n －S n －1)．∴S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)，∵a 1＝1，∴S 1＝a 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.(2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立，即S k ＝2kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2kk ＋1，∴a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时等式也成立，得证．∴根据①②可知，对于任意n ∈N ＋，等式均成立．又∵a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴a n ＝2n (n ＋1).放缩法在不等式证明中的应用(12分)已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n(n >1，n ∈N *)．求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)．【思路点拨】 先弄清S 2n 的含义，然后用数学归纳法证明，在由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，要注意已有代数式和目标的区别，适当放缩．【规范解答】 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.3分(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，4分即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2，5分则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k 1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k 1 8分>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，10分故当n ＝k ＋1时，命题也成立.11分由(1)(2)知，对于一切n ≥2的正整数不等式都成立.12分1．此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为121，实际上应为12＋1，二是12＋1＋12＋2＋…＋12＋1共有多少项，实际上2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k.2．由n ＝k 推证n ＝k ＋1的过程中，用上归纳假设后，要有目标意识，如本题得到1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k 1后，注意到目标为1＋k ＋12，故只需证12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k 1≥12即可，故考虑将12k ＋m 缩小为12k ＋2k，从而得出目标．。

数学归纳法概述数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

基本步骤（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥ [n的第一个值]，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设no<n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k)成立。

综合（1）（2）对一切自然数n(≥n0)，命题P(n)都成立；（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）对于无穷多个自然数命题P（n）成立；（2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合（1）（2），对一切自然数n(>n0),命题P(n)都成立；（四）螺旋式归纳法P（n），Q（n）为两个与自然数有关的命题，假如（1）P(n0)成立；（2）假设P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；综合（1）（2）,对于一切自然数n（>n0），P(n),Q(n)都成立；应用1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

3.证明数列前n项和与通项公式的成立4.证明与自然数有关的不等式数学归纳法的变体在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。

下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。

第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。

第十二课时 数学归纳法一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。

2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。

3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。

5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程(一)、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 （二）、探究新课例1、求证：333)2()1(++++n n n 能被9整除，+∈N n 。

证明：（1）当n =1时，36)21()11(1333=++++，36能被9整除，命题成立；（2）假设n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即333)2()1(++++k k k 能被9整除。

§4 数学归纳法第十一课时数学归纳法一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。

2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。

3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。

5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：推理与证明方法（二）、探究新课1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确（三）、例题探析：例1、证明：首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和公式为2)1(1d n n na S n -+=。