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第8讲 选修2-2复习小结一．基础知识回顾(一)推理与证明1.归纳与内比：(1)归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．由归纳推理得到的结论不一定成立。
(2)类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．由类比推理得到的结论不一定成立。
我们把归纳推理和类比推理统称为合情推理（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（4）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2.数学证明方法：(1)综合法：①定义：由因导果法②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：执果索因法②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.（3）反证法：①定义：在证明数学命题时，先假定 成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明原命题成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．② 反证法的证题步骤：(1)假设:命题结论不成立（命题结论反面成立）；(2)正确推理，推出矛盾；(3)否定假设，肯定原命题．（4）数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n 取初始值时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k∈N *，且n≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．（二）导数及其应用1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f(x)，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，则当Δx≠0时，商00()()f x x f x x +-△△＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)在区间[x 0，x 0＋Δx](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f(x)在点x 0处的瞬时变化率0limx y x →△△△通常称为f(x)在x ＝x 0处的导数，并记作f′(x 0)，即00'()l i m x y f x x →=△△△． (2)几何意义：函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f(x)上点(x 0，f(x 0))的切线的斜率．导函数y ＝f′(x)的值域即为切线斜率的取值范围． 3．函数f(x)的导函数：如果函数y ＝f(x)在开区间(a ，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a ，b)内可导，其导数也是开区间(a ，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．4．基本初等函数的导数公式表（右上表）5．导数运算法则：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f′x g x －f x g′x [g x ]2 [g(x)≠0]．（4）复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x)在点x 处有导数u x ′＝φ′(x)，函数y ＝f(u)在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f′(u)，则复合函数y ＝f(φ(x))在点x 处有导数，且y′x ＝y′u ·u′x ，或写作f′x (φ(x))＝f′(u)φ′(x)．5．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是增函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f′(x)<0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是减函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为增函数，若在(a ，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为减函数．6．函数的极值：(1)判断f(x 0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．7．函数的最值：(1)函数f(x)在[a ，b]上必有最值的条件如果函数y ＝f(x)的图象在区间[a ，b]上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f(x)在(a ，b)内的极值；②将函数y ＝f(x)的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）定积分1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分的几何意义是直线x ＝a ，x ＝b (a≠b，y ＝0和曲线y ＝f(x))所围成的曲边梯形的面积．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)dx ＝k ʃb a f(x)dx (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ʃb af 1(x)dx±ʃb a f 2(x)dx ；(3)ʃb a f(x)dx ＝ʃc a f(x)dx ＋ʃb c f(x)dx(其中a<c<b).3．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a ，即ʃb a f(x)dx ＝F(x)|b a ＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用：(1)当x ∈[a ，b]且f(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f(x)dx (2)当x ∈[a ，b]且f(x)<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f(x)dx .(3)当x ∈[a ，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f(x)－g(x)]dx .(4)若f(x)是偶函数，则ʃa －a f(x)dx ＝2ʃa 0f(x)dx ；若f(x)是奇函数，则ʃa －a f(x)dx ＝0.5．定积分在物理中的应用：(1)匀变速运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝ʃb a v(t)dt ．(2)变力做功公式：一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a<b)(单位：m)，则力F 所做的功W ＝ʃb a F(x)dx .（四）复数的引入1．数系的扩充：数系扩充的脉络是：符号表示为N *⊆N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C ，2．复数的有关概念：(1)复数的概念：形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．（2）复数的分类：若b ＝0，则a ＋bi 为实数，若b≠0，则a ＋bi 为虚数，若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数．(3)复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(6)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2.3．复数的运算：(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；④除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2 (c ＋di≠0)． 二．典例精析：探究点一：数学证明方法例4：（1）已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2≥ab＋bc ＋ca. （2）若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c. （3）若x ，y 都是正实数，且x ＋y>2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立． （4）数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明． 证明（1）∵a，b ，c>0，根据基本不等式，有a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c 2a＋a≥2c. 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c≥2(a＋b ＋c)．当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c.（2）证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a·b·c)，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab>0，b ＋c 2≥bc>0，c ＋a 2≥ca>0.且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c.（3）证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x ＋y≥2x＋2y ，所以x ＋y≤2，这与已知条件x＋y>2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．（4）解 ∵a n >0，∴S n >0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1，取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k 时，结论成立，即S k ＝k.那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k)＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k)．整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1.故当n ＝k ＋1时，结论成立．变式迁移4：（1）设a ，b ，c>0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c. （2）已知a>0，求证： a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2. （3）若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n≥2，n∈N *)． 证明：(1)a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c)2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc)＝13[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0，(2) 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a>0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．（3）证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，①又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0，∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．:假设n ＝k(k≥2，k∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋ (1)2＋1k ＋12<1－1k ＋1k ＋12＝1－k ＋12－k k k ＋12＝1－k 2＋k ＋1k k ＋12<1－k k ＋1k k ＋12＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．探究点二：导数及其应用例 2.已知函数kf x x x x k =+-+>2()l n (1)(0),2（1）当2k =时，求曲线()(1,(1y f x f =在点处的切线方程；（2）当1k ≠时，求函数()f x 的单调区间c解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2y x -=-即 322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210k x k -=>所以在(1,0)-和1(,)k k-+∞上'()0f x >；在1(0,)k k -上'()0f x <故()f x 在(1,0)-和1(,)k k-+∞单调递增，在1(0,)k k -单调递减当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)k x k-=∈-，20x =.所以在1(1,)k k --和(0,)+∞上'()0f x >；在1(,0)k k-上'()0f x <故()f x 单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，减区间是1(,0)k k- 变式训练2：已知函数3()f x ax bx c =++在点1x =处取得极值8c -.（1）求,a b 的值； （2）若()f x 有极大值18，求()f x 在[－3,3]上的最大值．解：（1）因3()f x ax bx c =++，故2()3f x a x b '=+由于()f x 在点1x =处取得极值8c -.故有(1)30(1)8f a b f a b c c '=+=⎧⎨=++=-⎩，412a b =⎧∴⎨=-⎩（2） 由（1）知3()412f x x x c =-+2()121212(1)(1)f x x x x '∴=-=-+可知[3,1],()x f x ∈--是增函数，[1,1],()x f x ∈-是减函数，[1,3],()x f x ∈是增函数；由此知()f x 在1x =-时取得极大值(1)818f c -=+=，即10c =此时(1)18,(3)82,f f -==因此函数()f x 的最大值是(3)82.f = 探究点三：导数的实际应用例3：已知某家企业的生产成本z （单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x （单位：t ）的函数，其解析式分别为：32187580z x x x =-+-， 15x ω=（1）试写出该企业获得的生产利润y （单位：万元）与产量x （单位：t ）之间的函数解析式； （2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？解：（1）∵利润＝收入－成本，即y z ω=-∴3215(187580)y x x x x =--+- 32186080(0)x x x x =-+-+≥ （2）233660y x x '=-+-解方程0y '=，得12,10x x == 根据x ，x ，列出下表10x =是函数的极大值点，比较2x =和10x =的函数值，(2)24y =，(10)280y =∴产量为10t 时该企业能获得最大的利润，最大利润为280万元. 变式训练3：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解: (1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) (2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x 100h ，耗油量为)(x f 升，依题意得313100()(8)12800080f x x x x =-+ 4158********-+=x x 233264080800640)('xx x x x f -=-=(0120)x <≤令0)('=x f ，得80=x 当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数 当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 ∴当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升)因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。
数学归纳法教学设计完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第四章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和步骤，以及数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。
教学重点：数学归纳法的概念、原理和步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题：“计算1+2+3++100的值”，让学生尝试解决，引导学生思考是否有更简便的方法。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）通过具体例题，演示数学归纳法的步骤。
（3）分析例题中的关键步骤，强调逻辑推理的重要性。
3. 随堂练习（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
（2）证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。
4. 答疑解难针对学生在练习中遇到的问题，进行解答和指导。
回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的概念、原理和步骤。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念和原理（2）数学归纳法的步骤（3）例题及解答（4）随堂练习及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+4+9++n^2= n(n+1)(2n+1)/6。
（2）运用数学归纳法证明：3^n>2^n (n为正整数)。
2. 答案：（1）证明：1+4+9++n^2= n(n+1)(2n+1)/6。
（2）证明：3^n>2^n (n为正整数)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念、原理和步骤掌握情况。
2. 拓展延伸：（1）探讨数学归纳法在数学竞赛中的应用。
（2）研究数学归纳法在解决实际问题中的应用。
