平面和平面位置关系

平面与平面之间的位置关系[学习目标］1。

了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示。

2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示。

知识点一直线与平面的位置关系1。

直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a∥α2。

直线与平面的位置关系的分类（1)按公共点个数分类错误!（2)按直线是否在平面内分类错误!思考“直线与平面不相交"与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?答不是。

前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行。

知识点二两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面。

题型一直线与平面的位置关系例1 下列命题中,正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α。

A.0 B。

2 C。

1 D。

3答案 C解析如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′,AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C,A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确;④显然正确。

故答案为C.跟踪训练1 以下命题(其中a，b表示直线,α表示平面）,①若a∥b，b⊂α，则a∥α;②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是（）A。

平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面之间的位置关系，包括平行和相交两种情况。

2. 让学生掌握如何判断两个平面是否平行或相交，并能够运用这个知识解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 平面与平面平行的判定与性质2. 平面与平面相交的判定与性质3. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面平行的判定与性质，平面与平面相交的判定与性质。

2. 教学难点：如何判断两个平面是否平行或相交，以及如何在实际问题中运用这个知识。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面之间的位置关系的定义、判定和性质。

2. 利用多媒体展示实例，帮助学生直观理解平面与平面之间的位置关系。

3. 引导学生进行实践操作，培养学生的动手能力。

4. 设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入平面与平面之间的位置关系，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：讲解平面与平面平行的判定与性质。

3. 实例分析：利用多媒体展示实例，让学生直观理解平面与平面平行的判定与性质。

4. 课堂练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 新课导入：讲解平面与平面相交的判定与性质。

6. 实例分析：利用多媒体展示实例，让学生直观理解平面与平面相交的判定与性质。

7. 课堂练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。

8. 总结与拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考平面与平面之间的位置关系在实际问题中的应用。

9. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。

10. 教学反思：对课堂教学进行总结，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

六、教学评价1. 评价内容：学生对平面与平面之间位置关系的理解，包括平行和相交的判定与性质。

2. 评价方法：通过课堂练习、课后作业和课堂讨论等方式进行评价。

3. 评价指标：a. 学生能够准确判断平面与平面的位置关系；b. 学生能够运用所学知识解决实际问题；七、教学反馈1. 收集学生作业、练习和测试成绩，分析学生对平面与平面之间位置关系的掌握情况。

平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面之间的位置关系，包括平行和相交两种情况。

2. 让学生掌握如何判断两个平面是否平行或相交，以及如何求解平面之间的交线。

3. 培养学生的空间想象力，提高解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 平面与平面平行的判定与性质2. 平面与平面相交的判定与性质3. 平面之间的交线求解4. 实际案例分析三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面之间的位置关系的基本概念、判定方法和性质。

2. 利用多媒体课件，展示平面与平面之间的位置关系，增强学生的空间想象力。

3. 结合实例，让学生通过动手操作，巩固所学知识。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作能力。

四、教学步骤1. 引入新课：通过生活中的实例，如墙角、桌面等，引导学生思考平面与平面之间的位置关系。

2. 讲解平面与平面平行的判定与性质：引导学生了解平面与平面平行的定义，讲解判定方法和性质。

3. 讲解平面与平面相交的判定与性质：引导学生了解平面与平面相交的定义，讲解判定方法和性质。

4. 讲解平面之间的交线求解：引导学生了解如何求解平面之间的交线，讲解方法和相关公式。

5. 实例分析：给出实际案例，让学生动手操作，巩固所学知识。

五、课后作业1. 复习平面与平面之间的位置关系的基本概念、判定方法和性质。

2. 练习求解平面之间的交线，提高解题能力。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平面与平面之间位置关系的理解和掌握情况。

2. 课后作业：检查学生的课后作业，评估学生对平面与平面之间位置关系的判定方法和性质的掌握程度。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力。

七、教学拓展1. 引导学生思考平面与平面之间位置关系在现实生活中的应用，如建筑、设计等领域。

2. 介绍三维建模软件，让学生尝试运用所学知识进行简单的三维模型设计。

3. 推荐相关书籍和在线资源，鼓励学生深入研究平面与平面之间位置关系的应用。

平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案 A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案 C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案 B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析如图所示，选D.2.答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案 D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案 D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案 B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案 B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案 1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。

一、平面与平面的位置关系有且只有两种1、两个平面平行——没有公共点；2、两个平面相交——有一条公共直线。

二、面面垂直性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1的逆定理）三、平面与平面垂直的性质如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。

四、面面垂直定义若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

五、线面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。

是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。

在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

六、线面垂直判定定理直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表：。

空间平面与平面位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要但常常容易被忽视的问题。

了解空间平面与平面的位置关系对于解决几何问题以及应用到实际生活中具有重要的意义。

本文将探讨空间平面与平面的四种基本位置关系：平行、相交、重合和互相垂直，并通过实际例子来说明其应用。

1. 平行关系当两个平面在空间中没有相交的情况下，它们被认为是平行的。

平行平面可以永远延伸下去而不会相交。

把手中的书放在桌子上可以形成一个例子，桌子和书页所在的平面就是平行关系。

平行关系在建筑设计、工程测量以及地理测量等领域中有着广泛的应用。

2. 相交关系当两个平面在空间中有一条直线进行交叉的情况下，它们被认为是相交的。

相交关系可以理解为两个平面在某一点或某一线上相遇。

例如，两扇门相互垂直地打开形成的平面相交于门口的一条直线。

相交的平面关系在日常生活中随处可见，例如建筑物的墙壁与天花板的相交以及道路与桥梁的相交等。

3. 重合关系当两个平面在空间中完全重复时，它们被认为是重合的。

即两个平面在每一点都完全重叠，没有任何区别。

考虑一块平行光线照射在墙壁上并被反射，反射光线与原来的光线所在的平面完全重合。

在几何学中，研究平面重合关系有助于解决与对称性和对称图形相关的问题。

4. 垂直关系当两个平面的交线是垂直于另一平面时，它们被认为是互相垂直的。

垂直关系可以通过角度判断，当两个平面的交线与另一个平面的法线成直角时即可确认垂直关系。

例如，地面与墙壁的交线与墙壁的法线垂直。

垂直关系在建筑设计、物理学以及工程中都有重要的应用，例如计算斜坡的可行性以及研究天体运动。

总结起来，空间平面与平面之间有四种基本的位置关系：平行、相交、重合和互相垂直。

了解这些关系对于解决几何问题和应用到实际生活中具有重要的作用。

无论是建筑设计、工程测量还是物理学研究，几何学的基本原理都是无处不在的。

通过对空间平面与平面位置关系的研究，我们能够更好地理解和应用几何学的知识。

2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。

它描述了两个平面之间的相对位置，在设计和建造中都非常重要。

在这篇文章中，我们将探讨平面与平面之间的三种不同的位置关系：平行、交叉和重合。

1. 平行关系两个平面如果不相交，而且它们的法向量平行，则被称为平行平面。

两个平面之间存在平行关系，意味着它们在空间中始终保持相同的距离。

这种关系在工程、建筑、制造和设计等领域非常常见。

在计算机图形学中，两个平行平面可以通过平移、旋转或缩放等变换来转换成相同的平面。

这种关系可以用以下公式来表示：(Pl1 // Pl2) ⇔ n1 || n2其中，Pl1 和 Pl2 表示两个平面，n1 和 n2 分别表示它们的法向量。

符号“//”表示平行关系，符号“||”表示向量平行。

2. 交叉关系交叉关系是指两个不相交的平面在某一点处相交，但在这个点的邻域内仍然不相交。

这种关系在空间几何中非常常见，例如在两个不同的墙面相交的地方。

如果两个平面的法向量不平行，则它们必须相交，除非它们的法线在同一条直线上。

这种关系可以用以下公式来表示：其中，符号“∩”表示交叉关系，符号“≠ Ø”表示它们的交点不是空集。

3. 重合关系两个完全一致的平面被称为重合平面。

这种关系在空间中很少见，但在建筑、制造和设计等领域中经常发生。

其中，“≡”表示重合关系，而“d1”和“d2”分别表示两个平面与原点之间的距离。

总结平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。

它们可以被归为三类：平行、交叉和重合。

这些关系在工程、建筑、制造和设计等行业中非常重要。

掌握这些关系的几何公式和概念，可以帮助人们更好地理解和处理空间中的问题。