3任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性 Word版含解析 2017-2018学年北师大数学必修④课时作业

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课时作业3 任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性

|基础巩固|(25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．cos－16π3的值为( )

A．－32 B.32

C.12 D．－12

解析：－163π的终边与23π的终边重合，

故cos－16π3＝cos2π3＝－12.

答案：D

2．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( )

A.45 B.35

C．－35 D．－45

解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝－42＋32＝5，故cosα＝xr＝－45＝－45，故选D.

答案：D

3．若sinα>0，cosα<0，则α的终边所在象限是( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：∵sinα>0，∴α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上．∵cosα<0，∴α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上，综上可知，α的终边在第二象限．

答案：B

4．若点P的坐标为(cos2 016°，sin2 016°)，则点P在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：因为2 016°＝5×360°＋216°，所以角2 016°的终边在第三象限，所以cos2 016°<0，sin2 016°<0，所以点P在第三象限．

答案：C

5．有下列命题：①存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数；②存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3 解析：①由周期函数的定义，可知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故不正确；

②由周期函数的定义可知T≠0，故不正确；

③若T为周期，则f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是周期，故不正确．

答案：A

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．已知角α为第二象限角，则sinα－cosα2化简的结果为________．

解析：因为角α为第二象限角，故sinα>0，cosα<0，因此sinα－cosα2＝|sinα－cosα|＝sinα－cosα.

答案：sinα－cosα

7．若α是第三象限角，则sin(cosα)·cos(sinα)________0.

解析：因为α是第三象限角，所以－1

所以sin(cosα)<0，cos(sinα)>0，

所以sin(cosα)·cos(sinα)<0.

答案：<

8．已知角α的终边过点(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈π2，π，则cosα＝________.

解析：因为θ∈π2，π，所以cosθ<0，

所以点(－3cosθ，4cosθ)到原点的距离r＝5|cosθ|＝－5cosθ，所以cosα＝－3cosθ－5cosθ＝35.

答案：35

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．

解析：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，

所以r＝5|a|，x＝a，y＝2a.

当a>0时，sinα＝yr＝2a5a＝255，cosα＝xr＝a5a＝55，tanα＝yx＝2aa＝2；

当a<0时sinα＝yr＝2a－5a＝－255，cosα＝xr＝a－5a＝－55，tanα＝yx＝2aa＝2.

10．判断下列各式的符号：

(1)sin340°·cos265°；

(2)sin3·cos4·cos－234π.

解析：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角．

所以sin340°<0，cos265°<0，所以sin340°·cos265°>0

(2)因为π2<3<π<4<32π

所以sin3>0，cos4<0 因为－234π＝－6π＋π4，

所以cos－234π>0

所以sin3·cos4·cos－234π<0

|能力提升|(20分钟，40分)

11．若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，则角α是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

解析：由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角．

由cosαtanα<0可知cosα，tanα异号，从而α是第三或第四象限角．

综上可知，α是第三象限角．

答案：C

12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝________.

解析：∵y＝3x，sinα<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，

且m<0，n<0，n＝3m.

∴|OP|＝m2＋n2＝10|m|＝－10m＝10.

∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.

13．计算：

(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；

(2)sin－7π2＋tanπ－2cos0＋tan9π4－sin7π3.

解析：(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝12＋12＋3×1－(－1)＝5.

(2)原式＝sin－4π＋π2＋tanπ－2cos0＋

tan2π＋π4－sin2π＋π3＝sinπ2＋tanπ－2cos0＋tanπ4－sinπ3＝1＋0－2＋1－32＝－32.

14．已知角θ的终边不在坐标轴上，且|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，试判断sinθcosθ＋tanθ的符号．

解析：由|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，得|sinθcosθ|＝－sinθcosθ.

因为角θ的终边不在坐标轴上，所以sinθcosθ<0.

所以tanθ<0，且sinθcosθ<0，所以sinθcosθ＋tanθ<0.

高中数学第一章三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 1.4.3 单位圆与诱导公式

1.4.3 单位圆与诱导公式

学习目标重点难点

1.借助单位圆中的正弦线、余弦线推导出终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，从而理解并记住周期函数的定义．

2．掌握π＋α、－α、π－α、π2－α、π2＋α等诱导公式．

3．能熟练运用诱导公式进行求值、化简、证明. 重点：对周期函数的定义的理解和应用．

熟练运用诱导公式进行求值、化简、证明．

难点：对周期函数的定义的理解和应用．

疑点：π＋α、－α、π－α、π2－α、π2＋α等诱导公式的探求思路、记忆及符号的判断.

1．单位圆与周期性

(1)终边相同的角的正、余弦函数

sin(2kπ＋x)＝______，k∈Z.

cos(2kπ＋x)＝______，k∈Z.

(2)周期函数与周期

一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有__________，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的______．

(3)最小正周期

对于一个____函数f(x)，如果在它的所有____中存在一个_______，那么这个________就叫做它的最小正周期．

预习交流1

是否所有周期函数都有最小正周期？并举例说明．

2．单位圆与诱导公式

(1)诱导公式(函数名称不变)

sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α.(k∈Z)

sin(－α)＝______，cos(－α)＝______.

sin(2π－α)＝______，cos(2π－α)＝______.

sin(π－α)＝______，cos(π－α)＝______.

sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝______.

文字概括：

2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

(2)诱导公式(函数名称改变)

sinπ2＋α＝______，cosπ2＋α＝______. sinπ2－α＝______，cosπ2－α＝______.

三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。

1.正弦函数定义：

在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。因此正弦函数的定义可以表示为：

sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y

2.余弦函数定义：

同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。因此余弦函数的定义可以表示为：

cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x

正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。

接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：

3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：

sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα

但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：

sinθ = -sinα

4.余弦函数的诱导公式：

同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：

cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα

优化方案高中数学第一章三角函数 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4.2单位圆与周

1 §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4．2 单位圆与周期性

, )

1．问题导航

(1)角α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？

(2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？

(3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？

2．例题导读

P15例1.通过本例学习，学会根据角α的终边上一点的坐标，求角α的三角函数值．

试一试：教材P23习题1－4 A组T1你会吗？

P15例2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的交点坐标．

试一试：教材P17练习T4你会吗？

1．任意角的正弦、余弦函数的定义

如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α． 2

对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．

2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号

象限

三角函数

第一象限第二象限第三象限第四象限

sin α ＋＋－－

cos α ＋－－＋

注：按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．

3．终边相同的角的正、余弦函数

(1)公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；

cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.

(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．

4．周期函数

(1)定义：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．