任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性(北师大版)

第1课时 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性[核心必知]1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义称为单位圆．，为半径的圆单位长为圆心，以原点以，单位圆的定义：在直角坐标系中(1) (2)正弦、余弦函数的定义：O 终边与单位圆，重合正半轴轴x 始边与，其顶点与原点重合，是任意角α设，如图所示u横坐标的P ；点α_sin ＝v 记作，的正弦函数α叫作角v 纵坐标的P 那么点，)v ，u (P 交于点．α_cos ＝u 记作，的余弦函数α叫作角 (3)正弦、余弦函数的定义域，值域：通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任．]1，1－[值域为，R 它们的定义域为．x _cos ＝y 和x _sin ＝y 意角三角函数 (4)正弦函数、余弦函数值的符号象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限sin α ＋ ＋ － － cos α＋－－＋ (1)周期函数)T ＋x (f 都有，值x 任意一个对定义域内的，T 非零常数如果存在，)x (f 对于函数，一般地称为这个函数的周期．T ，为周期函数)x (f 则称，)x (f ＝ ，是正弦函数、余弦函数的周期)0≠k ，Z ∈k (πk 2，数是周期函数正弦函数、余弦函(2) ．最小正周期称为，是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个π2其中(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系；)Z ∈k (α_sin ＝)πk 2＋α(sin ① ．)Z ∈k (α_cos ＝)πk 2＋α(cos ② [问题思考]是2π3那么能否说明，是否成立？如果这个式子成立°sin 30＝)°120＋°(30sin 等式．1正弦函数y ＝sin x 的周期？的周x sin ＝y 是2π3但不能说，成立12＝°sin 30＝°sin 150提示：根据三角函数的定义期，在周期函数定义中，对每一个x 都有f (x ＋T )＝f (x )，则T 是周期，而等式sin(x ＋120°)＝sin x ，不是对任意的x 成立．如x ＝0°时sin 120°≠sin 0°.2．公式sin(2k π＋x )＝sin x ，k ∈Z ；cos(2k π＋x )＝cos x ，k ∈Z ，揭示了什么规律，有什么作用？提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．讲一讲1．已知角α的终边在射线y ＝2x (x ＞0)上，求角α的正弦值和余弦值．[尝试解答] 法一：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，，1＝2y ＋2x ．又因为0)＞x (x 2＝y 则 .55＝x ＝αcos ，255＝y ＝αsin 于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255，所以 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x ＞0)，则，|x |5＝x2＋4x2＝x2＋y2＝OP .x 5＝OP 所以，0＞x 又因为；255＝y 5x ＝y x2＋y2＝αsin 所以 .55＝x 5x ＝x x2＋y2＝α cos求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法： (1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义．(2)利用正、余弦函数定义的推广：若P (x ，y )是角α终边上的任意一点，则sin α＝x x2＋y2.＝αcos ，y x2＋y2练一练1．[多维思考] 本讲中，把“射线y ＝2x (x >0)”改为“直线y ＝2x ”，求sin α，cosα.解：设直线y ＝2x 与单位圆的交点为P (x ，y )．)255－，55－(或)255，55(P 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x2＋y2＝1，则 ；55＝αcos ，255＝αsin 则，)255，55(P ，时>0x 当 ，)255－，55－(P ，时<0x 当 .55＝－αs co ，255＝－αsin 则讲一讲2．(1)判断符号：sin 340°cos 265°；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． [尝试解答] (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0.∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵sin 2α>0，∴2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， ．)Z ∈k (π2＋πk <α<πk ∴ 当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，；)Z ∈m (π2＋πm 2<α<πm 2有 当k 为奇数时，设k ＝(2m ＋1)(m ∈Z )． ．)Z ∈m (3π2＋πm <2α<π＋πm 2有 ∴α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x 轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y 轴的右侧时，cos α>0.2．对于确定角α所在象限的问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．进行分类讨论．k 所在象限时应对θ确定)Z ∈k (π2＋πk <θ<πk 由．3 练一练2．已知sin αcos α<0，试写出角α所适合的集合．解：∵sin αcos α<0.⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，cos α>0.或⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，∴ ∴α是第二或第四象限的角．.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪kπ＋π2<α<kπ＋π，k∈Z 的集合为α角∴讲一讲3．求下列三角函数值． (1)cos(－1 050°)；；⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4sin (2) ．)°sin 1 110(42(3)log [尝试解答] (1)∵－ 1 050°＝－3×360°＋30°，∴－1 050°的角与30°的角终边相同．.32＝°cos 30＝°1 050)－(cos ∴，π4＋π4×2＝－31π4－(2)∵ 的终边相同．π4与角31π4角－∴ .22＝π4sin ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4sin ∴ ，12＝°sin 30＝)°30＋°(3×360sin ＝°sin 1 110(3)∵ 1.＝22log ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×42log ＝°4sin 1 1102log ∴利用公式sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x ，k ∈Z ，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．一般步骤是：(1)把角β写成β＝2k π＋α(k ∈Z )形式；(2)求出角α的正弦或余弦；(3)得到角2k π＋α(k ∈Z )的正弦或余弦．练一练3．求下列三角函数值．.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π6cos (2)；)°1 020－(sin (1) 解：(1)∵－1 020°＝－3×360°＋60°， ∴－1 050°的角与60°的角的终边相同．.32＝°sin 60＝)°1 050－(sin ∴ ，π6＋π3×2＝－π6＋36π6＝－35π6－(2)∵ 角的终边相同；π6角的终边和35π6－∴ .32＝π6cos ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π6cos ∴已知角α的终边落在直线y ＝－3x 上，求2sin α＋3cos α的值．[错解一] 取直线上一点(1，－3)，则sin α＝－3，cos α＝1，∴2sin α＋3cos α＝2×(－3)＋3×1＝－3.⎝ ⎛1010，与单位圆的交点x 3＝－y 取直线 ]错解二[⎭⎪⎫－31010，1010＝αcos ，－31010＝αsin 得 .31010＝－αcos 3＋α2sin ∴ [错因] 错解一，犯了两个错误，一是对正、余弦函数的定义理解有误．定义中的(x ，y )须是α终边与单位圆的交点坐标，不是任意点。

北师大版数学必修四：《任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义,并能简单应用.在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角α,它的终边与圆交于点P(a,b),则比值叫作角α的 ,记作:sin α=;比值叫作角α的 ,记作:cos α=,r= .当r=1时,任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P 的纵坐标b是的函数,称为函数,记作: ;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作: .通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为 ,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为 ,余弦函数值有时也叫余弦值.问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值 ,即若β=α+2kπ(k∈Z),则sin α sin β,cos α cos β.问题3:正、余弦函数值的符号 (1)表格表示象限第一象限三角函数sin α cos α 第二象限第三象限第四象限问题4:周期函数的有关概念(1)一般地,对于函数f(x),如果存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有 ,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的 .(2)正弦函数、余弦函数是周期函数, 为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为 .1.若sin α<0,cos α>0,则α的终边(不含端点)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知角α的终边经过点(-6,8),则cos α的值为( ).A.-B.C.-D.3.若点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是 .4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离,设分针长为r cm).判断正弦、余弦函数值的符号判断下列各式的符号. (1)cos(-345°); (2)sin 175° cos 248°.周期函数的证明已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.利用正弦函数、余弦函数的定义求值已知角α的终边在直线y=-x上,求cos α-的值.若角α的终边落在直线y=-x上,求+的值.若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。