空间中直线与平面之间的位置关系
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2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案教学目标:1.掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系。
2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.教学重点:直线与平面的三种位置关系及其作用.教学难点:直线与平面的三种位置关系及其作用问题提出1. 空间点与直线,点与平面分别有哪几种位置关系?2. 空间两直线有哪几种位置关系?探究:直线与平面之间的位置关系思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有哪几种位置关系?思考2:如图,线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系?思考3:通过上面的观察和分析,直线与平面有三种位置关系有哪些?靠什么来划分呢?思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置?如何用符号语言描述这三种位置关系?思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行?若直线l 平行于平面α,则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何?B A DCA' B'D' C'理论迁移例1 给出下列四个命题:(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α.(2)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行.(3)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l 在平面α内,且l 与平面β平行,则平面α与平面β平行.其中正确命题的个数共有 __个.随堂练习:判断正误1、若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α( )2、若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行( )3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行( )4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行( )5、若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( )巩固练习1.选择题(1)以下命题(其中a ,b 表示直线,α表示平面)①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α ②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α ④若a ∥α,b ⊂α,则a ∥b其中正确命题的个数是 ( )(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个(2)已知a ∥α,b ∥α,则直线a ,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有 ( )(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个(3)如果平面α外有两点A 、B ,它们到平面α的距离都是a ,则直线AB 和平面α的位置关系一定是( )(A )平行 (B )相交 (C )平行或相交 (D )AB ⊂α(4)已知m ,n 为异面直线,m ∥平面α,n ∥平面β,α∩β=l ,则l ( )(A )与m ,n 都相交 (B )与m ,n 中至少一条相交(C )与m ,n 都不相交 (D )与m ,n 中一条相交(5)已知直线a 在平面α外,则 ( )(A )a ∥α (B )直线a 与平面α至少有一个公共点(C )a A α⋂= (D )直线a 与平面α至多有一个公共点课本49页练习课堂小结课外作业一、选择题: 1.下列命题中正确的是( )A .平行于同一个平面的两条直线平行B.垂直于同一条直线的两条直线平行C.若直线a与平面α内的无数条直线平行,则a∥αD.若一条直线平行于两个平面的交线,则这条直线至少平行于两个平面中的一个2.下列四个命题(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题是()A.(1),(3)B.(2),(4)C.(1),(3),(4)D.(2),(3),(4)3.已知平面α∥平面β,直线a∥α,直线b∥β那么,a与b的关系必定是()A.平行或相交B.相交或异面C.平行或异面D.平行、相交或异面二、填空题:4.已知直线a∥b,a、b 平面α,直线c与a异面,且b与c不相交,则c与α的位置关系是_______.5.给你四个命题:①过直线外一点,有且只有一条直线与该直线平行②过直线外一点,有且只有一个平面与该直线平行③过平面外一点,有且只有一条直线与该平面平行④过平面外一点,有无数多条直线与该平面平行其中真命题为_____________(写出序号即可)6.三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线的位置关系为_____________.自我评价:_______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α=A a∥α图形暗示2.两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β=l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法:①若直线a在平面α外,则a∥α;②若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中说法正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个[解析]对于①,直线a在平面α外包孕两种情况:a∥α或a与α相交,∴a和α纷歧定平行,∴①说法错误.对于②,∵直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误.对于③,∵a∥b,b⊂α,∴a⊂α或a∥α,∴a与平面α内的无数条直线平行.∴③说法正确.[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.【对点训练】1.下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条必然与这个平面平行.A.0 B.1C.2 D.3解析:选C①正确;②错误,如图1所示,l1∥m,而m⊂α,l1⊂α;③正确,如图2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与直线BD异面,A1C1⊂平面A1B1C1D1,且BD∥平面A1B1C1D1,故③正确;④错误,直线还可能与平面相交.由此可知,①③正确,故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行,问α∥β是否正确,为什么?(2)平面α内的所有直线与平面β都平行,问α∥β是否正确,为什么?[解](1)不正确.如图所示,设α∩β=l,则在平面α内与l平行的直线可以有无数条:a1,a2,…,a n,…,它们是一组平行线,这时a1,a2,…,a n,…与平面β都平行(因为a1,a2,…,a n,…与平面β无交点),但此时α与β不平行,α∩β=l.(2)正确.平面α内所有直线与平面β平行,则平面α与平面β无交点,符合平面与平面平行的定义.【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似,可以从有无公共点区分:如果两个平面有一个公共点,那么由公理3可知,这两个平面相交于过这个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且只有一条公共直线.若平面α与β平行,记作α∥β;若平面α与β相交,且交线为l,记作α∩β=l.【对点训练】2.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有________组互相平行的面.与其中一个侧面相交的面共有________个.解析:六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共有8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系.答案:4 63.如图所示,平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位置关系?解:∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点,∴平面ABC与平面A1B1C1平行.∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB,∴平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.【练习反馈】1.M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能解析:选C由符号语言知,直线l上有一点在平面α内,另一点在α外,故l与α相交.2.如图所示,用符号语言可暗示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α解析:选D显然图中α∥β,且l⊂α.3.平面α∥平面β,直线a⊂α,则a与β的位置关系是________.答案:平行4.经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________.解析:若平面外两点所在直线与该平面相交,则过这两个点不存在平面与已知平面平行;若平面外两点所在直线与该平面平行,则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行.答案:0或15.三个平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.解:(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又c⊂β,所以c与α无公共点,则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又γ∩α=a,γ∩β=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,所以a,b没有公共点.由于a、b都在平面γ内,因此a∥b,又c∥b,所以c∥a.。
§14.3空间直线与平面的位置关系(夹角)【知识解读】1、线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.2、线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.3、平行平面:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行.4、推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行.5、平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.6、面面平行的另一性质:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面.7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角FEDCBA【例题讲解】例1 、简述下列问题的结论,并画图说明:(1)直线⊂a 平面α,直线A a b = ,则b 和α的位置关系如何?(2)直线α⊂a ,直线a b //,则直线b 和α的位置关系如何?例2、已知:空间四边形ABCD 中,,E F 分别是,AB AD 的中点,求证://EF BCD 平面.例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,M ∈AC ,N ∈FB ,且AM =FN ,求证 MN ∥平面BCE_ CBM HS CAA例4、在正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a .求:(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角;(2)直线1DB 与面1111D C B A ;例5、四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点, 求(1)BC 与平面SAB 所成的角。
(2)SC 与平面ABC 所成的角。
例6、如图,几何体ABCDE 中,△ABC 是正三角形,EA 和DC 都垂直于平面ABC ,且a AB EA 2==,a DC =,F 、G 分别为EB 和AB 的中点.(1)求证:FD ∥平面ABC ;(2)求证:AF ⊥BD ;【课堂练习】1、在长方体1111D C B A ABCD -中,AB=4,BC=3,1CC =2 (1)求B A 1与面ABCD 所成的角; (2)求D A 1与面ABCD 所成的角;(3)求C A 1与长方体的各个面所成的角的大小; (4)求C A 1与长方体的各条棱所成的角的大小;2、.在正方体1111D C B A ABCD -中,求B A 1和平面CD B A 11所成的角的大小;3、如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证:(1)BF ∥HD 1;(2)EG ∥平面BB 1D 1D ;(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H.D 1C 1B 1A 1D C BA。
直线与平面的关系及应用一、直线与平面的空间位置关系公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
1. 线面平行定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。
判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
拓展:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
2. 线面垂直定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a垂直于平面α判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
二、空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面1. 两条直线平行定义:在同一平面内,不相交的两条直线互相平行。
判定定理:(1)如果两直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行(2)如果两直线同时垂直于同一个平面,那么这两条直线平行性质定理: 两直线平行,同位角相等。
两直线平行,内错角相等。
两直线平行,同旁内角互补。
拓展:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020空间点,直线和平面的位置关系一,线在面内的性质:定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内。
二,平面确定的判定定理:定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
定里3.经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面。
定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。
定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。
三,两面相交的性质:定里6. 如果两个平面有一个公共点,那么还有其它公共点,则这些公共点的集合是一条直线。
四,直线平行的判定定理:定里7. 平行于同一直线的两直线平行。
五,等角定理:定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向,那么这两个角相等。
六,异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
(异面直线间的夹角只能是:锐角或直角)七,直线和平面平行的判定定理:定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
符合表示:βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄推理1. 如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
符号表示:b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 八,平面与平面平行判定定理:定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
符号表示:βαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a M b a b a推论1:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行。
九,平面与平面平行的性质:定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交,那它们的交线平行。
符号表示:d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα十,线与面垂直的判定定理:定理1. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行,那么这条直线垂直这个平面。
平面和直线的位置关系
平面和直线是几何学中常见的基本图形,它们在空间中的位置关系有以下几种情况:
1. 直线在平面内:当一条直线完全位于一个平面内时,我们称这条直线在这个平面内。
这种情况下,直线与平面有唯一的交点,也就是直线的一个端点与平面的一个点重合。
2. 直线与平面相交:当一条直线与一个平面有交点时,我们称这条直线与这个平面相交。
这种情况下,直线与平面有无限多个交点,交点的数量取决于直线与平面的相对位置。
3. 直线与平面平行:当一条直线与一个平面没有交点且与平面上任意一条直线的夹角为零时,我们称这条直线与这个平面平行。
这种情况下,直线与平面之间没有交点。
4. 直线与平面垂直:当一条直线与一个平面上的任意一条直线的夹角为90度时,我们称这条直线与这个平面垂直。
这种情况下,直线与平面有唯一的交点,交点位于直线与平面的垂线上。
总之,平面和直线的位置关系有多种情况,要根据具体的情况来判断它们之间的
关系。
在实际应用中,我们需要根据需要来选择适当的位置关系,以便更好地解决问题。
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、空间中直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有___________种: ①直线在平面内——有___________个公共点; ②直线与平面相交——有且只有一个公共点; ③___________——没有公共点. 学*科网 直线与平面相交或平行的情况统称为___________. 2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3.直线和平面位置关系的分类 (1)按公共点个数分类:⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 (2)按是否平行分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内 (3)按直线是否在平面内分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行二、平面与平面之间的位置关系 1.两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种: (1)两个平面平行——没有公共点;(2)两个平面相交——有___________条公共直线. 2.两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3.两个平行平面的画法画两个平行平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,且把这两个平行四边形上下放置.K 知识参考答案:一、1.三 无数 直线与平面平行 直线在平面外 二、 1.一K—重点了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系K—难点会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系K—易错对概念理解不透彻致误1.直线与平面的位置关系空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.【例1】若直线a α,则下列结论中成立的个数是①α内的所有直线与a异面;②α内的直线与a都相交;③α内存在唯一的直线与a平行;④α内不存在与a 平行的直线A.0 B.1C.2 D.3【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用的空间模型),另外,考虑问题要全面,即注意发散思维.2.平面与平面的位置关系判断两平面之间的位置关系时,可把自然语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于空间想象能力,确定平面间的位置关系.【例2】已知α,β是两个不重合的平面,下面说法正确的是A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【答案】D【解析】不能保证α,β无公共点.如图:故A、B选项错误.当a∥α,a∥β时,α与β可能相交.如图:故C选项错误.平面α内所有直线都与平面β平行,说明α,β一定无公共点,则α∥β.故D选项正确.【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种:平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言,借助空间图形作出判断.【例3】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是A.平行B.相交C.平行或相交D.不确定【答案】C【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交.3.对直线与平面相交的概念理解不透彻致误【例4】已知:直线a∥b,a∩平面α=P,求证:直线b与平面α相交.【错解】如图,因为a∥b,所以a,b确定一个平面,设该平面为β.因为a∩平面α=P,所以P∈a,P∈α,所以P∈β,即点P为平面α与β的一个公共点,由此可知α与β相交于过点P的一条直线,记为c,即α∩β=c.在平面β内,a∥b,a∩c=P.由平面几何知识可得b与c也相交,设b∩c=Q,则Q∈b,Q∈c.因为c⊂α,所以Q∈α,所以直线b与平面α相交.【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻,误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点.【名师点睛】直线与平面相交,要求直线与平面有且只有一个公共点,即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内,也就是直线既不与平面平行,又不在平面内.1.已知直线与直线垂直,,则与的位置关系是A.//B.C.相交D.以上都有可能2.如果空间的三个平面两两相交,那么A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线3.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行,那么 A .α∥β B .α与β相交 C .α与β重合D .α∥β或α与β相交4.若直线a 不平行于平面α,则下列结论成立的是A .α内的所有直线均与a 异面B .α内不存在与a 平行的直线C .α内直线均与a 相交D .直线a 与平面α有公共点 5.以下命题(其中a b ,表示直线,α表示平面): ①若∥a b ,b α⊂,则∥a α; ②若∥a α,b α⊂,则∥a b ; ③若∥a b ,∥b α,则∥a α. 其中正确命题的个数是A .0B .1C .2D .36.若M ∈平面α,M ∈平面β,则不同平面α与β的位置关系是 . 7.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点,试判断: (1)AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系; (2)CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系; (3)AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系; (4)CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系.8.三个平面,,αβγ,如果,,∥a b αβγαγβ==,且直线,∥c c b β⊂.(1)判断c 与α的位置关系,并说明理由; (2)判断c 与a 的位置关系,并说明理由.9.若a ,b 是异面直线,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系是 A .∥b α B .相交C .b α⊂D .b α⊂、相交或平行 10.已知平面α和直线l ,则在平面α内至少有一条直线与直线lA .平行B .垂直C .相交D .以上都有可能11.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等,且A ∉α,给出以下三个命题:①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α;③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.(填序号)12.如图所示,1111ABCD A B C D -是正方体,在图①中E ,F 分别是11D C ,1B B 的中点,画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线,并给出证明.1 2 3 4 5 9 10 DADDADB3.【答案】D【解析】如图,设α∩β=l ,则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1,a 2,…,a n ,…,它们是一组平行线.这时a 1,a 2,…,a n ,…与平面β都平行,但此时α∩β=l.另外也有可能αβ∥.故选D.4.【答案】D【解析】直线a 不平行于平面α,则a 在α内或a 与α相交,故A 错; 当a α⊂时,在平面α内存在与a 平行的直线,故B 错;α内的直线可能与a 平行或异面,故C 错;显然D 正确. 5.【答案】A【解析】若∥a b ,b α⊂,则∥a α或a α⊂,故①不正确; 若∥a α,b α⊂,则∥a b 或,a b 异面,故②不正确; 若∥a b ,∥b α,则∥a α或a α⊂,故③不正确.故选A . 6.【答案】相交【解析】由公理3知,α与β相交.7.【解析】(1)AM 所在的直线与平面ABCD 相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.9.【答案】D【解析】三种情况如图(1),(2),(3).10.【答案】B【解析】若直线l与平面α相交,则在平面α内不存在直线与直线l平行,故A错误;若直线l∥平面α,则在平面α内不存在直线与l相交,故C错误;对于直线l与平面α相交,直线l与平面α平行,直线l在平面α内三种位置关系,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,故选B.11.【答案】①【解析】如图,三点A、B、C可能在α的同侧,也可能在α两侧,其中真命题是①.证明:在图①中,因为直线EN ∥BF ,所以、、、B N E F 四点共面,又2EN BF ,因此EF 与BN 相交,设交点为M .因为M ∈EF ,且M ∈NB ,而EF ⊂平面AEF ,NB ⊂平面ABCD ,所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点.又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点,故AM 为两平面的交线. 在图②中,C 1M 在平面11CDD C 内,因此与DC 的延长线相交,设交点为M ,则点M 为平面11A C B 与平面ABCD 的公共点,又点B 也是这两个平面的公共点,因此直线BM 是两平面的交线.学!科网。
直线与平面的三种位置关系嘿,朋友们!咱今天来聊聊直线与平面的那些事儿。
你想啊,这直线和平面,就好像咱生活中的一些关系一样。
直线有时候就像是个独行侠,在平面的世界里闯荡。
直线与平面第一种关系,那就是直线完全在平面里。
这不就跟咱在家里一样嘛,舒舒服服地待着,感觉特别安稳。
这条直线啊,就安安心心地在平面里待着,哪也不去,这多和谐呀!
第二种关系呢,直线和平面平行。
这就好像两个小伙伴,各自走在自己的道路上,谁也不碍着谁,但又有着一种奇妙的联系。
直线在平面外自由自在地伸展着,和平面井水不犯河水,却又有着一种默契。
然后就是第三种啦,直线和平面相交。
这可就有意思了,就好像两个人在路上突然碰到了,有了交点。
这交点啊,可是很关键的呢,它让直线和平面有了特别的联系。
有时候想想,这生活中不也有很多这样的“交点”嘛,可能是一次偶然的相遇,可能是一个意外的事件,让原本平行的轨迹有了交集。
咱再回过头来看看这直线与平面的关系,多像人生的各种状态呀!有时候我们在一个舒适圈里,就像直线在平面里一样安稳;有时候我们追求自由,和一些人或事保持平行,各自精彩;而有时候呢,命运就会让我们和某些东西相交,带来意想不到的变化。
你说是不是很神奇?这看似简单的直线与平面的关系,其实蕴含着好多生活的道理呢!咱得好好琢磨琢磨,说不定能从中学到不少东西呢。
反正我是觉得挺有意思的,你们呢?是不是也觉得这直线与平面的关系不简单呀?。
空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类(1)直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中,直线和平面平行,直线和平面相交统称直线在平面外,我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形.(3)直线与平面位置关系的图形画法:①画直线a 在平面α内时,表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内,而不能有部分在这个平行四边形之外,这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的,因而这条直线不可能有某部分在某外;②在画直线a 与平面α相交时,表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外,这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强的立体感;③画直线与平面平行时,最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外,且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线,则lααααbα⊂答案:B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等,讨论直线l与平面α的位置关系.图3解:直线l与平面α的位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.解:如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为:若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析:如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为:若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析:如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交,直线AB、CD在平面ABCD内,直线AB与直线A′B 相交,直线CD 与直线A′B 异面,所以A 、B 都不正确;平面ABCD内不存在与a 平行的直线,所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等,且A ∉α,以下三个命题:①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析:如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧,也可能在α两侧,图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析:∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案:A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
直线与平面的位置关系与判定直线与平面的位置关系是几何学中的一个重要概念,研究直线和平面之间的相互关系不仅有助于我们理解几何图形的性质,还有助于解决实际应用问题。
本文将介绍直线与平面的位置关系的概念和判定方法。
一、概念在三维空间中,直线是由无限多个点组成的,而平面是由无限多个直线组成的。
直线与平面的位置关系主要有以下三种情况:1. 直线在平面上当直线上的所有点都在平面上时,我们说该直线在平面上。
直线与平面的交点数目可以是无穷多个,也可以是有限个。
2. 直线与平面相交当直线与平面只有一个交点时,我们说该直线与平面相交。
直线与平面相交可以是垂直相交,也可以是斜交。
3. 直线与平面平行当直线上的所有点都不在平面上,且直线与平面之间没有交点时,我们说该直线与平面平行。
平行关系意味着直线与平面之间的距离相等。
二、判定方法判定直线与平面的位置关系有多种方法,下面将介绍几种常见的判定方法。
1. 平面点法式平面点法式是判断直线与平面关系的一种常用方法。
设平面的方程为ax + by + cz + d = 0,其中a、b、c为平面的法向量分量,x、y、z为平面上任意一点的坐标,d为常数。
若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面平行;若直线的方向向量与平面的法向量不垂直,则直线与平面相交。
2. 三点确定一平面法三点确定一平面法是另一种判定直线与平面关系的方法。
设直线上的两点坐标为P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2),平面上一点坐标为P0(x0, y0, z0)。
将P1、P2和P0的坐标代入平面的方程,若等式成立,则直线在平面上;若等式不成立,则直线与平面平行或相交。
3. 直线方向向量在平面法向量上的投影为零设直线的方向向量为n(x, y, z),平面的法向量为m(a, b, c),则直线与平面平行的条件是n·m = 0,其中·表示向量的内积运算。
若n·m ≠ 0,则直线与平面相交。