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历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案

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西安交通大学考试题 课 程 概率论与数理统计（A）

一、填空题 (6×4分=24分) 1. 设A、B、C是三个事件，且()()()0.25PAPBPC,()()0PABPBC，()0.125PAC，则A，B，C至少有一个发生的概率为____ __。

2．在一副扑克牌（52张）中任取4张，则4张牌花色全不相同的概率为_______ ____.

3．设总体2(0,)XN,1215(,,)XXX是来自X的简单随机样本，则

统计量2251221562()XXYXX服从的分布是___ _____。 4．设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知(1)(2)1EXX，则= 。

5．设两个随机变量X与Y的方差分别为25和36,相关系数为0.4,则()DXY__________,()DXY________。 6. 参数估计是指_________，包括_________与_________两种估计方式。

共 4 页 第 1 页 二、(12分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。 （1）求任意取出一个零件是合格品的概率是多少？ （2）如果任取的零件是废品，求它是由第二台车床加工的概率。 三、(12分)对敌方的防御工事进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69，求在100次轰炸中有180到200颗炸弹命中目标的概率。

共 4 页 第 2 页 四、(16分)设总体X的密度函数为 1,01(;)0,xxfx





其他

, 其中0为未知参数，

1(,,)nXX为来自总体X的一个简单随机样本。

求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。 五、(10分)设ˆ是的无偏估计量，证明：若ˆ是的均方相合估计，则ˆ一定是的相合估计。

共 4 页 第 3 页 六、(12分)设随机变量(,)的分布密度为 3,01,0(,)0,xxyxfxy



其它.

求的分布函数和概率密度。

七、(14分)新旧两个水稻品种进行对比试验，旧品种共分成25个小区，平均产量136.65xkg，样本标准差12.32Skg；新品种共分成20个小

区，平均产量237.35xkg，样本标准差21.89Skg。问新品种是否优于旧品种?（0.05，并假定水稻产量服从正态分布） 注：(1.8)0.9641  (2.0)0.9772  (1.54)0.9394  F0.025(24,19)=2.45, F0.025(19,24)=2.331, F0.975(24,19)=0.429, F0.05(24,19)=2.11, F0.05(20,25)=2.01, F0025(20,25)=2.3,

0.05(25)1.7081t,0.05(20)1.7247t,0.05(43)1.681t

共 4 页 第 4 页 西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准 课程名称：概率论与数理统计（A） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日

一、 填空题(24分)58; 445213C或0.1055; F(5,10); 1; 85,37; 由样本对总体中的未知参数进行估计， 点估计, 区间估计. 二、设Ai ={任意取出一个零件是第I台机床生产的}，（i=1,2） B={任意取出一个零件是

合格品}(1)2121()()(|)(10.03)(10.02)0.97333iiiPBPAPBA (6分)

(2) 2222110.02()(|)3(|)0.25210.030.02()(|)33iiiPAPBAPABPAPBA (6分) 三、令第i次轰炸命中目标的炸弹数为ix，100次轰炸中命中目标的炸弹数为1001iiXx。由独立同分布中心极限定理知，X近似服从2(,)Nnn。 (5分) 代入已知数据，即(200,169)XN，所求概率为

180200200220200180200169169169XPXP





2020020131313XP





(1.54)(1.54)＝0.9394－（1－0.9394）＝0.8764 (7分)

四、(1) 11100()1EXxfxdxxdxxdx

令EXX, 即1X,得1XX,故的矩估计为21XX (6分)

（2）似然函数为1()(;)nkkLfx11,01(1,,),0,nkkkxxkn其它 121,01(1,,),0,nnkkkxxkn







其它当01(1,,)kxkn

时，1ln()ln(1)ln2nkknLx，求导得似然方程 1ln()1ln022nkkdLnxd其唯一解为221(ln)nkknx，故的极大似然估优于

旧品种。 (7分) 第 1 页 计为221(ln)nkknx (10分) 五、由题知ˆ()E，且2ˆL，故22ˆˆˆˆ()(())()0PDEeE (5分) 由切比雪夫不等式得，2ˆ()ˆˆ()0PDPE(5分) 六、()()(,)xyzFzPzfxydxdy

当Z<0时，()0Fz，当01z时, 333()322DFzxdxdyzz 当1z时, 112000()331xFzxdxdyxdx (8分) 2'

3(1),01()()20,zzfzFz



其它

(4分)

七、两个总体方差未知，先检验它们是否相等，令 22012:H

，22112:H，选取检验统计量2122SFS,

在H0成立前提下，12(1,1)FFnn，n1=25, n2=20,查表得 F0.025(24,19)=2.45, F0.975(24,19)=0.429,

F的观察值222.321.507(0.429,2.45)1.89f,故接受H0，即认为2212.(7分) (1) 在2212的条件下，进一步检验假设： 012:H，112:H。选取检验统计量122211221212(1)(1)111XXTnSnSnnnn,

在H0成立前提下，12(2)Ttnn。查表得 120.05(2)(43)1.681tnnt,而T的样本观察值为

35.6537.352.6471.681112.1412520t

,故拒绝H0，即认为新品种

第 2 页 西安交通大学考试题 课 程 概率论与数理统计

（A）卷

题号 一 二 三 四 五 六 七 八

得分

一、填空：（4*8=32分）（注：答案写在答题纸上） 1、已知3.0AP，4.0BP，5.0BAP，PBAB 。

2、设X～pB,2，Y～pB,3，若951XP，则1PY 。 3、10个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任一层走出电梯（从第二层开始），则此10个人在不同楼层走出电梯的概率 。

4、设随机变量X服从参数为2的指数分布，21XYe的概率密度为 。 5、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为：

4,01,01(,)0,xyxyfxy



其它

，

则()PXY 。 6、已知..,,rvXYZ有()()1EXEY，()1EZ， 222()()()2EXEYEZ，,,,110;;22XYXZYZ，

则(2,3)CovXYZX 。 7、设（1X，2X，…，nX）为来自正态总体X～2,0N的一个样本，

则2121niiXn～ 。

成绩 8、写出两个正态总体在均值12,未知时的方差比得置信度为1的置信区间 。

二、（12分）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为05.0、04.0、03.0及02.0，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上产的概率为多少？

三、（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分

布，其概率密度为：510()50xXexfx其它，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布，并求1YP。

四、（10分）在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求选中自己礼物的人数X的均值与方差。

五、（8分）五个独立元件,寿命分别为125,,,,XXX都服从参数为的指数分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

六、（8分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。

七、（10分）设总体X的密度函数为其它010;1xxxf ，又(1X，2X，…，nX)是取自总体X的一个样本，求未知参数的矩估计量和极大似

然估计量。

八、（10分）某校为评估教学改革后教学质量情况，分别在2005年，2008年举行两次高数考试，考生是从该校大一学生中随机抽取，每次100个。两次考试的平均得分分别为5.63、0.67。假定两次高数考试成绩服从正态分布

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概率论与数理统计考试试题及答案

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重庆西南大学 2012 至 2013 学年度第 2 期概率论与数理统计 试题（A ）试题使用对象： 2011 级 专业(本科)1.设,,A B C 表示三个随机事件，则,,A B C 中至少有两个事件发生可表示为 ( ) A. A B C ⋃⋃ B. ABC C. AB BC AC ⋃⋃ D. ABC2.设随机事件A 与B 互不相容，且()0,()0P A P B >>，则( ) A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P A B ⋃=D. ()1P AB =3.某射手命中目标的概率为P, 则三次射击中至少有一次命中的概率为( ) A. P 3B. (1－P)3C. 1－P 3D. 1－(1－P)34.设随机变量X 的概率密度为, 02()20, xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩；其它，则(11)P X -≤≤＝( )A. 0B. 0.25C. 0.5D. 15.若随机变量()1D X =，则 (2)D X =( ) A ．2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.设()0.6,()0.5P A P B ==，且()0.4P AB =，求()P A B ⋃= .2.设()0.7P A =，则()P A = .3.有5人排成一排照相，则其中,a b 两人不能相邻照相的概率= .4.5.某工厂每天生产中出现的次品数ξ的概率分布如下表，则平均每天出次品 件.ξ 1 2 3 4P 0.2 0.3 0.4 0.1三、 计算题（本题共6小题，1-5小题每题8分，第6小题6分）1. 有三只同样的箱子，A 箱中有4只黑球1只白球，B 箱中有3只黑球3只白球， C 箱中有3只黑球5只白球，现任取一箱，再从中任取一球，求(1)此球是白球的概率；(2)若为白球，求出自B 箱的概率.2. 设随机变量X 与Y 的分布列为: X 0 1 3 Y 0 1 P12 38 18 , P 13 23求：（1）()E X ;(2)(23)E Y +. 3. 设X 满足如下分布律X k = -1 2 3()P X k = 14 12 14求X 的分布函数，并求135(),(),(23).222P X P X P X ≤<≤≤≤ 4. 设X 是连续性随机变量，其密度函数为2(42), 02,()0, k x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他,试求：（1）常数k 的值；（2）(1).P X > 5. 已知X 的分布律为：X -1 0 1 2k P 18 18 14 12求21221,Y X Y X =-=的分布律. 6. 设随机变量X 的密度函数分别为：2, 01()0, x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他， 求()E X .四、 证明题（共14分，每小题7分）1. 证明：设X 是一个随机变量，若2(),()E X E X 存在，则22()()()D X E X E X =-.2. 证明：设,X Y 是随机变量，若,X Y 相互独立，证明()()()D X Y D X D Y +=+.重庆三峡学院 2012 至 2013 学年度第 2 期 概率与数理统计 课 程 期 末 考 查A 卷 参考答案一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. C二、填空题（每小题4分，本题共20分）1. 0.7；2. 0.3；3.35； 4. 0.6； 5. 2.4 三、计算题（本题共6小题，1-5小题每题8分，第6小题6分）1. 解：设{}B {B }{}A A C ===箱中取球，箱中取球，C 箱中取球，{}D =取白球，则1()()()3P A P B P C ===，（1）()()(|)()(|)()(|)P D P A P D A P B P D B P C P D C =++11131553.353638120=⨯+⨯+⨯= （4分）（2）()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C =++132036.11131553353638⨯==⨯+⨯+⨯（8分）2. 解：(1)1313()013;2884E X =⨯+⨯+⨯= （4分）（2）122()01333E Y =⨯+⨯= ； 213(23)2()(3)2()32333E Y E Y E E Y +=+=+=⨯+= . (8分)3. 解：（1）0,11,124()3,2341,3x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（2分）（2）11();24P X ≤= 35531()()();22222P X F F <≤=-=3(23).4P x ≤≤=（6分）4. 解：（1）利用()1.f x dx +∞-∞=⎰则2201()(42)f x dx k x x dx +∞-∞==-⎰⎰=8,3k 所以3.8k =（4分）（2）2231131(1)()(42).82P X f x dx x x dx >==-=⎰⎰（8分）5. 解：1Y 的分布律为1Y -3 -1 1 3k P 18 18 14 12（4分）2Y 的分布律为：2Y 0 1 4k P 18 3814（8分）6. 解：102()=()2.3E X xf x dx x xdx +∞-∞=⋅=⎰⎰（6分）四、证明题（共14分，每小题7分）1.证明：由方差的定义有2()[()]D X E X E X =-（3分）22[2()()]E X XE X E X =-+22()2()()2()E X E X E X E X =-+22()()E X E X =-. (7分) 2.证明：2222()[()()] [(())(())] =[(()]2[(()][(()][(()]D X Y E X Y E X Y =E X E X Y E Y E X E X E X E X Y E Y E Y E Y +=+-+-+--+--+-(4分)因为,X Y 相互独立，则有 2[(()][(()]0.E X E X Y E Y --=所以()()()D X Y D X D Y +=+. (7分)重庆西南大学 2012 至 2013 学年度第 2 期概率论与数理统计 试题（B ）试题使用对象： 2011 级 专业(本科)1.设,,A B C 表示三个随机事件，则,,A B C 中至少有一个发生可表示为 ( C ) A. A B C ⋃⋃ B. ABC C. AB BC AC ⋃⋃ D. ABC2.设随机事件,A B 相互独立，则( D ) A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P A B ⋃=D. ()1P AB =3.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( C )A. 33()4B. 231()44⨯C. 213(44⨯D. 2241()4C ⨯4.设随机变量X 的概率密度为, 02()0, x x f x <<⎧=⎨⎩；其它，则(01)P X ≤≤＝( C )A. 0B. 0.25C. 0.5D. 15.若随机变量()2E X =，则 (21)E X +=( D ) A ．2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分重庆西南大学 概率论与数理统计1.设()0.8,()0.3P A P B ==，且()0.2P AB =，求()P A B ⋃= 0.9 .2.若随机事件A 的概率2()3P A =，则()P A = . 3.设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，则(24)P X ≤≤= 0.5 . 4.5.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 0.25 .五、 计算题（本题共5小题，每小题10分，共50分）1. 设W 表示昆虫出现残翅，E 表示有退化性眼睛，且()0.125,()0.075P W P E ==，()0.025,P WE =求昆虫出现残翅或退化性眼睛的概率. 2. 设X 是连续性随机变量，其密度函数为2(42), 02,()0, k x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他,试求：（1）常数k 的值；（2）(1).P X > 3.且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求P 1，P 2，P 3.4. 设随机变量X 的概率密度函数为：, 04()80, xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求随机变量28Y X =+的概率密度.5. 设连续型随机变量X 的分布函数为：1()arctan ()2F X A x x =+-∞<<∞ 试求：（1）A 的值；（2）X 的密度函数；（3）X 落在[0,1]内的概率.六、 证明题（共10分）证明：设X 是一个随机变量，若2(),()E X E X 存在，则22()()()D X E X E X =-.。

《概率论与数理统计》习题及答案__第一章解析

《概率论与数理统计》习题及答案__第一章解析

《概率论与数理统计》习题及答案__第一章解析-1 ?《概率论与数理统计》习题及答案第一章1 .写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数 ? A 二’出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数? A ='两次点数之和为10', B 二’第一次的点数，比第二次的点数大2（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为 123,4,5 ;从中同时取出3只球，观察其结果， A='球的最小号码为1';（4）将a,b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A='甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A ='通过汽车不足 5台’，B 二’通过的汽车不少于 3台’。

解（1）S ={0,62,03?, €56}其中e = ‘出现 i 点’i =1211 丨,6，A ={e 1 ,e 3,65}。

S 二｛(1,1), (1,2), (1,3),( ：1,5),( 1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2,6)(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)(4,1),(4, 2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4,6)(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)(6,1), (6, 2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6) ｝；A = ｛(4,6), (5,5), (6, 4)｝ ;B 二｛(3,1), (4, 2), (5,3), (6, 4)｝。

(3) S =｛(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,3,4), (1,4,5), (1,2,4), (1,2,5)(2,3,5), (2,4,5), (1,3,5)｝A 二｛(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5)｝(4) S =｛(ab,-,-)，(-, ab,-)，(-，-,ab), (a,b,-), (a,-,b), (b, a,-),(b, -a), (-a, b,), (-,b,a)｝，其中’-’表示空盒； A 二｛(ab,-,-)，(a,b,-)，(a, -, b), (b,a,-)，(b,-, a)｝。

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。

解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。