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正弦余弦的诱导公式正弦和余弦的诱导公式是三角函数中非常重要的两个公式，它们描述了两个角的正弦和余弦之间的关系。
通过这些公式，我们可以使用已知角的正弦或余弦来求解其他角度的正弦和余弦值，从而在三角函数中起到了非常关键的作用。
首先，我们先来看正弦的诱导公式。
对于一个角度为θ的三角形，假设角θ的对边长度为b，斜边长度为c。
根据三角形的定义可以知道：sin(θ) = b/c接下来我们使用勾股定理，即c²=a²+b²，其中a表示角度为θ的三角形的邻边长度。
将c²=a²+b²代入上式，可以得到：sin(θ)= b/√(a² + b²)我们知道，正弦函数是一个周期性函数，且满足-sin(θ) = sin(180° + θ)。
因此，对于角度大于90°的情况，可以通过此公式来计算正弦值。
根据逆三角函数的定义，我们还可以推导出：sin(180° - θ) = sin(θ)这就是正弦的诱导公式，它描述了正弦函数的周期性和对称性。
接下来，我们来看余弦的诱导公式。
同样考虑一个角度为θ的三角形，对于角度大于90°的情况，我们可以使用余弦函数来表示。
余弦函数定义为：cos(θ) = a/c假设角θ的邻边长度为a，斜边长度为c。
利用勾股定理可以得到：cos(θ) = a/√(a² + b²)由余弦函数的周期性和对称性，我们可以推导出：cos(-θ) = cos(θ)cos(180° - θ) = -cos(θ)cos(180° + θ) = -cos(θ)这些公式描述了余弦函数的周期性和对称性。
通过正弦和余弦的诱导公式，我们可以求解其他角度的正弦和余弦值。
例如，对于sin(30°)，我们可以使用sin(90° - 30°) = sin(60°) = √3/2来求解。
三角函数高中数学诱导公式大全三角函数是高中数学中的重要内容，它与三角形的关系密切，广泛应用于各个学科中。
掌握三角函数的诱导公式对于解决各种问题是非常有帮助的。
下面我们就来详细介绍一些三角函数的诱导公式。
1.正弦函数的诱导公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)2.余弦函数的诱导公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBcos2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2AcosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)3.正切函数的诱导公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)tanA + tanB = sin(A + B) / (cosAcosB)tanA - tanB = sin(A - B) / (cosAcosB)4.余切函数的诱导公式：cot(A + B) = (cotAcotB - 1) / (cotB + cotA)cot(A - B) = (cotAcotB + 1) / (cotB - cotA)cot2A = cot^2A - 2cotA / (cot^2A - 1)cotA + cotB = cotAcotB - 1 / (cotA + cotB)cotA - cotB = cotAcotB + 1 / (cotB - cotA)这些诱导公式可以帮助我们在计算三角函数的复杂表达式时，将其化简为更简洁的形式。
三角函数的诱导公式和和差公式三角函数是数学中常用的一类函数，其中最为基础和重要的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数运算和计算问题时，经常会用到诱导公式和和差公式，它们是将一个角的三角函数表达式化简为另外一个角的三角函数表达式的重要工具。
本文将介绍三角函数的诱导公式和和差公式的定义和使用方法，并通过实例加以说明。
一、诱导公式1. 正弦函数和余弦函数的诱导公式对于任意角θ，根据单位圆的定义可知，在单位圆上有一点P(x,y)对应着角θ的弧度值，其中x和y分别为点P的横坐标和纵坐标。
根据正弦函数sinθ的定义可得sinθ = y同样，根据余弦函数cosθ的定义可得cosθ = x考虑到单位圆上的对称性，对于角θ而言，将角θ绕原点旋转π/2（即90°）可以得到一个新角θ + π/2。
根据单位圆的性质，新角对应的点Q(x',y')的坐标为（-y,x）。
由此可以得到，对于角θ而言，正弦函数sin(θ + π/2)和余弦函数cos(θ + π/2)有如下关系：si n(θ + π/2) = y' = -xcos(θ + π/2) = x' = y这就是正弦函数和余弦函数的诱导公式。
2. 正切函数的诱导公式正切函数tanθ的定义为tanθ = sinθ / cosθ根据正弦函数和余弦函数的诱导公式，可以得到：tan(θ + π/2) = sin(θ + π/2) / cos(θ + π/2)= -x / y由此可以推导出正切函数的诱导公式。
二、和差公式1. 正弦函数的和差公式对于两个角α和β，正弦函数sin(α ± β)的和差公式可以表示为：sin(α ± β) = sinα × cosβ ± cosα × sinβ2. 余弦函数的和差公式对于两个角α和β，余弦函数cos(α ± β)的和差公式可以表示为：cos(α ± β) = cosα × cosβ ∓ sinα × sinβ3. 正切函数的和差公式对于两个角α和β，正切函数tan(α ± β)的和差公式可以表示为：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα × tanβ)三、实例应用下面通过具体的实例应用来说明诱导公式和和差公式的使用。
三角函数的诱导公式与恒等变换三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在学习三角函数时，了解三角函数的诱导公式和恒等变换可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
本文将介绍三角函数的诱导公式和恒等变换，并探讨其在解题中的应用。
一、诱导公式1. 正弦函数的诱导公式我们知道，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将正弦函数表示为cosine的形式，即sinθ = √(1 - cos²θ)。
进一步地，我们可以应用勾股定理将正弦函数表示为另外两个三角函数的形式。
勾股定理指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
假设直角边a是对边，直角边b是邻边，斜边c是hypotenuse。
则a/hypotenuse = sinθ，b/hypotenuse = cosθ。
根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式sinθ = cos(90° - θ)。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将余弦函数表示为sine 的形式，即cosθ = √(1 - sin²θ)。
同样地，根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式cosθ =sin(90° - θ)。
3. 正切函数的诱导公式正切函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。
利用正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到正切函数的诱导公式tanθ = sinθ/cosθ。
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式是数学中关于三角函数之间的一组等式，通过这组等式可以在不依赖计算器或表格的情况下直接计算出一些角度的三角函数值，从而简化计算。
诱导公式的基本思想是通过将一个角度的三角函数转化为另一个角度的三角函数来求解。
一、正弦和余弦的诱导公式：根据正弦函数和余弦函数的定义，对于任意角度θ，有：sin θ = y/rcos θ = x/r其中，x，y，r代表直角三角形中的边长。
利用勾股定理可以得到x²+y²=r²。
现在考虑角度θ+90°，即sin(θ+90°)和cos(θ+90°)的值。
根据正弦函数和余弦函数的定义，有：sin(θ+90°) = y’/rcos(θ+90°) = x’/r其中，x’，y’，r由右边角相等可知。
然后考虑直角三角形中的边长关系：y’=xx’=-y(由右边角相等，即90°+(-θ))代入sin(θ+90°)和cos(θ+90°)，得到：sin(θ+90°) = x/r，即sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -y/r，即cos(θ+90°) = -si nθ得到正弦的诱导公式：sin(θ+90°) = cosθ；得到余弦的诱导公式：cos(θ+90°) = -sinθ。
利用这两个诱导公式，我们可以在计算中互相转化正弦和余弦的值。
二、正切和余切的诱导公式：正切和余切的定义是：tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θ。
根据正弦和余弦的诱导公式，我们可以得到：sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -sinθ。
将这两个式子带入正切和余切的定义，有：tan(θ+90°) = sin(θ+90°) / cos(θ+90°) = cosθ / (-sinθ) = -cotθcot(θ+90°) = cos(θ+90°) / sin(θ+90°) = (-sinθ) /cosθ = -tanθ。
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
三角函数的诱导公式解析与应用三角函数是数学中常见且重要的函数之一，在解决几何问题以及物理、工程等实际应用中扮演着重要的角色。
在三角函数的学习过程中，诱导公式是我们必须要掌握和应用的一部分内容。
本文将对三角函数的诱导公式进行解析，并探讨其在数学和实际应用中的具体应用。
一、三角函数的诱导公式解析1. 正弦函数的诱导公式正弦函数是三角函数中最为常见的函数之一，其诱导公式为：sin(x ± π) = sin(x)cos(π) ± cos(x)sin(π)根据诱导公式，我们可以得出几个重要的结论：- sin(x + π) = -sin(x)- sin(x - π) = -sin(x)- sin(x + 2π) = sin(x)- sin(x - 2π) = sin(x)这些结论表明，通过加减π或2π，正弦函数的值可以保持不变或者取负值。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数，其诱导公式为：cos(x ± π) = cos(x)cos(π) ∓ sin(x)sin(π)同样地，根据诱导公式，我们可以得出以下结论：- cos(x + π) = -cos(x)- cos(x - π) = -cos(x)- cos(x + 2π) = cos(x)- cos(x - 2π) = cos(x)3. 正切函数的诱导公式正切函数是三角函数中较为特殊的函数，其诱导公式为：tan(x ± π) = (tan(x) ± tan(π)) / (1 ∓ tan(x)tan(π))其中，tan(π) = 0，因此可以得到以下结论：- tan(x + π) = tan(x)- tan(x - π) = tan(x)- tan(x + 2π) = tan(x)- tan(x - 2π) = tan(x)二、三角函数的诱导公式应用1. 几何问题中的应用三角函数的诱导公式在解决几何问题中有着广泛的应用。
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。
它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。
首先，我们来看正弦函数的定义。
对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。
也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。
接下来，我们来看余弦函数的定义。
与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。
也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。
点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。
接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。
首先，我们来看正弦函数的诱导公式。
对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。
这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。
根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。
如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。
根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。
三角函数的诱导公式三角函数是数学中一类重要的函数，它们广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
而三角函数的诱导公式是三角函数之间的一组等式，可以帮助我们将一个三角函数的表达式转换成其他三角函数的表达式，从而简化计算和推导的过程。
本文将讨论和介绍常见的三角函数的诱导公式。
一、正弦函数与余弦函数的诱导公式正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是最基本的三角函数，它们之间存在一组重要的诱导公式。
这些公式可以根据正弦函数和余弦函数在单位圆上的定义推导得出。
1.1 正弦函数的诱导公式：正弦函数的诱导公式可以通过以下等式推导得出：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)其中，a和b为任意实数。
这个等式表明，正弦函数的和差可以通过正弦函数和余弦函数的乘积来表示。
1.2 余弦函数的诱导公式：余弦函数的诱导公式可以通过以下等式推导得出：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)同样地，a和b为任意实数。
这个等式表明，余弦函数的和差可以通过余弦函数和正弦函数的乘积来表示。
二、正切函数与余切函数的诱导公式正切函数(tan)和余切函数(cot)也是常用的三角函数，它们之间存在一组诱导公式，可以通过正弦函数和余弦函数的诱导公式推导得出。
2.1 正切函数的诱导公式：正切函数的诱导公式可以通过以下等式推导得出：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))其中，a和b为任意实数。
这个等式表明，正切函数的和差可以通过正切函数的差商来表示。
2.2 余切函数的诱导公式：余切函数的诱导公式可以通过以下等式推导得出：cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(b) ± cot(a))同样地，a和b为任意实数。
第2讲 任意角的正弦函数与余弦函数考点1任意角的正弦函数与余弦函数考法1一般式定义任意角的正弦函数与余弦函数设α是一个任意大小.的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(,)x y ，设点P 与原点的距离为r（0r =>），则sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 1．（2014·全国大纲卷）以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45- 2．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边在射线3y x =- （0x ≤）上，则sin α= ，cos α= .考法2单位圆定义任意角的正弦函数与余弦函数 令1r OP ==，则0sin y α=，0cos x α=.1．已知角α的终边与单位圆的交点为1()2Q ，则sin α= ，cos α= . 2．已知角α的终边上一点(1,2)P -，则sin α= ，cos α= ；角α的终边与单位圆的交点Q 的坐标为 .3．已知角α的终边上一点(,)P m n ，则sin α= ，cos α= ；角α的终边与单位圆的交点Q 的坐标为 .4．点P 从点(1,0)A 出发，沿单位圆按逆时针方向运动56π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为A ．1(2-B ．1(,2-C ．1()2D ．1()2- 考点2定义的应用考法1直接用三角函数的定义求值1．（2007·全国卷Ⅱ·理科）sin 210=A ．2B ．2-C ．12D ．12- 2．（2007·全国卷Ⅱ·文科）cos330=A ．12B ．12- C ．2 D ．2- 考法2已知一个角的某一个三角函数值求其余三角函数值考向1已知正弦函数值，求余弦函数值1.（2013·全国大纲卷·文科）已知a 是第二象限角，5sin 13a =，则cos a = A.1213- B.513- C.513 D.1213 考向2已知余弦函数值，求正弦函数值1．已知4cos 5α=，并且α是第四象限的角，则sin α的值等于 A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 考法3正弦函数值、余弦函数值的符号及应用1．sin1sin 2sin3sin 4⋅⋅⋅的符号是A.正B.负C.0D.不确定2．若α为第二象限的角，则点(sin ,cos )P αα在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（2001·全国卷）若sin cos 0αα⋅>，则α在A.第一象限或第三象限B.第二象限或第三象限C.第一象限或第二象限D.第二象限或第四象限4.（2020·全国卷Ⅱ·理科）若α为第四象限的角，则A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<5．若sin cos 0αα⋅<，sin cos αα<，则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6．若点(sin cos ,sin cos )P θθθθ+位于第二象限，那么角θ所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.（1990·全国卷改编）函数cossinsin cosyαααα=+的值域为 .考法4能力提高1．以角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若(,4)P b-为角α的终边上一点，且3cos5α=-，则b= .2．（2011·江西卷·文科）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若(4,)P y是角θ终边上一点，且sin5θ=-，则y= .3．（1994·上海卷）角α是第二象限的角，其终边上一点(P x，且cos4xα=，则sinα= .4．已知角α的终边上一点的坐标为22(sin,cos)33ππ，则角α的最小正角为A.56πB.23πC.53πD.116π第2讲 单位圆与诱导公式考点1诱导公式组一口诀：函数名不变，符号看象限.考法1 ①sin(2)sin k παα+=， ②cos(2)cos k παα+=．1． ①求值：sin 390= ；②cos 420= .2．（2016·四川卷·文科）sin 750= . 12 考法2 ①sin()sin αα-=-， ②cos()cos αα-=．1．如图，角α的终边与单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为 ，角α-的终边与单位圆的交点为Q ，则点Q 的坐标为 .角α-的终边与角α的终边关于x 轴对称，即点P 与点Q 关于x 轴对称，则sin()α-= ，cos()α-= .2.（2008·陕西卷·文科）sin330︒等于 BA.．12- C ．12 D3.（2010·大纲全国卷·文科）cos300= AA ．12B ．12- C．-4．函数()sin f x x =是 （奇偶性）；函数()cos f x x =是 （奇偶性）.5．（2008·福建卷·理科）函数3()sin 1f x x x =++（x R ∈），若()2f a =，则()f a -的值为A ．3B ．0C ．1-D ．2- 考法3 ①sin()sin παα+=-， ②cos()cos παα+=-．1．如图，角α的终边与单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为 ，角πα+的终边与单位圆的交点为Q ，则点Q 的坐标为 .点P 与点Q 关于原点对称，则sin()πα+= ，cos()πα+=.1．（2007·全国卷Ⅱ·理科）sin 210= DA ．2B ．2-C ．12D ．12- 2.cos585的值为A.2-B.2C.2-D.2 考法4 ①sin()sin παα-=， ②cos()cos παα-=-．1．求值：①sin150= ； ②cos120= .2．已知sin()42πθ+=，则3sin()4πθ-= C A.12 B.12- C.2 D.2- 3．已知sin()3πθ-=，则2sin()3πθ-= D A.12 B.12- D.4．已知cos()6πθ-=5cos()cos()66ππθθ+--= . 5．已知角A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，求证：（Ⅰ）sin()sin A B C +=；（Ⅱ）cos()cos A B C +=-.π考点2 诱导公式组二口诀：函数名称变，符号看象限．考法1 ①sin()cos 2παα-= ②cos()2πα-= 1．求值：①sin30cos60=； ②cos30sin 60=. 2．已知1sin()32πα-=，则cos()6πα+= ； 3．已知角A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，求证： （Ⅰ）sin cos 22A B C += （Ⅱ）cos sin 22A B C += 考法2 ①sin()2πα-= ； ②cos()2πα-= . 1．若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值为 A.π B.2π- C.4π- D.8π- 考法3 ①sin()2πα+= ； ②cos()sin 2παα+=-. 1．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()2πα+= . 考点3诱导公式的综合应用1．已知()sin f x x =，则下列式子成立的是A.()sin f x x π+=B.(2)sin f x x π-=C.()cos 2f x x π-=- D.()()f x f x π-=- 2．已知函数()cos 2x f x =，则下列等式成立的是 A.(2)()f x f x π-= B.(2)()f x f x π+= C.()()f x f x -=- D.()()f x f x -= 3．已知11sin(2)cos()cos()cos()22()92sin(3)sin()sin()2f πππαπααααππαπαα-++-=+--+. （Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）若254πα=-,求()f α的值.。
三角函数诱导公式及其应用三角函数的诱导公式是指通过已知的三角函数关系，推导出其他三角函数的关系式。
这些公式的推导可以通过几何图像、特殊角、复数等多种方式进行。
三角函数的诱导公式在数学和物理学等领域中具有广泛的应用，特别是在解决三角函数相关的方程和等式中起到重要的作用。
首先，我们来介绍常见的三角函数诱导公式及其推导。
1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：根据单位圆上的定义，假设角A对应的点坐标为（x,y），则有：x = cos(A)y = sin(A)设角B对应的点为（-y,x），根据单位圆上的定义，可得：-x = cos(B)-y = sin(B)根据单位圆上对称性的特点，可知B=A+90°，即cos(B) = cos(A + 90°) = -sin(A)sin(B) = sin(A + 90°) = cos(A)由此得到正弦函数和余弦函数的诱导公式：sin(A + 90°) = cos(A)cos(A + 90°) = -sin(A)2.正切函数的诱导公式：根据正切函数的定义：tan(A) = sin(A) / cos(A)将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，可得：tan(A + 90°) = sin(A + 90°) / cos(A + 90°) = cos(A) / -sin(A) = -cot(A)由此得到正切函数的诱导公式：tan(A + 90°) = -cot(A)3.余切函数的诱导公式：根据余切函数的定义：cot(A) = cos(A) / sin(A)将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，可得：cot(A + 90°) = cos(A) / sin(A) = -tan(A)由此得到余切函数的诱导公式：cot(A + 90°) = -tan(A)这些是三角函数的一些常见的诱导公式，我们可以通过这些公式导出其他三角函数的关系式。
三角函数的诱导公式与正弦定理三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将重点介绍三角函数的诱导公式和正弦定理。
一、三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式是将一个三角函数表示为不同角度三角函数的关系式。
其中最常用的诱导公式有以下几个：1. 正弦函数的诱导公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ2. 余弦函数的诱导公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ3. 正切函数的诱导公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)这些诱导公式非常有用，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而方便计算和分析。
二、正弦定理正弦定理是三角学中的重要定理之一，它描述了一个三角形的边长和角度之间的关系。
对于任意三角形ABC，其三边长度分别为a、b和c，对应的内角为A、B和C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a/sinA表示边长a与角A对应的正弦比的比值，b/sinB和c/sinC同理。
正弦定理可以用来求解各种三角形问题，如已知三边长度求角度，已知两边和夹角求第三边长度等。
通过正弦定理，我们可以推导出许多有用的三角形性质和公式，从而在实际问题中应用。
结语三角函数的诱导公式和正弦定理是数学中不可或缺的重要内容。
它们的应用不仅仅局限于纯粹的数学领域，还涉及到物理、工程、地理等各个领域。
掌握了这些定理和公式，我们能更好地理解和解决与三角函数有关的问题。
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三角函数诱导公式大全三角函数是数学中重要的一类函数，由于其广泛应用于几何、物理、工程等领域，深受学生和研究人员的关注。
三角函数的诱导公式是求解三角函数值的重要方法，它们能够将某些特定角度的三角函数值转化为其他角度的三角函数值。
本文将介绍三角函数诱导公式的常见形式和应用。
一、基本诱导公式：1. 正弦函数的诱导公式：已知角α，β满足α+β=π/2，则sinα = cosβ。
例如：sin30° = cos(90°-30°) = cos60° = 1/2。
2. 余弦函数的诱导公式：已知角α，β满足α+β=π/2，则cosα = sinβ。
例如：cos45° = sin(90°-45°) = sin45° = 1/√2。
3. 正切函数的诱导公式：已知角α，β满足α+β=π/4，则tanα = cotβ。
例如：tan30° = cot(45°-30°) = cot15°。
4. 余切函数的诱导公式：已知角α，β满足α+β=π/4，则cotα = tanβ。
例如：cot60° = tan(90°-60°) = tan30° = 1/√3。
二、倍角诱导公式：1. 正弦函数的倍角诱导公式：sin2α = 2sinαcosα。
例如：sin60° = 2sin30°cos30° = 2×(1/2)×(√3/2) = √3/2。
cos2α = cos²α - sin²α。
例如：cos60° = cos²30° - sin²30° = (√3/2)² -(1/2)² = 1/4。
3. 正切函数的倍角诱导公式：tan2α = (2tanα) / (1 - tan²α)。
三角函数的诱导公式与应用三角函数是数学中非常重要的概念，广泛应用于物理、工程等领域。
为了推导和简化三角函数之间的关系，人们发现了许多有用的公式，称之为三角函数的诱导公式。
本文将介绍三角函数的诱导公式以及其应用。
一、正弦函数与余弦函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式正弦函数的诱导公式是通过将一个角的正弦函数表示成另一个角的正弦函数来简化计算。
假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：sin(A) = sin(π/2 - B) = cos(B)通过正弦函数的诱导公式，我们可以将一个角的正弦函数转化为另一个角的余弦函数。
这在计算中十分有用。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的诱导公式是通过将一个角的余弦函数表示成另一个角的余弦函数来简化计算。
同样假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：cos(A) = cos(π/2 - B) = sin(B)通过余弦函数的诱导公式，我们可以将一个角的余弦函数转化为另一个角的正弦函数。
这在解决问题时非常有用。
二、正切函数的诱导公式与倒数公式1. 正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式是通过将一个角的正切函数表示成其他两个角的正切函数之商来简化计算。
假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：tan(A) = tan(π/2 - B) = 1/tan(B)通过正切函数的诱导公式，我们可以将一个角的正切函数表示成其他两个角的正切函数之商。
这在解决实际问题时非常有用。
2. 正切函数的倒数公式正切函数的倒数公式是通过将一个角的正切函数的倒数表示成该角的余切函数来简化计算。
假设有一个角A，那么有以下倒数公式：1/tan(A) = cot(A)通过正切函数的倒数公式，我们可以将正切函数的倒数转化为余切函数，进一步简化计算。
三、三角函数的应用三角函数的诱导公式在物理、工程等领域有着广泛的应用。
高中三角函数公式及诱导公式大全以下是高中三角函数公式及诱导公式的大全：1.三角函数的基本关系：•正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边•余弦函数（cos）：cosθ = 邻边/斜边•正切函数（tan）：tanθ = 对边/邻边2.三角函数的诱导公式：•正弦函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ•余弦函数的诱导公式：cos(-θ) = cosθ•正切函数的诱导公式：tan(-θ) = -tanθ•正弦函数的互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθ•余弦函数的互余公式：cos(π/2 - θ) = sinθ•正切函数的互余公式：tan(π/2 - θ) = 1/tanθ3.三角函数的和差公式：•正弦函数的和差公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ•余弦函数的和差公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ•正切函数的和差公式：tan(θ ± φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓tanθtanφ)4.三角函数的倍角公式：•正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ•余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ•正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)5.三角函数的半角公式：•正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]•余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]•正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]6.三角函数的和的积公式：•正弦函数的和的积公式：sinθ + sinφ = 2sin((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•余弦函数的和的积公式：cosθ + cosφ = 2cos((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•正弦函数的差的积公式：sinθ - sinφ = 2cos((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)•余弦函数的差的积公式：cosθ - cosφ = -2sin((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)这些公式是三角函数中常见的重要公式，掌握它们能够帮助解决各种三角函数相关的数学问题，并在数学推导和计算中提供便利。
第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A 组
1．若cos α＝－35，α∈(π2
，π)，则tan α＝________. 解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sinαcosα＝－43
. 答案：－43
2．(2009年高考北京卷)若sin θ＝－45
，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35
. 答案：－35
3．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3
－α)＝________. 解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：35
4．(2010年合肥质检)已知sin x ＝2cos x ，则5sinx －cosx 2sinx ＋cosx
＝______. 解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sinx －cosx 2sinx ＋cosx ＝5tanx －12tanx ＋1＝95
. 答案：95
5．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.
解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12
，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32
.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 3 6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2
)，求cos α，sin α的值． 解：由题意，得2sin αcos α＝120169
.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169
. 又∵α∈(π4，π2
)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713
，④ ③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513
. B 组
1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.
解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋cos2x sin2x ＋cos2x ＝2tan2x ＋1tan2x ＋1＝95
.答案：95 2．(2010年南京调研)cos 10π3
＝________. 解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－12
3．(2010年西安调研)已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α
的值等于________．
解析：cos α＝－1－sin2α＝－45， sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45
＝－32. 答案：－32
4．(2010年南昌质检)若tan α＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα
＋cos 2α＝_________________. 解析：sinα＋cosαsinα－cosα＋cos 2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tanα－1＋1tan2α＋1＝165
.答案：165 5．(2010年苏州调研)已知tan x ＝sin(x ＋π2
)，则sin x ＝___________________. 解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12.答案：5－12
6．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.
解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ
＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π4
7．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12
)的值等于________． 解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13. 答案：－13
8．(2008年高考浙江卷改编)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
解析：由⎩⎨⎧
cosα＋2sinα＝－5， ①sin2α＋cos2α＝1， ②
将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2. 答案：2
9．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3
)的值为________． 解析：∵f (α)＝sinα·cosα·cotα－cosα＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－12 10．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3
)(n ∈Z )的值． 解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3
] ＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34
. (2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32
×(－12)＝－34
. 11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角． 解：由已知，得⎩⎨⎧
sinA ＝2sinB ， ①3cosA ＝2cosB ， ②
①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.
(1)当cos A＝
2
2时，cos B＝
3
2，又A、B是三角形内角，∴A＝
π
4，B＝
π
6，∴C＝π－(A＋B)＝
7
12
π.(2)当
cos A＝－
2
2时，cos B＝－
3
2.又A、B是三角形内角，∴A＝
3
4
π，B＝
5
6
π，不合题意．综上知，A＝
π
4，B＝
π
6，
C＝7
12
π.
12．已知向量a＝(3，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．
(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，
求cos(
π
2－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α)的值．
解：(1)∵a∥b，∴3cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－3cosα＝2sin(α－
π
3)．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－
π
3)＝－1时，m min＝－2.
此时α－
π
3＝
3
2
π，即α＝
11
6
π.
(2)∵a⊥b，且m＝0，∴3sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－
3
3.
∴
cos(
π
2－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α)
＝
sinα·(－sin2α)
－cosα
＝tanα·2sinα·cosα
＝tanα·
2sinα·cosα
sin2α＋cos2α
＝tanα·
2tanα
1＋tan2α
＝
1
2
.。
