空间中平面与平面的位置关系

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

平面与平面的位置关系【要点】一．平面与平面的位置关系两平面平行：平面与平面没有交点；两平面相交：平面和平面有一条公共直线。

二．两平面平行1．两平面平行的判定：（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线线平行，则线面平行）。

（2）垂直直于同一直线的两平面平行。

（3）平行于同一平面的两平面平行。

2．两平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。

（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。

（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。

（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。

（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。

三．两平面垂直1．两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

2．平面与平面垂直的判定：（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

（2）一平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。

3．平面和平面垂直的性质：（1）两平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

（2）过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面（3）两相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面。

（3）过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

【复习要求】平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。

（1）两个平面平行的判定和性质定理。

（2）两个平面垂直的判定和性质定理。

（3）二面角和二面角的平面角。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。

这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三个条件。

求二面角的平面角的大小步骤：首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。

空间平面与平面位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要但常常容易被忽视的问题。

了解空间平面与平面的位置关系对于解决几何问题以及应用到实际生活中具有重要的意义。

本文将探讨空间平面与平面的四种基本位置关系：平行、相交、重合和互相垂直，并通过实际例子来说明其应用。

1. 平行关系当两个平面在空间中没有相交的情况下，它们被认为是平行的。

平行平面可以永远延伸下去而不会相交。

把手中的书放在桌子上可以形成一个例子，桌子和书页所在的平面就是平行关系。

平行关系在建筑设计、工程测量以及地理测量等领域中有着广泛的应用。

2. 相交关系当两个平面在空间中有一条直线进行交叉的情况下，它们被认为是相交的。

相交关系可以理解为两个平面在某一点或某一线上相遇。

例如，两扇门相互垂直地打开形成的平面相交于门口的一条直线。

相交的平面关系在日常生活中随处可见，例如建筑物的墙壁与天花板的相交以及道路与桥梁的相交等。

3. 重合关系当两个平面在空间中完全重复时，它们被认为是重合的。

即两个平面在每一点都完全重叠，没有任何区别。

考虑一块平行光线照射在墙壁上并被反射，反射光线与原来的光线所在的平面完全重合。

在几何学中，研究平面重合关系有助于解决与对称性和对称图形相关的问题。

4. 垂直关系当两个平面的交线是垂直于另一平面时，它们被认为是互相垂直的。

垂直关系可以通过角度判断，当两个平面的交线与另一个平面的法线成直角时即可确认垂直关系。

例如，地面与墙壁的交线与墙壁的法线垂直。

垂直关系在建筑设计、物理学以及工程中都有重要的应用，例如计算斜坡的可行性以及研究天体运动。

总结起来，空间平面与平面之间有四种基本的位置关系：平行、相交、重合和互相垂直。

了解这些关系对于解决几何问题和应用到实际生活中具有重要的作用。

无论是建筑设计、工程测量还是物理学研究，几何学的基本原理都是无处不在的。

通过对空间平面与平面位置关系的研究，我们能够更好地理解和应用几何学的知识。

平面与平面的位置关系在几何学中，平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。

当两个平面存在相交、平行或者垂直的关系时，我们可以通过几何分析来确定它们之间的具体位置关系。

本文将介绍平面与平面的三种基本位置关系，并通过几个实际例子来加深理解。

相交是最常见的平面与平面的位置关系。

当两个平面有一个或多个交点时，称它们相交。

相交的平面可以形成各种形状，比如交叉、叠加、垂直等等。

例如，一张桌子的表面和一个墙壁可以被视为两个相交的平面。

它们在桌角位置相交，形成一个垂直的关系。

在几何分析中，我们可以通过找到两个平面的交线来确定它们的相交关系。

平行是平面与平面的另一种常见位置关系。

当两个平面上的任意两条直线都平行时，称这两个平面平行。

平行的平面在空间中没有交点，永远保持相同的距离。

例如，两张平行的地板可以被认为是两个平行的平面。

它们永远不会相交，无论它们在空间中的位置如何变化。

在几何分析中，我们可以通过比较两个平面上的法向量来确定它们的平行关系。

垂直是平面与平面的第三种基本位置关系。

当两个平面的法向量互相垂直时，称这两个平面垂直。

垂直的平面形成一个直角关系，它们在空间中相交成一条直线。

例如，一张水平的地板和一面垂直的墙壁可以被视为两个垂直的平面。

它们在地板边缘相交，形成一个垂直的直角关系。

在几何分析中，我们可以通过比较两个平面的法向量的点积是否为零来确定它们的垂直关系。

除了相交、平行和垂直之外，平面与平面还可以存在其他一些特殊的位置关系。

例如，两个平面可能互相包含，其中一个平面完全位于另一个平面之内。

或者两个平面可能共面，即它们在空间中重合成一个平面。

这些特殊的位置关系都可以通过几何分析来确定。

在实际应用中，平面与平面的位置关系在建筑设计、机械工程、计算机图形学等领域中发挥着重要作用。

例如，在建筑设计中，两个相交的平面可以构成一个角度，决定着各种结构的稳定性和外观效果。

在机械工程中，平行的平面常用于配合零件的设计和加工。

空间几何中的平面与平面的位置关系知识点平面与平面的位置关系知识点在空间几何中，平面与平面的位置关系是一个重要的知识点。

理解和掌握平面与平面之间的位置关系，对于解决几何问题和应用于实际生活中的空间建模具有重要意义。

本文将介绍平面与平面的四种位置关系：平行、相交、重合和异面，并探讨它们的特性和应用。

1. 平行关系：当两个平面不存在交点时，它们被称为平行平面。

平行平面的特点是：它们的法向量垂直且相等。

简单来说，如果一个平面的法向量与另一个平面的法向量垂直且长度相等，那么这两个平面是平行的。

平行平面在实际问题中的应用非常广泛，例如建筑设计中的墙面或屋顶。

2. 相交关系：当两个平面存在且仅存在一条交线时，它们被称为相交平面。

相交平面的特点是：它们的法向量不相等。

相交平面可以形成各种不同的几何形状，如平行四边形、直角梯形等。

相交平面的研究有助于我们理解空间中不同几何体的关系，例如研究两个交叉的墙面如何构成室内空间的结构。

3. 重合关系：当两个平面的所有点完全重合时，它们被称为重合平面。

重合平面的特点是：它们的法向量相等且共线。

重合平面意味着这两个平面没有任何区别，它们在空间中完全重合。

在实际问题中，判断平面是否重合对于确定物体的位置和形状至关重要，例如在机械设计中，确保两个零件的平面配合要求是一致的。

4. 异面关系：当两个平面不存在任何交线时，它们被称为异面平面。

异面平面的特点是：它们的法向量不相等且不共线。

异面平面在几何学中是最常见的情况，例如地球表面上的各个大陆就可以看作是一组异面平面的集合。

异面平面的研究帮助我们理解空间中不同平面的分布和相对位置。

总结起来，平面与平面的位置关系涉及四种情况：平行、相交、重合和异面。

通过研究和理解这些位置关系，我们可以更准确地描述和解决空间几何问题。

在实际应用中，我们可以利用这些知识点来进行建模、设计和分析，例如建筑设计中的空间布局、机械设计中的零件配合等。

因此，掌握平面与平面的位置关系知识是学习几何学的重要一步，也对我们的日常生活具有实际应用的意义。

2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。

它描述了两个平面之间的相对位置，在设计和建造中都非常重要。

在这篇文章中，我们将探讨平面与平面之间的三种不同的位置关系：平行、交叉和重合。

1. 平行关系两个平面如果不相交，而且它们的法向量平行，则被称为平行平面。

两个平面之间存在平行关系，意味着它们在空间中始终保持相同的距离。

这种关系在工程、建筑、制造和设计等领域非常常见。

在计算机图形学中，两个平行平面可以通过平移、旋转或缩放等变换来转换成相同的平面。

这种关系可以用以下公式来表示：(Pl1 // Pl2) ⇔ n1 || n2其中，Pl1 和 Pl2 表示两个平面，n1 和 n2 分别表示它们的法向量。

符号“//”表示平行关系，符号“||”表示向量平行。

2. 交叉关系交叉关系是指两个不相交的平面在某一点处相交，但在这个点的邻域内仍然不相交。

这种关系在空间几何中非常常见，例如在两个不同的墙面相交的地方。

如果两个平面的法向量不平行，则它们必须相交，除非它们的法线在同一条直线上。

这种关系可以用以下公式来表示：其中，符号“∩”表示交叉关系，符号“≠ Ø”表示它们的交点不是空集。

3. 重合关系两个完全一致的平面被称为重合平面。

这种关系在空间中很少见，但在建筑、制造和设计等领域中经常发生。

其中，“≡”表示重合关系，而“d1”和“d2”分别表示两个平面与原点之间的距离。

总结平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。

它们可以被归为三类：平行、交叉和重合。

这些关系在工程、建筑、制造和设计等行业中非常重要。

掌握这些关系的几何公式和概念，可以帮助人们更好地理解和处理空间中的问题。