西安交通大学计算方法10年考试题

」、判断题：（共12分，每小题2分，正确的打（话,否则打（X ））1. 向量 X （X I ,X 2,X 3）T，则I Xi | I 2x 2 I 3x^1 是向量范数。

（）2. 若A 是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵，使唯一成立。

（ ）b3.形如 af(x)dxi nA i f （X i ）的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度1的次数为2n 1。

( )1 24.已知矩阵A1 3 ，则在范数意义下条件数Co nd （A ） 4。

—( )35.已知 f(x) Xx ，差商 f[0,m, n] 3.5 （ , , m,n 为实数），则f [m, n, 2] 1.5。

( )6.采用牛顿迭代求解方程x 26 0来计算 6的近似值，若以X 。

4作为初值，则该迭代序列｛X k ｝收敛到 6。

( )、填空题：（共28分，每小题4 分）1 0则|AX 42 1(A)1.向量X (1,-2)T,矩阵A2.设A 0.8°,则lim A k。

4 0.9 k3.为使函数f(x) JT万J X (x 1)的计算结果较精确，可将其形式改为4.设f(X) x2 2yx2 2x y ，则f (x)5.用等距节点的二次插值法求f(x) 的极小点的近似值为 _______________ ；x3 3x在［0,4］中的极小点，则第一次求出第一步删去部分区间后保留的搜索区间为:6.已知如下分段函数为三次样条，试求系数A,B,C :A 1 x2 x 1S(x) 2 2x 3 2 x2Bx3 1 x 02 2x Cx23 x 0 x 1则A= ，B= ，C=7.若用复化梯形公式计算1 1 dx，要求误差不超过10 4，则步长01 x三、（10分）线性方程组：2x x2X3 4x1 2x2X33X x22X3 5考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel 迭代解此方程组的收敛性;四、(10分)已知函数y f(x)的函数值、导数值如下:求满足条件的最低插值多项式及截断误差表示式。

计算方法（C）目录第1章绪论1.1 数值计算1.2 数值方法的分析1.2.1计算机上数的运算1.2.2算法分析第2章线性代数方程组2.1 Gauss消去法2.1.1消去法2.1.2主元消去法2.2 矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义2.2.2矩阵的LU分解及其应用2.2.3其他类型矩阵的分解2.2.4解三对角矩阵的追赶法2.3线性方程组解的可靠性2.3.1向量和矩阵范数2.3.2残向量与误差的代数表征2.4解线性方程组解的迭代法2.4.1基本迭代法2.4.2迭代法的矩阵表示2.4.3收敛性第3章数据近似3.1 多项式插值3.1.1插值多项式3.1.2Lagrange插值多项式3.1.3Newton插值多项式3.1.4带导数条件的插值多项式3.1.5插值公式的余项3. 2 最小二乘近似3.2.1 最小二乘问题的法方程3.2.2 正交化算法第4章数值微积分4.1 内插求积，Newton-Cotes公式4.1.1Newton-Cotes公式4.1.2复化求积公式4.1.3步长的选取4.1.4Romberg方法4.1.5待定系数法4.2数值微分4.2.1插值公式方法4.2.2Taylor公式方法(待定系数法)4.2.3外推法第5章非线性方程求解5.1 解一元方程的迭代法5.1.1简单迭代法5.1.2Newton法5.1.3割线法5.1.4区间方法5.2 收敛性问题5.2.1简单迭代——不动点5.2.2收敛性的改善5.2.3Newton法的收敛性5.2.4收敛速度第1章绪论1.1数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。

通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。

一、本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。

共5页第1页共5页第2页3、在相关分析中，要求相关的两个变量（）A.都是随机变量 B.都不是随机变量C.其中因变量是随机变量 D.其中自变量是随机变量4、抽样估计的优良标准是()A.无偏性B.一致性C.有效性D.代表性E.随机性5、据统计，某行业的平均利润率在6.1-10.8%之间，其置信度为95%，试判断下列说法中正确的有（）：A.有95%的企业利润率在6.1-10.8%之间；B.若随机抽取该行业许多样本，则其中95%的样本均值，即平均利润在6.1-10.8%之间；C ．有95%的把握说，从该行业的平均利润率会落在区间6.1-10.8%内；D ．随机抽取该行业的一个企业，有95%的把握说，其利润率在6.1-10.8%之间；6、用P 值进行双侧假设检验时，拒绝原假设的决策准则是（）A.P>α;B.P<α;C.P>α/2;D.P<α/2.7、用分布进行拟合优度检验时，要求各组的期望频数（）。

2χA.可取任意值； B.大于0； C.不小于10； D.不小于5。

8、在回归分析时，发生严重的多重共线会导致（）。

A ．对回归方程的F 检验显著，但关于回归系数的t 检验几乎都通不过；B ．对回归系数的估计偏误很大，甚至会使回归系数估计值的正负号与预期的相反；C ．反映模型拟合程度的判定系数的值变小；D ．用回归模型进行预测时，置信区间会变宽。

9、抽样误差是指（）。

Ａ、在调查过程中由于观察、测量等差错所引起的误差Ｂ、在调查中违反随机原则出现的系统误差Ｃ、随机抽样而产生的代表性误差Ｄ、人为原因所造成的误差10、某研究人员想要分析学历（高中以下，大专，本科，硕士研究生，博士研究生）与就业状况（失业，临时雇佣，长期雇佣）是否有关联时，适合的统计方法有（）。

A ．相关分析；B.列联分析；C.方差分析；D.回归分析。

三、计算分析题（共2题，第一题20分，第二题10分，共计30分）1.背景：Metropolitan Research 有限公司是一家消费者市场调查公司，在某一项研究中，Metropolitan 调查了消费者对某一制造商所生产汽车性能的满意程度。

1.计算以下和式：0142118184858616nn S n n n n ∞=⎛⎫=--- ⎪++++⎝⎭∑，要求： (1)若保留11个有效数字，给出计算结果，并评价计算的算法；(2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算。

（1）题目分析该题是对无穷级数求和，因此在使用matlab 进行累加时需要一个累加的终止条件。

这里令⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=681581482184161n n n n a nn ，则()()1.01616855844864816114851384128698161 681581482184161148113811282984161111<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=+++n n n n n n n n n n n n n n n n a a n n n n n n 故近似取其误差为1+≈k a ε，并且有m-1m -11102121⨯=⨯=≈+βεk a ，（2）算法依据使用matlab 编程时用digits 函数和vpa 函数来控制位数。

（3）Matlab 运行程序%%保留11位有效数字 k1=11;s1=0;%用于存储这一步计算值 for n=0:50a=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); n1=n-1;if a<=0.5*10^(1-k1) break end end;for i=0:1:n1t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)); s1=s1+t; ends11=vpa(s1,k1);disp('保留11位有效数字的结果为：');disp(s11); disp('此时n 值为：');disp(n1);%%保留30位有效数字 clear all; k2=30;digits(k2+2);s2=vpa(0);%用于存储这一步计算值for n=0:50a=vpa((1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)));n2=n-1;if a<=0.5*10^(1-k2)breakendend;for i=0:1:n2t=vpa((1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)));s2=vpa(s2+t);ends30=vpa(s2,k2);disp('保留30位有效数字的结果为：');disp(s30);disp('此时n值为：');disp(n2);2.某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。