西安交通大学计算方法B大作业资料

课程设计课程名称：数值计算B设计题目：数值计算B大作业学号：姓名:完成时间:题目一:多项式插值某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线,插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。

二、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式：）（））（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -⋯⋯-+⋯⋯+-++=αααα (1） 其中系数i α(i=0,1，2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =）（（i=0，1,2……n ）确定。

根据均差的定义，把x 看成[a,b ］上的一点，可得f(x)= f （0x ）+f ［10x x ，］（0x -x )f ［x ， 0x ］= f[10x x ，］+f ［x,10x x ，］ （1x -x ）……f[x ， 0x ，…x 1-n ]= f ［x, 0x ，…x n ］+ f ［x ， 0x ,…x n ］(x —x n ）综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f （x ）= f ［0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，］(0x -x ）(1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ](0x -x ）…（x —x 1-n ）+ f ［x ， 0x ，…x n ,x ］）（x 1n +ω= N n （x ）+）（x n R 其中N n （x ）= f[0x ］+f ［10x x ，]（0x -x ）+ f ［210x x x ，，］(0x -x ）（1x -x )+…+ f ［x ， 0x ，…x n ]（0x -x )…（x —x 1-n ） （2））（x n R = f （x)— N n (x ）= f ［x, 0x ，…x n ，x ]）（x 1n +ω (3） ）（x 1n +ω=（0x -x ）…(x —x n ）Newton 插值的系数i α（i=0，1，2……n ）可以用差商表示。

大学计算机根底习题答案〔西安交大〕大学计算机根底第1章引论习题参考答案习题一1．第一代计算机的主要部件是由〔电子管和继电器〕构成的。

2．未来全新的计算机技术主要指〔光子计算机〕，〔生物计算机〕和〔量子计算机〕。

3．按照Flynn分类法，计算机可以分为〔单指令流单数据流〕，〔单指令流多数据〕，〔多指令流单数据流〕和〔多指令流多数据流〕4种类型。

4．计算机系统主要由〔硬件系统〕和〔软件系统〕组成。

5．说明以下计算机中的部件是属于主机系统、软件系统、还是属于外部设备。

〔1〕CPU 〔主机系统〕〔2〕内存条〔主机系统〕〔3〕网卡〔主机系统〕〔4〕键盘和鼠标〔外设〕〔5〕显示器〔外设〕〔6〕Windows 操作系统〔软件系统〕6．控制芯片组是主板的的核心部件，它由〔北桥芯片〕局部和〔南桥芯片〕局部组成。

7．在计算机系统中设计Cache的主要目的是〔提高存去速度〕。

8．计算机各部件传输信息的公共通路称为总线，一次传输信息的位数称为总线的〔宽度〕。

9．PCIE属于〔系统〕总线标准，而SATA那么属于〔硬盘接口或外设〕标准。

10．在微机输入输出控制系统中，假设控制的外部设备是发光二极管，最好选用的输入输出方法是〔程序控制〕方式；假设控制的对象是高速设备，那么应选那么〔 DMA 〕控制方式。

11．操作系统的根本功能包括〔处理器管理或进程管理〕、〔文件管理〕、〔存储器管理〕、〔设备管理〕和用户接口。

12．虚拟存储器由〔主内存〕和〔磁盘〕构成，由操作系统进行管理。

13．CPU 从外部设备输入数据需要通过〔输入接口〕，向外设输出数据那么需要通过〔输出接口〕。

14．简述CPU从外部设备输入数据和向外设输出数据的过程。

请参见教材第18页关于输入输出过程的描述。

15．普适计算的主要特点是〔是一种无处不在的计算模式〕。

1大学计算机根底第1章引论习题二1．在计算机内，一切信息的存取、传输和处理都是以〔二进制码〕形式进行的。

计算方法B上机报告姓名：学号：班级：学院：任课教师：2017年12月29日题目一:1.1题目内容某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。

在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。

已探测到一组等分点位置的深度数据（单位:米）如下表所示：(1)请用合适的曲线拟合所测数据点；(2)估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图;1.2实现题目的思想及算法依据首先在题目(1)中要实现的是数据的拟合，显然用到的是我们在第三章中数据近似的知识内容。

多项式插值时，这里有21个数据点，则是一个20次的多项式，但是多项式插值随着数据点的增多，会导致误差也会随之增大，插值结果会出现龙格现象，所以不适用于该题目中点数较多的情况。

为了避免结果出现大的误差，同时又希望尽可能多地使用所提供的数据点，提高数据点的有效使用率，这里选择分段插值方法进行数据拟合。

分段插值又可分为分段线性插值、分段二次插值和三次样条插值。

由于题目中所求光缆的现实意义，而前两者在节点处的光滑性较差，因此在这里选择使用三次样条插值。

根据课本SPLINEM算法和TSS算法，采用第三种真正的自然边界条件，在选定边界条件和选定插值点等距分布后，可以先将数据点的二阶差商求出并赋值给右端向量d，再根据TSS解法求解三对角线线性方程组从而解得M值。

求出M后，对区间进行加密，计算200个点以便于绘图以及光缆长度计算。

对于问题(2)，使用以下的公式20f (x)2dxf'(x)2dx(x )ds1.3算法结构1. For i 0,1,2, , n12. x kelse i 1 kxx k1〜一〜h; x< x x; x x<13 x xh2h" 〜[M k 1 _ M k (y k 1 M k 1 )x (y k M k —)xVh y6 6 6 61.4 matlab 源程序n=20;x=O:n;y=[9.01 8.96 7.96 7.97 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.229.15 7.90 7.95 8.86 9.81 10.80 10.93];M=y; %用于存放差商，此时为零阶差商h=zeros(1, n+1);c=zeros(1, n+1);d=zeros(1, n+1);a=zeros(1, n+1);b=2*o nes(1, n+1);h(2)=x(2)-x(1);for i=2:n %书本110 页算法SPLINEMh(i+1)=x(i+1)-x(i);c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1));a(i)=1-c(i);enda(n +1)=-2; %计算边界条件c(0),a(n+1),采用的是第三类边界条件c(1)=-2;for k=1:3 %计算k阶差商for i=n+1:-1:k+1M(i)=(M(i)-M(i-1))/(x(i)-x(i-k));endif(k==2) %计算2阶差商d(2:n)=6*M(3:n+1); %给 d 赋值endif(k==3)d(1)=(-12)*h(2)*M(4); %计算边界条件d(0),d(n),采用的是第三类边界条件d( n+1)=12*h( n+1)*M( n+1);endendl=zeros(1, n+1);r=zeros(1, n+1);u=zeros(1, n+1);q=zeros(1, n+1);u(1)=b(1);r(1)=c(1);q(1)=d(1);for k=2:n+1 %利用书本49页算法TSS求解三对角线性方程组r(k)=c(k);l(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*r(k-1);q(k)=d(k)-l(k)*q(k-1);endp( n+1)=q( n+1)/u( n+1);for k=n :-1:1p(k)=(q(k)-r(k)*p(k+1))/u(k);endfprintf('三对角线性方程组的解为：');disp(p);%求拟合曲线x1=0:0.1:20; %首先对区间进行加密，增加插值点n1=10* n;x2=zeros(1, n1+1);x3=zeros(1, n1+1);s=zeros(1, n1+1);for i=1: n1+1for j=1: nif x1(i)>=x(j)&&x1(i)<=x(j+1) %利用书本111 页算法EVASPLINE 求解拟合曲线s(x)h(j+1)=x(j+1)-x(j);x2(i)=x(j+1)-x1(i);x3(i)=x1(i)-x(j);s(i)=(p(j).*(x2(i))A3/6+p( j+1).*(x3(i))A3/6+(y(j)-p(j).*((h(j+1))A2/6)).*x2(i)+…(y(j+1)-p(j+1).*(h(j+1))A2/6).*x3(i))/h(j+1);endendendplot(x,-y,'x') %画出插值点hold onplot(x1,-s) %画出三次样条插值拟合曲线hold ontitle('三次样条插值法拟合电缆曲线');xlabel('河流宽度/m');ylabel('河流深度/m');Len gth=0;for i=1: n1L=sqrt((x1(i+1)-x1(i))A2+(s(i+1)-s(i))A2); % 计算电缆长度Len gth=Le ngth+L;endfprintf('电缆长度(m)=');disp(Le ngth);图1. 1三次样条插值法拟合海底光缆曲线山舅 10 -0.70091,922& 0.8703 -山 24斫 0.3520 -0.9224 -1,8224电缆长 l(n)= 26.6656图1.2海底光缆长度结果铺设海底光缆的曲线如图1.1所示由上图可以看出，所得到的曲线光滑，能够较好得反映实际的河沟底部地势 形貌。

计算方法（A）大作业姓名：班级：专业：学号：共轭梯度法一、算法原理共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求解一个与之等价的二次函数极小化的问题，因此从任意给定的初始点出发，沿一组关于矩阵A的共轭方向进行线性搜索，在无舍入无差的假定下，最多迭代n(其中n为矩阵A的阶数）次就可求得二次函数的极小点，也就求得了线性方程组Ax=B的解。

下述定理给出了求系数矩阵A是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b的解与求二次函数f(x)=12x T Ax−b T x极小点的等价性。

定理3.4.1设A是n阶对称正定矩阵，则x∗是方程组Ax=b的解的充分必要条件是x∗是二次函数f(x)=12x T Ax−b T x的极小点，即Ax∗=b⟺f(x∗)=minx∈R nf(x)证明：充分性.设x∗是f(x)的极小点，则由无约束最优化问题最优解的必要条件知∇f(x∗)=Ax∗−b即x∗是方程组Ax=b的解。

必要性. 若x∗是方程组Ax=b的解，即A x∗=b，注意到A是对称正定矩阵，故∀x∈R n有f(x)−f(x∗)=12x T Ax−b T x−12x T Ax∗+b T x∗=12(x T Ax−2b T x+x∗T Ax∗)−x∗T Ax∗+b T x∗=12(x T Ax−2(Ax∗)T x+x∗T Ax∗)−(Ax∗−b)T x∗=12(x−x∗)T A(x−x∗)≥0即x∗是f(x)的极小点，进而由A是正定矩阵知，x∗是f(x)的最小点。

证毕。

共轭梯度法在形式上具有迭代法的特征，在给定初始值情况下，根据迭代公式：x(k+1)=x(k)+αk d(k)产生的迭代序列x(1),x(2),x(3)…在无舍入误差假定下，最多经过n次迭代，就可求得f(x) 的最小值，也就是方程Ax=b的解。

共轭梯度法中关键的两点是，确定迭代格式中的搜索向量d(k)和最佳步长αk （αk≥0）。

实际上，搜索方向d(k)是关于矩阵A的共轭向量，在迭代中逐步构造之。

计算方法B上机报告姓名：学号：班级：学院：任课教师：2017年12月29日题目一：1.1题目内容某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。

在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。

已探测到一组等分点位置的深度数据(单位:(1)(2)估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图；1.2 实现题目的思想及算法依据首先在题目（1）中要实现的是数据的拟合，显然用到的是我们在第三章中数据近似的知识内容。

多项式插值时，这里有21个数据点，则是一个20次的多项式，但是多项式插值随着数据点的增多，会导致误差也会随之增大，插值结果会出现龙格现象，所以不适用于该题目中点数较多的情况。

为了避免结果出现大的误差，同时又希望尽可能多地使用所提供的数据点，提高数据点的有效使用率，这里选择分段插值方法进行数据拟合。

分段插值又可分为分段线性插值、分段二次插值和三次样条插值。

由于题目中所求光缆的现实意义，而前两者在节点处的光滑性较差，因此在这里选择使用三次样条插值。

根据课本SPLINEM 算法和TSS 算法，采用第三种真正的自然边界条件，在选定边界条件和选定插值点等距分布后，可以先将数据点的二阶差商求出并赋值给右端向量d ，再根据TSS 解法求解三对角线线性方程组从而解得M 值。

求出M 后，对区间进行加密，计算200个点以便于绘图以及光缆长度计算。

对于问题（2），使用以下的公式:20=()L f x ds ⎰20(f x =⎰191(k kk f x +==∑⎰1.3 算法结构1. For n i ,,2,1,0⋅⋅⋅=1.1 i i M y ⇒2. For 2,1=k2.1 For k n n i ,,1, -=2.1.1 i k i i i i M x x M M ⇒----)/()(13. 101h x x ⇒-4. For 1-,,2,1n i =4.1 11++⇒-i i i h x x4.2 b a c c h h h i i i i i i ⇒⇒-⇒+++2;1;)/(11 4.3 i i d M ⇒+165. 0000;;c M d M d n n ⇒⇒⇒λn n n b a b ⇒⇒⇒2;;20μ6. 1111,γμ⇒⇒d b7. For m k ,,3,2 = ! 获取M 的矩阵元素个数，存入m7.1 k k k l a ⇒-1/μ 7.2 k k k k c l b μ⇒⋅-1- 7.3 k k k k l d γγ⇒⋅-1- 8. m m m M ⇒μγ/9. For 1,,2,1 --=m m k9.1 k k k k k M M c ⇒⋅-+μγ/)(110. k ⇒1 ! 获取x 的元素个数存入s 11. For 1,,2,1-=s i11.1 if i x x ≤~then k i ⇒；break else k i ⇒+112. xx x x x x h x x k k k k ˆ~;~;11⇒-⇒-⇒--- y h x h M y x h M y x M x M k k k k k k ~/]ˆ)6()6(6ˆ6[2211331⇒-+-++---1.4 matlab 源程序n=20; x=0:n;y=[9.01 8.96 7.96 7.97 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.22 9.15 7.90 7.95 8.86 9.81 10.80 10.93];M=y; %用于存放差商，此时为零阶差商 h=zeros(1,n+1); c=zeros(1,n+1); d=zeros(1,n+1); a=zeros(1,n+1); b=2*ones(1,n+1); h(2)=x(2)-x(1);for i=2:n %书本110页算法SPLINEM h(i+1)=x(i+1)-x(i);c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1)); a(i)=1-c(i); enda(n+1)=-2; %计算边界条件c(0),a(n+1),采用的是第三类边界条件 c(1)=-2;for k=1:3 %计算k 阶差商 for i=n+1:-1:k+1M(i)=(M(i)-M(i-1))/(x(i)-x(i-k)); endif(k==2) %计算2阶差商 d(2:n)=6*M(3:n+1); %给d 赋值 endif(k==3)d(1)=(-12)*h(2)*M(4); %计算边界条件d(0),d(n),采用的是第三类边界条件 d(n+1)=12*h(n+1)*M(n+1); end endl=zeros(1,n+1); r=zeros(1,n+1); u=zeros(1,n+1); q=zeros(1,n+1); u(1)=b(1); r(1)=c(1); q(1)=d(1);for k=2:n+1 %利用书本49页算法TSS求解三对角线性方程组r(k)=c(k);l(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*r(k-1);q(k)=d(k)-l(k)*q(k-1);endp(n+1)=q(n+1)/u(n+1);for k=n:-1:1p(k)=(q(k)-r(k)*p(k+1))/u(k);endfprintf('三对角线性方程组的解为：');disp(p);%求拟合曲线x1=0:0.1:20; %首先对区间进行加密,增加插值点n1=10*n;x2=zeros(1,n1+1);x3=zeros(1,n1+1);s=zeros(1,n1+1);for i=1:n1+1for j=1:nif x1(i)>=x(j)&&x1(i)<=x(j+1) %利用书本111页算法EVASPLINE求解拟合曲线s(x)h(j+1)=x(j+1)-x(j);x2(i)=x(j+1)-x1(i);x3(i)=x1(i)-x(j);s(i)=(p(j).*(x2(i)).^3/6+p(j+1).*(x3(i)).^3/6+(y(j)-p(j).*((h(j+1)).^2/6)).*x2( i)+...(y(j+1)-p(j+1).*(h(j+1)).^2/6).*x3(i))/h(j+1);endendendplot(x,-y,'x') %画出插值点hold onplot(x1,-s) %画出三次样条插值拟合曲线hold ontitle('三次样条插值法拟合电缆曲线');xlabel('河流宽度/m');ylabel('河流深度/m');Length=0;for i=1:n1L=sqrt((x1(i+1)-x1(i))^2+(s(i+1)-s(i))^2); %计算电缆长度Length=Length+L;endfprintf('电缆长度(m)=');disp(Length);1.5 结果与说明铺设海底光缆的曲线如图1.1所示图1. 1三次样条插值法拟合海底光缆曲线由上图可以看出，所得到的曲线光滑，能够较好得反映实际的河沟底部地势形貌。