第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
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第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点 容易题
(题号) 中等题
(题号) 稍难题
(题号)
平面的基本性质及
平行公理的应用 2、3 4、8、10 11
异面直线的判定 7 9
[理]异面直线所成角
[文]空间直线的
位置关系 1、5 6 12
一、选择题
1．下列命题中正确的是 ( )
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一平面的两直线是平行直线
D．垂直于同一平面的两平面是平行平面
答案：C
2．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得 ( )
A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时D才成立．
答案：B
3．对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是 ( )
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m与n相交
解析：由直线与平面的性质可知，选C.
答案：C
4．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )
①P∈a，P∈α⇒a⊂α
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案：D
5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若两直线为异面直线则两直线无公共点，反之不一定成立．
答案：A
6. [理]如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC
，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1
的中点，则直线EF和BC1所成的角是 ( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
解析：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点
G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设
AB=BC=AA1=a，连接HB，在三角形GHB中，易
知GH=HB=GB=22a，故两直线所成的角即为∠HGB=60°.
答案：B
[文]如图在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是 ( )
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
解析：EF∥A1C1，故D不成立．
答案：D
二、填空题
7．(2010·江南十校素质测试)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
解析：正方体如图，若要出现所成角为60°
的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为
例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，
分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方
体的面对角线有12条，所以所求的黄金异
面直线对共有1242=24对(每一对被计算两次，
所以记好要除以2)．
答案：24
8．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
⑤若a，b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的命题是__________(只填序号)．
解析：由公理4知①正确；
当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；
当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；
a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；
当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①
9．(2010·郑州质检)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正
方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面
直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
三、解答题
10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．
(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，
不必证明)；
(2)求PQ的长．
解：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.
又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．
∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．
∴DA与CM必相交，记交点为Q，
连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，
∴OQ是α与β的交线．
故直线OPQ即为所求作的直线．
(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ＝CB＝1，
又∵△OPN∽△QPA，ON＝12BC＝12AQ.
∴PN∶PA＝1∶2.AP＝23AN＝53. 解Rt△APQ可得PQ＝143.
11．在正方体AC1中，E是CD的中点，连结AE并延长与BC的延长线交于点F，连结BE并延长交AD的延长线于点G，连结FG.
求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.
证明：由已知得E是CD的中点，
在正方体中，有A∈平面ABCD，
E∈平面ABCD，
所以AE⊂平面ABCD.
又AE∩BC=F，所以F∈AE，
从而F∈平面ABCD.
同理，G∈平面ABCD，
所以FG⊂平面ABCD.
因为EC 12AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，
同理，DG=AD.又在正方形ABCD中，BC AD，
所以CF DG.
所以四边形CFGD是平行四边形．
所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，
所以直线FG∥直线A1B1.
12．已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD，点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点．求证：三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．
证明：如图所示，连结EF、FG、GH、HE.
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，同理，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
设EG∩FH=O，
则O平分EG、FH.
同理，四边形MFNH是平行四边形，
设MN∩FH=O′，则O′平分MN、FH.
∵点O、O′都平分线段FH，
∴点O与点O′重合，
∴MN过EG和FH的交点，即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．
