2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第1章 4 数学归纳法 Word版含解析

阶段质量评估(二) 变化率与导数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若lim Δx →f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．32B ．23C ．1D ．－1解析：原等式即－lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－f ′(x 0)，也就是f ′(x 0)＝－1.答案：D2．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝3，则此函数的解析式为( ) A ．f (x )＝x 4－1 B ． f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋k . 又f (1)＝3，∴k ＝2.∴f (x )＝x 4＋2. 答案：D3．f (x )＝3－x ，则f ′(0)＝( )A ．1B ．log 3eC ．ln 3D ．－ln 3解析：∵f ′(x )＝(3－x )′＝3－x ln 3·(－x )′＝－3－x ln 3， ∴f ′(0)＝－30ln 3＝－ln 3. 答案：D4．函数f (x )＝e x cos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．π4C ．1D ．π2解析：∵f ′(x )＝(e x cos x )′ ＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1. ∴倾斜角为π4.答案：B5．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上点(1,2)处的切线与其平行线bx ＋y ＋c ＝0间的距离为( ) A ．24B ．22C ．322D ． 2解析：由抛物线过点(1,2)，得b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，即2＋b ＝－b ，∴b ＝－1. ∴c ＝2.∴所求切线方程为x －y ＋1＝0.∴两平行直线x －y －2＝0和x －y ＋1＝0之间的距离为d ＝|－2－1|12＋12＝32＝322.答案：C6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( ) A ．23B ．2ln 3C ．23ln 3D ．25ln 3解析：f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝(2x －1)′(2x －1)ln 3＝2(2x －1)ln 3，∴f ′(3)＝25ln 3.答案：D7．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：∵y ′＝12x ，∴在点Q 处的切线斜率k ＝12×2＝1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x－y －1＝0.答案：A8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图像在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离解析：切线方程为x －y ＋1＝0，圆心到直线的距离为12＝22＜22，所以直线与圆相交但不过圆心．答案：C9．曲线y ＝e －x －e x 的切线的斜率的最大值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4解析：y ′＝k ＝－e －x －e x ＝－(e －x ＋e x )＝－⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ≤－21e x·e x ＝－2， 当且仅当1e x ＝e x ，即x ＝0时，等号成立．答案：C10．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A ．－13B ．13C ．73D ．－13或73解析：∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1. ∴函数f ′(x )的图像开口向上． ∵a ≠0，∴其图像为第③个图． 由图像特征可知f ′(0)＝0，且－a ＞0， ∴a ＝－1.∴f (x )＝13x 3－x 2＋1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：A11．(2015·重庆七校联考卷)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2 解析：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导得，f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8. 令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2. 答案：A12．已知函数f (x )＝x 2的图像在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A ．⎝⎛⎭⎫－32，3 B ．(0，－4)C ．(2,3)D ．⎝⎛⎭⎫1，－14 解析：由题意知，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2.又切线互相垂直，∴k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x －x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[ 2x －(x 1＋x 2)]＝0， ∵x 1≠x 2，∴x ＝x 1＋x 22.代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为__________．解析：由题知y 1′＝1x 2，y 2′＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：114．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝a (x －m )2(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a (x －m )＝2ax －2am ＝2x ＋2. ∴a ＝1，m ＝－1.∴f (x )＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋1 15．函数f (x )＝mx 2m＋n的导数为f ′(x )＝4x 3，则m ＋n ＝________.解析：∵f ′(x )＝m (2m ＋n )x 2m ＋n －1＝4x 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (2m ＋n )＝4，2m ＋n －1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.∴m ＋n ＝3. 答案：316．(2015·陕西高考卷)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k ＝y ′＝e x |x ＝0＝1；由y ＝1x ，可得y ′＝－1x 2.因为曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线与曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，故－1x 2P＝－1，解得x P ＝1.由y ＝1x，得y P ＝1，故所求点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，且点P 处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．解：∵k ＝tan α＝y ′＝3x 2－3≥－3， ∴tan α≥－ 3.又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 18．(12分)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .解：f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′ ＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋ (cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x － (cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x ＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x .∴a ＝d ＝1，b ＝c ＝0. 19．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，斜率为1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1.解得a ＝2，b ＝－2ln 2.20．(12分)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12.①f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74.②由①②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，故切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，故切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.21．(12分)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C ．(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1.即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．22．(12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， ∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)，即⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a23≤1在x ∈[0,1]上恒成立．又f ′(0)＝0， ∴①当a3＜0，即a ＜0时，－3＋2a ≥－1，即a ≥1.故无解；②当0≤a3≤1，即0≤a ≤3时，⎩⎪⎨⎪⎧a 23≤1，－3＋2a ≥－1，解得1≤a ≤3； ③当a3＞1，即a ＞3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解．综上知1≤a ≤ 3.∴a 的取值范围为[1， 3 ]．。

第一章 本章整合提升一、选择题1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( ) A ．50个 B ．45个 C ．36个D ．35个解析：当个位数为2时，十位数只能取1；当个位数为3时，十位数有2种取法；当个位数取4时，十位数有3种取法；…；当个位数为9时，十位数有8种取法．依分类加法计数原理知，共有1＋2＋…＋8＝36个符合条件的两位数．答案：C2．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80， 所以x 3y 3的系数为80－40＝40． 答案：C3．将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( )A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种解析：可先分组再排列，所以有12C 24A 33＝18种放法． 答案：C4．(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，即C 3n ＝C 7n ，n ＝3＋7＝10.所以(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为210－1＝29．答案：A5．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列有( )A ．12种B ．20种C．40种D．60种解析：选(消序法)五个元素没有限制全排列数为A55，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A33，可得符合要求的排列有A55A33×2＝40种．答案：C6．已知(1－2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为()A．71 B．70C．21 D．49解析：因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，即n＝7.因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为C27(－2)2＋C17(－2)＝70.故选B．答案：B二、填空题7．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中x2的系数为________．(用数字作答)解析：二项展开式的通项公式为T r＋1＝C r6(－2x)r＝C r6(－2)r x r，令r＝2，则x2的系数为C26(－2)2＝60．答案：608．(2015·上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________．(结果用数值表示) 解析：从9人中选出5人总选法为C59，选出的5人全是女教师的选法有C56，所以男、女教师都有的选法有C59－C56＝120种．答案：1209．(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．解析：由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3，x,6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3．答案：3三、解答题10．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解：(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，第2次测到第一件次品有4种方法；第8次测到最后一件次品有3种方法；第3至第7次抽取测到另外两件次品共有A25种方法；剩余4次抽到的是正品．共有A24A25A46＝86 400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520．11．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10．(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2．解：(1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，a2是展开式中x2的系数，∴a2＝C55(－1)5C35(－2)3＋C45(－1)4·C45(－2)4＋C35(－1)3·C55(－2)5＝800．(2)令x＝1，代入已知式可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32．(3)令x＝－1可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把这两个等式相乘可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0．。

活页作业(七)简单计数问题一、选择题1．有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方案的种数为() A．12B．24C．26 D．36解析：当甲一人一组时，共有C12C23A22＝12种不同的参赛方案；当甲和另一人一组时，共有C13C12A22＝12种不同的参赛方案．所以共有12＋12＝24种不同的参赛方案．答案：B2．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种解析：若选择了两个城市，则有C24C23A22＝36种投资方案；若选择了三个城市，则有C34 A33＝24种投资方案．因此共有36＋24＝60种投资方案．答案：D3．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图所示是一种填法，则不同的填写方法共有()A．6种B．12种C．24种D．48种解析：第一步，确定第一行，有A33种填法．第二步，确定第一列，有A22种填法，这时剩下的空格就唯一确定了．所以有A33·A22＝12种填法．答案：B4．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A．23个B．24个C．18个D．6个解析：各位数字之和为奇数可分两类(都是奇数或两个偶数一个奇数)，故满足条件的三位数共有A33＋C13A33＝24个．答案：B二、填空题5．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．解析：6位游客选2人去A风景区，有C26种，余下4位游客选2人去B风景区，有C24种，余下2人去C，D风景区，有A22种，所以分配方案共有C26C24A22＝180种．答案：1806．某航空母舰将进行一次编队配置试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能是同种舰艇，则舰艇分配方案的种数为________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组(同组的2艘舰艇不是同种舰艇)，再排列，有C12C12A22A22种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A22种方法，故舰艇分配方案的种数为C12C12A22A22A22＝32．答案：32三、解答题7．从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解：解法一问题分成三类．①甲、乙两人均不参加，有A44种；②甲、乙两人有且仅有一人参加，有2C34·(A44－A33)种；③甲、乙两人均参加，有C24·(A44－2A33＋A22)种．故共有252种．解法二6人中取4人参加的种数为A46，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C12·A35种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A24减去了两次，故共有A46－C12·A35＋A24＝252种．8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分三步完成．第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙，有C22种方法．∴共有不同的分法C49C35C22＝1 260种．(2)分两步完成．第一步：按4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．∴共有C49C35C22A33＝7 560种．一、选择题1．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为()A．12 B．36C．72 D．108解析：由于元素个数多于位置个数，故先分组再分位置，分两步完成．第一步，从4名教师中选出2名教师组成一组，其余2名教师各自为一组，共有C24种方法；第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A33种方法．由分步乘法计数原理，所求的不同的方案种数为C24A33＝36．答案：B2．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有() A．32种B．48种C．96种D．144种解析：本题是一个分步计数问题，程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A12＝2种排法．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴把B和C看成一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有A22种排法，故共有A44A22＝48种排法．根据分步乘法计数原理知共有2×48＝96种排法，故选C．答案：C二、填空题3．正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．解析：若用三种颜色，有C15A34种染法，若用四种颜色，有5·A44种染法，则不同的染色方法有C15A34＋5·A44＝240种．答案：2404．奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100 m决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有A34＝24种．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有A55＝120种．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880种．答案：2 880三、解答题5．从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B都不当选；(3) A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．解：(1)除A，B选出外，从其他10人中再选3人，共有的选法种数为C310＝120．(2)去掉A，B，从其他10人中任选5人，共有的选法种数为C510＝252．(3)按A，B的选取情况进行分类．A，B全不选的方法数为C510.A，B选1人的方法数为C12C410，共有选法C510＋C12C410＝672种．(4)从反面考虑，用间接法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为C512－C57－C15C47＝596．(5)选出一名男生担任体育委员，再选出一名女生担任文娱委员，剩下的10人中任取3人担任其他3个班委．由分步计数原理可得所有方法总数为C17C15A310＝25 200．6．从1到9这九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解：(1)分步完成．第一步：在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步：在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步：3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100 800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34·C45·A33·A44·A22＝5 760个．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)，共有C34·C45·A44·A35＝28 800个．。

北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案模块综合测评( ： 120 分分： 150 分)一、 (本 共 12 小 ，每小5 分，共 60 分 )1． 复数 z ＝ 1＋2－)(其中 i 虚数 位 )， z 2＋ 3 z 的虚部 (iA ． 2iB ． 0C ．－ 10D ． 2解析：∵ z ＝ 1＋ 2 ＝1－ 2 2 ＝－ － 2－ i 2i ，∴ z ＝ (1－ 2i) 3－ 4i ， z ＝1＋ 2i.∴ z ＋ 3 z ＝－ 3－ 4i ＋ 3(1＋2i) ＝ 2i.∴虚部 2.答案： D2． 察一列数的特点： 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，⋯， 第 100 是 ()A ． 10B ． 13C ．14D ． 100解析： ∵ 1＋ 13 × 13＝ 91，2∴从第 92 开始 14，共有 14 ．∴第 10014.答案： C1－i2 014＋ 2i 的共 复数－－＝ ()3．已知 i 是虚数 位，且 z ＝ 1＋ i z ， z ·z A ． 5 B ． 1 C ． 5D ． 9解析： z ＝ 1－ i 2 0142i ＝ (－ i) 2 014－＝( －1＋ 2i)( － 1－ 2i) ＝5.1＋ i＋＋ 2i ＝－ 1＋ 2i ，故 z ·z答案： A4．数列 { a n } 中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2， a n ＝ a n － 1＋ 2n － 1，依次 算 a 2 ，a 3， a 4 后，猜想a n 的表达式是 ()A ． 3n － 2B ． n 2 n －1D ． 4n －3C ．3解析： 算出 a 2＝ 4， a 3＝ 9， a 4＝16，猜想 a n ＝n 2.答案： B5． 确保信息安全，信息需加密 ， 送方由明文→密文(加密 )，接受方由密文→明文 (解密 )，已知加密 ：明文a ，b ，c ，d 密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋ 3d,4d ，例如，明文 1,2,3,4 密文 5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28 ，解密得到的明文()A ． 4,6,1,7B ． 7,6,1,4C ．6,4,1,7D ． 1,6,4,7a ＋ 2b ＝ 14，a ＝ 6，2b ＋ c ＝ 9， 得b ＝ 4，解析： 由故选 C ．2c ＋ 3d ＝23， c ＝ 1，4d ＝ 28，d ＝ 7.答案： C6． (2017 北·京卷 )若复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 1)B ． (－∞，－ 1)C ．(1，＋∞ )D ． (－ 1，＋∞ )解析： (1－i)( a ＋ i) ＝ a ＋ i － ai － i 2＝ a ＋ 1＋ (1－a)i. 由复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，a ＋ 1＜ 0，得解得 a ＜－ 1.1－ a ＞ 0.答案： Bπ7π7．由直线 x ＝－ 6， x ＝ 6 ，y ＝ 0 与曲线 y ＝ sin x 所围成的封闭图形的面积为()A ． 2－ 3B ． 4－ 3C ．2＋ 3D ． 4＋ 3解析： 如下图，封闭图形的面积为πS ＝－sinxdx ＋ 0 sinxdx －sinxdxπ＝－ 2sinxdx ＋ 0 sinxdx＝－ 2( －cosx)＋ (－ cosx)|0π＝ 2 cos 0－ cos － π－ (cos π－ cos 0)6 3－ (－ 1－1)＝ 4－ 3.答案： B8．已知α，β是三次函数f(x)＝1312＋ 2bx(a，b∈R )的两个极值点，且α∈ (0,1)，β3x＋ ax2∈(1,2) ，则b－3的取值范围是 () a－ 2A ．－∞，2B．2，1 55C．(1，＋∞ )D．－∞，2∪ (1，＋∞ ) 5解析：因为函数有两个极值，所以f′ (x)＝0有两个不同的根，即>0又.f′ (x)＝ x2＋f′ 0 >0，2b>0，b－ 3的几何意义是动ax＋ 2b，α∈ (0,1)，β∈ (1， 2)，所以f′ 1 <0，即1＋ a＋2b<0，f′ 2 >0，4＋ 2a＋ 2b>0.a－ 2点 P(a，b)到定点 A(2,3)两点连线的斜率．作出可行域如图，由图像可知当直线经过AB 时斜率最小，此时斜率为 k＝1－3＝2；当直线经过AD 时斜率最大，此时斜率为k＝0－ 3＝－ 3－ 2 5－1－22 b－ 31.故5<a－2<1.答案： B9．定义在R上的函数y＝ f(x)满足 f(4 －x)＝f(x)，(x－ 2)f′ (x)<0 ，若 x1<x2，且 x1＋ x2>4，则()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝ f(x2)D． f(x1)与 f(x2)的大小不确定解析：由 f(4－ x)＝ f( x)，得函数 f(x)的图像关于直线x＝ 2 对称．由 (x－2)f′ (x)<0，得函数f(x)在 (－∞，2)上是增加的，在 (2，＋∞) 上是减少的．故当 x2>x1>2 时，f(x1)>f( x2)；当 x2>2> x1时，由 x1＋ x2>4，得 x2>4－ x1>2.故 f(4－ x1)＝ f(x1)>f(x2)．综上， f(x1)>f(x2)．答案： B范围是 ()1A ． a ≤ 0B ． a ≥－ 8 1C ．a<－ 8D ． a ≥ 0解析： 由题意，得1f ′ (x)＝2ax ＋(x>0) ，且直线 x ＋ y ＋m ＝ 0(m ∈ R )的斜率为－ 1.x由对任意实数 m 直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 都不是曲线 y ＝f(x)的切线，得曲线 y ＝ f(x)的切线的斜1率不可能为－ 1，即 2ax ＋ ＝－ 1 无正实数根．1 1分离 a ，得 a ＝－ 2x 2 － 2x ①，也就是当 x>0 时，①不能成立． 令 y ＝－ 11 1 1＋ 1 2 12x 2－ 2x ＝－ 2 x 2 ＋ 8 ，设 t ＝1x ，由 x>0，得 t>0.则 y ＝－ 1 t ＋ 1 2＋ 1<0.228 故 a ≥0.答案： D11．如果函数 f(x)＝a x (a x － 3a 2－1)( a>0 且 a ≠ 1)在区间 [0，＋∞ )上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ()23， 1A ． 0， 3B ．3 C ．(1， 3]3，＋∞D ． 2 解析： 由已知得 f ′ (x)＝ 2a 2x ln a － (3a 2＋ 1)a x ·ln a ＝ a x ln a(2a x － 3a 2－ 1)≥ 0. ①当 a>1 时， ln a>0 ，a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1≥0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时，a x ≥ 1，故只需 2－ 3a 2－ 1≥0，∴ 3a 2≤ 1.∴ a2≤ 13与 a>1 矛盾．②当 0<a<1 时， ln a<0， a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1<0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时， a x ≤ 1，223故只需 2－ 3a － 1≤0，∴ 3a ≥ 1.∴ ≤ a<1.12．已知 f(x)在点 x 处可导，那么 limf x ＋x －f x － x ＝ ()x →x A ． 0B ． f ′ (x)1C ．2f ′ (x)D ． 2f ′ (x)解析： lim f x ＋ x － f x － xx →0 x＝lim f x ＋ x －f x ＋ lim f x － f x － xx →xx →x＝ f ′ (x)＋ limf x － x － f xx →－ x＝ f ′ (x)＋ f ′( x)＝ 2f ′ (x)．答案： D二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 )13．设 P 是△ ABC 内一点，△ ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ， P 到三边的距离依l al bl c次为 l a ，l b ，l c ，则有 h A ＋ h B ＋ h C ＝ ________；类比到空间，设 P 是四面体 ABCD 内一点，四 顶点到对面的距离分别是 h A ， h B ， h C ， h D ， P 到这四个面的距离依次是l a ， l b ， l c ， l d ，则有____________．解析： 用等面积法可得 l a ＋ l b ＋ l c ＝1.h A h B h C 类比到空间有 l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d＝ 1.h A h B h C h D答案： 1l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d ＝ 1h A h B h C h D2在 x ＝ 1 处的切线方程为 14．曲线 y ＝ 2ln x ＋ x － 2x解析： 当 x ＝ 1 时， y ＝－ 1.又 y ′＝ 2＋ 2x －2，于是 x__________ ．k ＝ y ′ |x ＝ 1＝ 2.故切线方程为 y ＋ 1＝2(x － 1)，即 2x － y －3＝ 0.答案： 2x － y － 3＝015．已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c 的导数为 f ′ (x)， f ′ (0)>0 ，且 f(x)的值域为 [0，＋∞ ) ，则 f 1的最小值为 ________． f ′解析： ∵ f ′(x)＝2ax ＋ b ，∴ f ′ (0) ＝ b>0.又函数 f(x)的值域为 [0，＋ ∞ )，∴ a>0 ，且 ＝ b 2－ 4ac ＝ 0，即 4ac ＝ b 2.∴ c>0.∵ f(1) ＝ a＋ b＋ c，∴f 1＝a＋ b＋ c＝1＋ a＋ c≥1＋ 2ac＝ 1＋4ac＝ 1＋1＝ 2，当且仅f′ 0b b b4ac当 a＝ c 时等号成立．∴ f 1的最小值为 2.f′ 0答案： 216．定义两个实数间的一种新运算“ *：”x* y＝ lg(10 x＋ 10y)， x， y∈R .对任意实数 a， b，c，给出下列结论：① (a*b)* c＝a*( b* c)；② a* b＝ b*a ；③ (a* b) ＋ c＝( a＋ c)*( b＋ c)．其中正确的是 ________(填序号 )．解析：∵ a* b＝lg(10 a＋ 10b)，∴(a* b)* c＝lg(10lg(10 a＋ 10b)＋ 10c)＝lg(10 a＋ 10b＋ 10c)．同理 a*( b* c)＝ lg(10 a＋ 10b＋10c)．∴a*( b*c)＝( a* b)* c.故①正确．同理可验证②正确．∵a* b＝ lg(10 a＋ 10b)，a bb* a＝lg(10 ＋ 10)，∴a* b＝ b* a.又∵ (a＋ c)*( b＋ c)＝ lg(10 a＋c＋ 10b＋c)＝lg[10 c(10a＋ 10b)]＝lg(10 a＋ 10b)＋ c，(a* b)＋ c＝ lg(10 a＋ 10b)＋ c，∴(a* b)＋ c＝(a＋c)*( b＋ c)．故③正确．答案：①②③三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17． (10 分)求证： ac＋ bd≤a2＋b2· c2＋ d2.证明：若 ac＋ bd≤ 0，则不等式显然成立．若 ac＋bd>0 ，要证原不等式成立，22222只要证 (ac＋bd)≤ (a＋b)(c＋ d )，即要证 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2，只要证 (ad－ bc)2≥ 0.此式显然成立，所以原不等式成立．－18．(12 分 )设复数 z 满足 4z＋2 z ＝ 3 3＋ i ，ω＝sin θ－ icos θ(θ∈R)．求 z 的值和 |z－ω| 的取值范围．－解：设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z ＝ a－ bi.－代入 4z ＋2 z ＝ 33＋ i ，得 4(a ＋ bi) ＋ 2(a － bi) ＝ 3 3＋ i ，即 6a ＋ 2bi ＝ 3 3＋ i.6a ＝3 3，3，a ＝ 23 ＋1i.∴解得∴ z ＝ 2b ＝1.12 2b ＝ 2.∴ |z － ω|＝3 12＋ i － sin θ－ icos θ2＝3－ sin θ2＋ 12＋ cos θ22＝ 2－ 3sin θ＋ cos θ＝2－2sinθ－ π .6π∵－ 1≤ sin θ－ 6 ≤ 1，π∴ 0≤ 2－ 2sin θ－ 6 ≤ 4.∴ 0≤ |z －ω|≤2.故 |z － w|的取 范 是 [0,2] ．19． (12 分)已知复数 z ＝ (2x ＋ a)＋ (2－x ＋ a)i ， x ， a ∈ R ，当 x 在 (－∞，＋∞ )内 化 ，求 |z|的最小g(a)．解： |z|2＝ (2x ＋a) 2＋ (2 － x＋ a) 2＝ 22x ＋2 － 2x－ x＋ 2a(2x ＋2 )＋ 2a 2.令 t ＝ 2x ＋ 2－ x ， t ≥ 2,22x ＋ 2－2x ＝ t 2－ 2.从而 |z|2＝ t 2＋ 2at ＋ 2a 2－ 2＝ (t ＋ a)2＋ a 2－ 2.当－ a ≥ 2，即 a ≤ － 2 ， g(a)＝a 2－ 2；当－ a<2 ，即 a>－ 2 ，g(a)＝ a ＋ 2 2＋ a 2－ 2＝ 2|a ＋ 1|.20． (12 分)用数学 法 明不等式：2＋ 1× 4＋ 1×⋯× 2n ＋ 124 2n > n ＋ 1.明： ①当 n ＝1 ，左式＝ 3，右式＝2，2左式 >右式，所以不等式成立．②假 n ＝ k(k ≥ 1， k ∈ N ＋ ) 不等式成立，2＋ 1 4＋ 1 2k ＋ 1即2×4×⋯×2k >k ＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 ，2＋ 1×4＋ 1×⋯× 2k ＋ 1× 2k ＋32k ＋ 3 ＝ 2k ＋ 3 .2 42k 2 k ＋1 > k ＋1×2 k ＋ 12 k ＋ 1 要 当 n ＝ k ＋ 1 不等式成立，只需2k ＋3≥k ＋ 2，2 k ＋ 1即2k ＋ 3≥ k ＋1 k ＋ 2 .2由基本不等式 2k ＋ 3＝ k ＋ 1 ＋ k ＋ 2 ≥k ＋ 1 k ＋ 2 成立，故2k ＋ 3≥ k ＋ 2成立．222 k ＋ 1所以，当 n ＝ k ＋1 ，不等式成立．由①②可知， n ∈ N2＋1 4＋ 12n ＋ 1，不等式2 ×4×⋯×2n> n ＋ 1成立．＋21． (12 分 )已知函数 f(x) ＝x 3 ＋2bx 2＋ cx － 2 的 像在与x 交点 的切 方程是y ＝ 5x－10.(1)求函数 f(x)的解析式．(2) 函数 g(x)＝ f(x)＋1mx ，若 g( x)的极 存在， 求 数 m 的取 范 以及函数 g(x)取得3极 的自 量 x 的 ．解： (1)由已知得切点(2,0)，故有 f(2) ＝ 0，即 4b ＋ c ＋ 3＝0.①又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋ c ，由已知 f ′(2) ＝ 12＋ 8b ＋ c ＝5，得 8b ＋ c ＋ 7＝ 0.②立①②，解得b ＝－ 1，c ＝ 1.所以函数的解析式f(x) ＝x 3 －2x 2＋ x － 2.(2)g( x)＝ x 3－ 2x 2＋ x －2＋ 1mx ，3 21令 g ′ (x)＝ 3x －4x ＋1＋ m ＝ 0.3当函数有极 ，方程3x 2－ 4x ＋ 1＋ 1m ＝ 0 有 数解，即 Δ≥ 0.3由 ＝ 4(1－ m)≥ 0，得 m ≤ 1.①当 m ＝1 ， g ′ (x)＝ 0 有 数根 x ＝ 2，在 x ＝2左右两 均有g ′ (x)>0 ，故函数 g(x)33无极 ．②当 m<1 ， g ′ (x)＝ 0 有两个 数根x 1 ＝1 (2－ 1－ m)， x 2＝ 1(2＋ 1－ m)．33当 x 化 ， g ′( x)， g(x)的情况如下表：x (－∞， x 1) x 1(x 1，x 2) x 2( x 2，＋∞ )g′ (x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以当 m∈ (－∞， 1)时，函数g(x)有极值，1当x＝3(2 － 1－m)时， g(x)有极大值；当x＝13(2 ＋ 1－m)时， g(x)有极小值．22．(12 分 )(2014 浙·江高考 )已知函数 f(x)＝ x3＋ 3|x－ a|(a>0)，将 f(x)在 [－ 1,1] 上的最小值记为 g(a)．(1)求 g(a)．(2)证明：当x∈ [ － 1,1] 时，恒有f(x)≤ g(a)＋ 4.(1)解：因为 a>0 ，－ 1≤ x≤ 1，所以①当 0<a<1 时，若x∈ [－ 1， a]，则 f(x)＝x3－ 3x＋ 3a，f′ (x)＝3x2－3<0.故 f(x) 在(－ 1， a)上是减函数．若x∈ [a,1]，则 f(x)＝ x3＋ 3x－3a，f′ (x)＝3x2＋3>0.故f(x) 在(a,1)上是增函数．所以 g(a)＝ f(a)＝ a3.②当 a≥ 1 时，有 x≤ a，则f(x) ＝x3－ 3x＋ 3a， f′ (x)＝ 3x2－ 3<0.故f(x) 在(－ 1,1)上是减函数，所以 g(a)＝ f(1)＝－ 2＋ 3a.a3 0<a<1 ，综上， g(a)＝－2＋ 3a a≥ 1 .(2)证明：令 h( x)＝ f(x)－ g(a)．①当 0<a<1 时， g( a) ＝ a3 .若x∈ [a,1]，则 h(x)＝x3＋3x－ 3a－a3，h′ (x)＝ 3x2＋ 3，在 (a,1)上是增函数．所以 h(x)在 [a,1]上的最大值是 h(1) ＝ 4－ 3a－ a3 .因为 0< a<1，所以 h(1)≤4.故f(x) ≤g( a)＋4.若x∈ [－ 1， a]，则 h(x)＝ x3－ 3x＋ 3a－ a3，h′ (x)＝ 3x2－ 3，在 ( －1， a)上是减函数．所以 h(x)在 [ － 1，a] 上的最大值是h(－ 1)＝ 2＋3a－ a3.9北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案知t(a) 在(0,1)上是增函数，所以 t(a)<t(1)＝ 4，即 h(－ 1)<4.故f(x) ≤g( a)＋4.②当 a≥ 1 时， g(a)＝－ 2＋ 3a，故h(x)＝ x3－ 3x＋ 2，得 h′ (x)＝ 3x2－ 3.此时 h(x)在 (－ 1,1)上是减函数．因此 h(x)在 [ － 1,1] 上的最大值是h(－ 1)＝ 4.故f(x) ≤g( a)＋4.综上，当 x∈ [ － 1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.10。

北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案活页作业 (一 )归纳与类比1．有两种花色的正六形地面，按下的律，拼成若干个案，第六个案中有阴影花色的正六形的个数是()A ． 26B． 31C．32D． 36解析：第 n 个案有a n个阴影花色的正六形，a1＝ 6× 1－ 0， a2＝ 6× 2－ 1， a3＝6× 3－ 2，故猜想 a6＝6× 6－ 5＝ 31.答案： B2．察下列各式：1＝ 12，22＋ 3＋4＝ 3 ，3＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 52，4＋ 5＋6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝72，⋯⋯可以得出的一般是()A ． n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ n2B．n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－1) 2C．n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 1)＝ n2D． n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 1)＝ (2n－ 1)2解析：可以：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2⋯⋯故第 n 个式子的第一个数是 n；第一个式子中有 1 个数相加，第二个式子中有 3 个数相加⋯⋯故第n 个式子中有 2n－ 1 个数相加；第一个式子的果是 1 的平方，第二个式子的果是 3 的平方⋯⋯故第 n 个式子是 2n－ 1 的平方，故可以得到n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝(2n－1) 2.答案： B114x x43x x 43．已知 x＞ 0，由不等式 x＋≥ 2x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3··2＝3，⋯，x x x 2 2x 2 2 xa)我可以得出推广： x＋n≥ n＋ 1(n∈N＋ )， a 等于 (x北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案C ．3nnD ． n解析： 再续写一个不等式：3 x x 34 33 x ＋ ＋ 3 x x x 3 ＝ 4，x ＋ 3 ＝ ＋ 3≥ 4 (3)x 3 3 3x3 3 3 x由此可得 a ＝ n n .答案： D4．已知扇形的弧长为l ，半径为 r ，类比三角形的面积公式S ＝ 底×高，可推知扇形面2 积公式 S 扇等于 ()22rlA ． 2B ． 2C ． lrD ．不可类比2解析： 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．答案： C5．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )A ．空间中平行于同一直线的两直线平行B ．空间中平行于同一平面的两直线平行C ．空间中平行于同一直线的两平面平行D ．空间中平行于同一平面的两平面平行解析： 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案： D6．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为 1∶ 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为 ________．1 解析：V 1 3S 1h 1S 1 h 1 1 1 1＝＝ S 2 · ＝ ×＝ .V 2 1h 2 4 283S 2h 2答案： 1∶ 87．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和是 S n ＝ n a 1＋ a n，由此可类比得到各项均为正数的等2比数列 { b n } 的前 n 项积 T n ＝ ________(用 n ， b 1， b n 表示 )．解析：由等差数列中的 “ 求和 ” 类比等比数列中的 “ 求积 ”，可知各项均为正数的等比n数列 { b n } 的前 n 项积 T n ＝ (b 1b n ) 2.n答案： (b 1b n )28.上图中，上起第 n 行，左起第 n ＋1 列的数是 ________．解析： 第 1 行第 2 个数为 2＝ 1× 2，第 2 行第 3 个数为 6＝ 2×3，第 3 行第 4 个数为 12＝ 3× 4，第 4 行第 5 个数为 20＝ 4× 5.故归纳出第 n 行第 n ＋ 1 个数为 n(n ＋ 1)＝ n 2＋ n.答案： n 2＋nx 2y 29．在椭圆中， 有一结论： 过椭圆 a 2 ＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上不在顶点的任意一点P 与长轴两b2 端点 A ，A 连线，则直线 PA 与 PA斜率之积为－ 2121 2a ，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．2 2解： 过双曲线 xyP 与实轴两端点 A 1， A 2 连线，则直线2－ 2 ＝ 1 上不在顶点的任意一点a b2PA 1 与 PA 斜率之积为 b22a .证明如下：设点 P(x 0， y 0)，点 A 1(a,0)， A 2(－ a,0)．椭圆中： kPA 1·kPA 2＝ y 0 y 0－ a ·＋ a ＝x 0 x 0x 02221－ 22ba b2＝ ＝－ 22 22；x 0－ ax 0－ aa222 x 0 2＝b2－ 1双曲线中： kPA＝y 0 a＝b21·kPA 2 x 02－ a 2x 02－ a 2a .10．已知 2 2 2 3 2 2 23sin 30 °＋ sin 90°＋ sin 150 °＝ ，sin 5°＋ sin 65 °＋ sin 125 °＝ .观察上述两等式22的规律，请你写出一个一般性的命题，并证明．解： 一般性的命题为2223sin θ＋ sin (60 °＋ θ)＋ sin (120 °＋ θ)＝ 2. 证明如下：22 2 °＋ θ)sin θ＋ sin (60 °＋ θ)＋ sin (120＝ 1－ cos 2θ 1－cos 120 °＋ 2θ 1－ cos 240 °＋ 2θ ＋ ＋22 23 1＝ 2－2[cos 2 θ＋ cos(120 ＋°2θ)＋ cos(240 ＋°2θ)]＝ 3－1[cos 2 θ＋ cos 120 cos ° 2θ－ sin 120 sin ° 2 θ＋ cos(180 ＋°60°＋ 2θ)] 2 2＝ 3－1 [cos(60 ＋°2θ)－cos(60 ＋°2θ)]＝ 3 .2 2 211． △ ABC 的三 分 a ，b ，c ，△ ABC 的面S ，内切 半径2S，r ， r ＝ a ＋ b ＋ c比 个 可知： 四面体 A-BCD 的四个面的面 分 S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径R ，四面体 A-BCD 的体 V ， R 等于 ()V2VA ．＋ S ＋ S ＋ SB ．＋ S ＋ S ＋ SS 1234S 12343V4VC ．S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4D ．S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4解析： 四面体的内切球的球心O ， 球心 O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体 等于以O 点，分 以四个面 底面的4 个三棱 体 的和．四面体的体1V四面体A-BCD ＝ 3(S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4)R ，3V∴R ＝S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4.答案： C1 113512． n 正整数， f(n)＝ 1＋ 2＋3＋⋯＋ n ， 算得 f(2) ＝ 2，f(4)＞ 2，f(8) ＞ 2，f(16) ＞ 3，察上述 果，可推 一般的______________．解析： 由 意 f(21) ＝3， f(22)＞ 4， f(23)＞ 5， f(24)＞6，故一般的f(2n) ≥n ＋ 22 .2 2 2 2nn ＋ 2答案： f(2 )≥x13． 函数f(x)＝x ＋ 2(x ＞ 0)， 察：xf 1(x)＝ f(x)＝x ＋2，xf 2(x)＝ f(f 1(x)) ＝ 3x ＋4，xf 3(x)＝ f(f 2(x)) ＝ 7x ＋8，x，f 4(x)＝ f(f 3(x)) ＝ 15x ＋16 ⋯⋯根据以上事 ， 由 推理可得： 当 n ∈ N ＋ 且 n ≥ 2 ，f n (x)＝ f(f n －1 (x))＝ ____________.解析：依 意，先求函数 果的分母中x 系数所 成数列的通 公式， 由 1,3,7,15，⋯ ，可推知 数列的通 公式a n ＝ 2n － 1.又函数 果的分母中常数 依次2,4,8,16，⋯ ，故nx其通 公式b n ＝ 2 .所以当 n ≥ 2 ， f n (x)＝ f(f n －1 (x))＝ 2n －1 x ＋2n .答案：x2n － 1 x ＋ 2n14．(2015 ·州模 卷 )平面几何里有“ 直角三角形ABC 的两直角 分 a ， b ，斜上的高1 11h ， 2＋2＝2 ”，拓展到空 ，研究三棱 的 棱 与底面上的高之 的关a b h系可以得出的正确 是：“ 三棱 A-BCD 的三个 棱两两垂直，其 分 a ， b ， c ，面 BCD 上的高 h ， ________”．解析： 如右 所示， A 在底面的射影 O ， 接 BO 并延 交 CD 于 E. 接 AE ，由 AB ⊥ AC ，AB ⊥ AD 得 AB ⊥面 ACD ．11 1∴ AB ⊥ AE. AE ＝ h 1，在△ ABE 中，由已知可得a 2＋ h 21＝ h 2.又易 CD ⊥面 ABE ，∴ CD ⊥AE .11 1在△ ACD 中有 h 21 ＝b 2＋ c 2，11 11∴ a 2＋ b 2＋ c 2＝ h 2.11 1 1答案： a 2＋b 2＋ c 2＝ h 215． (2015 ·西模 卷江 )f(n)＝ n 2＋ n ＋41， n ∈ N ＋ ， 算： f(1)， f(2) ， f(3)， f(4)，⋯，f(10)的 ，同 作出 推理，并用n ＝ 40 猜想是否正确．解： f(1) ＝ 12＋ 1＋ 41＝ 43， f(2) ＝ 22＋ 2＋ 41＝ 47， f(3) ＝ 32＋ 3＋ 41＝ 53， f(4) ＝ 42＋ 4＋41＝ 61，f(5) ＝ 52＋ 5＋ 41＝ 71， f(6)＝ 62＋ 6＋ 41＝ 83，22北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案22f(9) ＝ 9＋ 9＋ 41＝ 131， f(10) ＝ 10＋10＋ 41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数，∴归纳猜想：当 n∈N＋时， f(n)＝ n2＋ n＋ 41 的值都为质数．当n＝40 时， f(40)＝ 402＋ 40＋41＝ 40×(40＋ 1)＋ 41＝41× 41，∴ f(40)是合数．∴由上面归纳推理得到的猜想不正确．16.如右图，点 P 为斜三棱柱 ABC- A1B1C1的侧棱 BB1上一点， PM ⊥BB 1交 AA1于点 M，PN⊥ BB1交 CC1于点 N.(1)求证： CC1⊥ MN ；(2)在任意△ DEF 中有余弦定理DE 2＝ DF 2＋ EF 2－ 2DF ·EFcos∠ DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．(1)证明：∵ PM⊥ BB1， PN⊥ BB1，∴BB1⊥平面 PMN .∴BB1⊥ MN .又∵ CC1∥ BB1，∴ CC1⊥ MN .(2)解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有 S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋ S2ACC 1A1－ 2SBCC1B1·SACC1A1cos α.其中α为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角．证明如下：∵CC1⊥平面 PMN .∴上述二面角的平面角为∠MNP .在△ PMN 中，PM2＝ PN2＋ MN 2－ 2PN·MN cos∠MNP ?PM2·CC21＝ PN 2·CC21＋ MN 2·CC21－ 2(PN·CC1) ·(MN ·CC1)cos∠ MNP ，∴SBCC1B1＝PN ·CC1， SACC1A1＝ MN ·CC1，SABB1A1＝ PM ·BB1＝ PM ·CC1，∴有 S2ABB1A1＝S2 BCC1B1＋ S2ACC1A1－ 2SBCC1B1·SACC1A1cos α.。

第一章 本章整合提升1．(2015·湖北卷)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝by ＋a ，b ＞0，则z ＝by ＋a ＝－0.1bx ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．答案：A2．如果有99%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A ．χ2＞3.841 B ．χ2＜3.841 C ．χ2＞6.635D ．χ2＜6.635解析：由独立性检验的基本思想可知，当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关系．故选C ．答案：C3．(2016·山东卷改编)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”至少猜对3个成语的概率为________．解析：设事件A 表示“甲第一轮猜对”， 设事件B 表示“乙第一轮猜对”， 设事件C 表示“甲第二轮猜对”， 设事件D 表示“乙第二轮猜对”，设事件E 表示“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －， 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2⎝⎛⎭⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.答案：234．一口袋中，有6个红球，4个白球，从中无放回地依次摸出2个球．在第1次摸到红球的情况下，第2次又摸到红球的概率为________．解析：设A 表示“第二次摸到红球”，B 表示“第一次摸到红球”，则A |B 表示“第一次摸到红球，第二次又摸到红球”．解法一 直接利用A |B 的含义求解．由题意知，事件B 发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个白球，则事件A 发生的概率为59，即P (A |B )＝59.解法二 用公式求解． P (B )＝610＝35，而AB 表示两次都摸到红球，则P (AB )＝13.所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1335＝59.答案：595．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：∑i ＝116(i －8.5)2≈18.439，∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ⅱ)在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2，0.008≈0.09.解：(1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)∑i ＝116(x i －x －)2∑i ＝116(i －8.5)2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)(ⅰ)由于x －＝9.97，s ≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．(ⅱ)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，删除第13个数据，剩下数据的样本方差为12－15×10.022)≈0.008，15(1 591.134－9.22这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.6．(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)记事件用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下.平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”．则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.。

第一章　§1　1.1　1.21．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，由归纳推理第n 个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＝.(1＋n )n2由此可以得出第七个三角形数是28.答案：B2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当⊥时，其离心率为，FB→ AB → 5－12此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A ．B ．5＋125－12C ．－1D ．＋155解析：根据“黄金椭圆”的性质⊥，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，FB→ AB →设“黄金双曲线”的方程为－＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”x 2a 2y 2b 2中，∵⊥，∴·＝0.又＝(c ，b )，＝(－a ，b )，∴b 2＝ac .而FB → AB → FB → AB → FB → AB→ b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac .等号两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，求得e ＝.5＋12答案：A3．下列几种推理过程是类比推理的是( )A ．两直线平行，内错角相等B ．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C ．由数列的前几项，猜想数列的通项公式D ．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人解析：A 不是合情推理，C 是归纳推理，D 是归纳推理，只有B 是类比推理．答案：B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，成等比数列．T 16T 12解析：等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，，，成等比数列．T 8T 4T 12T 8T 16T 12答案：　T 8T 4T 12T 85．已知数列{a n }中，a 2＝6，＝n .an ＋1＋an －1an ＋1－an ＋1(1)求a 1，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解：(1)由a 2＝6，＝1，得a 1＝1.a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1由＝2，得a 3＝15.a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1由＝3，得a 4＝28.a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1故a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.(2)由a 1＝1＝1×(2×1－1)，a 2＝6＝2×(2×2－1)，a3＝15＝3×(2×3－1)，a4＝4×(2×4－1)，…，猜想a n＝n(2n－1)．。

第四章 本章整合提升1．(2015·福建卷)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅解析：∵A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i,1}，B ＝{1，－1}，∴A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：∵z ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴z －＝1－i.故选B ．答案：B3．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A ．12B ．22 C ． 2D ．2解析：方法一 由(1＋i)z ＝2i 得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C ．方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i.∴|z |＝ 2.故选C ． 答案：C4．(2015·全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i.∴a ＝4.故选D ．答案：D5．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限．故选C ．答案：C6．(2017·山东卷)已知a ∈R ， i 是虚数单位，若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3D ． 3解析：∵z ·z －＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2. ∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3.∴a 2＋3＝2. ∴a ＝±1.故选A ． 答案：A7．(2016·天津卷)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________. 解析：先求出复数z ，再确定其实部．因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i.所以其实部为1.答案：18．(2015·天津卷)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________. 解析：先运用复数的乘法进行化简，再利用纯虚数的概念求解．由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－29．(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________. 解析：∵z 2＝3＋4i ，∴|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5.∴|z |＝ 5. 答案： 510．(2015·重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：根据复数的模和复数的乘法解决．∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：3。

阶段质量评估(五)　数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( )A ．2cos B ．－2cos α2α2C ．2sinD ．－2sin α2α2解析：|z |＝＝＝＝2.(1＋cos α)2＋sin2α2＋2cos α4cos2α2|c osα2|∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.π2α2α2∴2＝－2cos .|c osα2|α2答案：B2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.∴Error!解得m ＝－1.答案：C3．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )(34π，54π)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：cos θ＋sin θ＝sin ，sin θ－cos θ＝sin .2(θ＋π4)2(θ－π4)∵θ∈，(34π，54π)∴θ＋∈，θ－∈.π4(π，32π)π4(π2，π)∴sin<0，sin >0.2(θ＋π4)2(θ－π4)∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数在平面内对应的点在第二象限．答案：B4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在解析：由已知可得x －(5＋i)x 0＋4－i ＝0，20∴Error!该方程组无解．答案：D5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，则|OA→ OB → |等于( )AB→ A ．B ．22C ．D ．410解析：由题意得＝－，则对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i.故|A |＝2.AB → OB → OA → AB → B→ 答案：B6．已知复数z ＝，是z 的共轭复数，则z ·等于( )3＋i(1－3i )2z － z－ A ．B ．1412C ．1D ．2解析：∵z ＝＝＝，3＋i(1－3i )23＋i－2－23i －3＋i 4∴|z |2＝2＋2＝.(－34)(14)14∴z ·＝|z |2＝.z－ 14答案：A7．在复平面内，复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5B ．13C ．D ．1517解析：由已知得对应的复数为－1＋i ，对应的复数为3＋2i.因为＝＋，BA → BC → BD→ BA → BC → 所以对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.BD→ 故BD 的长为.13答案：B8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z 为( )5A ．－＋2i B ．－－2i 55C ．＋2iD ．－2i55解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝－.5由|z |＝3，得(－)2＋y 2＝9，即y 2＝4.∴y ＝±2.5∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－＋2i.5答案：A9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000i B ．－1 002－1 002i C ．1 003－1 002i D ．1 005－1 000i 解析：1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i,5i 4＋6i 5＋7i 6＋8i 7＝5＋6i －7－8i ＝－2－2i ，故原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.答案：C10．设复数z 满足＝i ，则|1＋z |等于( )1－z1＋z A ．0B ．1C ．D ．22解析：由＝i ，得z ＝＝－i.1－z1＋z 1－i1＋i 故|1＋z |＝|1－i|＝.2答案：C11．有下列四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时，其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否为实数；④当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．答案：A12．若集合M ＝，则集合M 等于( ){z |z ＝1－(1－i1＋i )4n ，n ∈N }A ．∅B ．{0}C ．{0,2}D ．{2}解析：∵4n ＝(－i)4n ＝[(－i)4]n ＝1，(1－i1＋i )∴z ＝0.∴M ＝{0}．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：(z 1－z 2)i ＝(4＋29i －6－9i)·i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故实部为－20.答案：－2014．已知(a －i)2＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝__________________.解析：∵(a －i)2＝a 2－1－2a i ＝2i ，∴Error!解得a ＝－1.答案：－115．使关于x 的方程x 2＋2i x －4tan θ＋4i ＝0有实数根的锐角θ的值是________．解析：设m 是方程的实根，代入方程，整理得(m 2－4tan θ)＋(2m ＋4)i ＝0，由复数相等的条件，得Error!解得Error!由θ为锐角，得θ＝.π4答案：π416．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *的最小值为________．z－ 解析：根据题意，得z *＝＝|z |＝＝z － |z |＋|z － |2a 2＋b 2a 2＋(3－a )2＝ ＝.2a 2－6a ＋92(a －32)2＋92因此当a ＝时，z *有最小值，且最小值为.32z－ 322答案：322三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 的共轭复数是，且满足z ·＋2i z ＝9＋2i.求z .z － z－ 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i.z－ ∵z ·＋2i z ＝9＋2i ，z－ ∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i.∴Error!由②得a ＝1.代入①得b 2－2b －8＝0.解得b ＝－2或b ＝4.∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.18．(12分)已知复数z 满足|z |＝，z 2的虚部是2.2(1)求复数z .(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i.由题意得Error!解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1.故z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i.则A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)．所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i.则A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)．故S △ABC ＝1.19．(12分)已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为，求的最大值．3yx解：由|x －2＋y i|＝，3得(x －2)2＋y 2＝3.故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜3yx 率．如图所示，由平面几何知识，易知的最大值为.yx 320．(12分)已知ω＝z ＋i(z ∈C )，是纯虚数，且|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω.z －2z ＋2解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝＝.z －2z ＋2(a －2)＋b i (a ＋2)＋b i (a 2＋b 2－4)＋4b i (a ＋2)2＋b 2∵为纯虚数，z －2z ＋2∴Error!∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|(a ＋1)＋(b ＋1)i|2＋|(a －1)＋(b ＋1)i|2＝(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(a －1)2＋(b ＋1)2＝2(a 2＋b 2)＋4b ＋4＝8＋4b ＋4＝12＋4b .∴12＋4b ＝16.∴b ＝1.把b ＝1代入a 2＋b 2＝4，解得a ＝±.3∴z ＝±＋i.∴ω＝±＋2i.3321．(12分)已知复数z ＝且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，复数0，z ，(1＋i )3(a ＋b i )1－i对应的点是正三角形的三个顶点．求实数a ，b 的值．z－解：z ＝(a ＋b i)＝2i·i·(a ＋b i)＝－2a －2b i.(1＋i )2(1＋i )1－i∵|z |＝4，∴＝4，即a 2＋b 2＝4.(－2a )2＋(－2b )2∵复数0，z ，对应的点是正三角形的三个顶点，z－ ∴|z |＝|z －|.z－ 把z ＝－2a －2b i 代入，化简得b ＝±1.又∵点Z 在第一象限，∴a <0，b <0.∴a ＝－，b ＝－1.322．(12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．解法一：设ω＝z －3＋4i ，则z ＝ω＋3－4i.∴z ＋1－i ＝ω＋4－5i.又|z ＋1－i|＝1，∴|ω＋4－5i|＝1.则ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心、1为半径的圆，如图 (1)所示．∴|ω|max ＝＋1，|ω|min ＝－1.4141解法二：由已知条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1，1)为圆心、1为半径的圆，|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离．在圆上，与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示．故|z －3＋4i|max ＝＋1，41|z －3＋4i|min ＝－1.41。