11知识讲解_正弦函数、余弦函数的性质_基础

正弦函数、余弦函数的图像一、 知识梳理1、 正弦曲线：正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像余弦曲线：余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像 2、 正弦曲线的画法：（1） 利用单位圆和正弦线作图；（2） 五点作图法（简图），五个点为：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-3、 余弦曲线的画法：（1） 通过正弦曲线平移，讲R x x y ∈=,sin 向左平移2π个单位（诱导公式六：sin()cos 2παα+=）； （2） 五点作图法，五个点为：)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.4、正弦函数、余弦函数的性质二、 例题讲解(一)、正弦函数、余弦函数的图像【例1】作出下列函数的图像(1)1sin ,[0,2];(2)23cos ,[0,2].y x x y x x ππ=+∈=+∈变式训练1： 作出下列函数的图像5(1)(2)sin(),[2,2].2y y x x πππ==+∈-（二）、正弦函数、余弦函数的图像的简单应用【例2】1sin [,]222y x y x x ππ==∈-函数与在内有多少个交点？变式训练2：1、求下列函数的定义域(1)12cos y x =-(2)y=lg()2、sin y x y x x R ==∈函数与在内有多少个交点？（三）、正弦函数、余弦函数的性质【例3】若函数17()()1()236f x f f πππ=-是以为周期的奇函数，且，求的值。

【例4】判断下列函数的奇偶性 2(1)3sin ;1sin cos (2);1sin (3)lg(1sin )lg(1sin ).y x x xy xy x x =+-=+=+--【例5】求下列函数的单调区间(1)()sin();(2)()cos(2).46f x x f x x ππ=-=+变式训练3：1、 判断下列函数的周期2(1)2sin 1;(2)3sin(2);(3)cos().436y x y x y x ππ=+=-=+2、 函数()R (2)()[0,1](),f x f x f x x f x x +=∈=是定义在上的奇函数，且，当时，则(47.5)___.f =3、函数()____________.f x =定义域为4、 函数()sin(2)____________.3f x x π=-+的单调递增区间是（四）、正弦函数、余弦函数的性质的应用【例6】求下列函数的值域2(1)2sin(2)1;(2)22sin sin .4y x y x x π=-+=-+变式训练4：1、 比较下列各组数的大小33(1)sinsin;(2)sin 2cos1;(3)sin(sin ),sin(co s ).101888ππππ，，2、函数y =－x ·cos x 的部分图象是()3、2cos sin 1,[,].44y x x x ππ=-+∈-求函数的值域三、归纳总结1、“五点法”画正弦、余弦函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2、求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；3、求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；4、三角函数的周期问题一般利用sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的周期为2||T πω=即可。

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。

三角函数的基本概念与性质三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍三角函数的基本概念与性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，记作sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

在单位圆上，角度x对应的点的纵坐标即为sin(x)的值。

正弦函数是一个周期函数，其周期为2π。

即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。

正弦函数具有以下性质：1. 奇函数：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。

2. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数的图像在每个周期内重复。

3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。

二、余弦函数余弦函数是另一个重要的三角函数，记作cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

在单位圆上，角度x对应的点的横坐标即为cos(x)的值。

余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π。

即对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。

余弦函数具有以下性质：1. 偶函数：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。

2. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数的图像在每个周期内重复。

3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于x轴对称。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一个重要函数，记作tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

在单位圆上，角度x对应的点的纵坐标除以横坐标即为tan(x)的值。

正切函数也是一个周期函数，其周期为π。

即对于任意实数x，有tan(x+π)=ta n(x)。

正切函数具有以下性质：1. 奇函数：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。

2. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数的图像在每个周期内重复。

正余弦函数知识点总结一、正余弦函数的定义正弦函数和余弦函数都是圆的点在坐标轴上的投影，它们通常用来表示一个角的正弦和余弦值。

正弦函数和余弦函数分别由下面的公式所定义：sin(θ) = opp/hypcos(θ) = adj/hyp在上面的公式中，θ是角的大小，opp是对边的长度，adj是邻边的长度，hyp是斜边的长度。

这些定义和公式都是从直角三角形中得到的，因此在使用正弦函数和余弦函数的时候，我们通常需要先将问题转化成三角形来求解。

二、正余弦函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。

这意味着在一个周期内，这两个函数的值会不断重复。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。

这意味着sin(-θ) = -sin(θ)，cos(-θ) = cos(θ)。

这是通过函数图像的对称性可以得到的。

3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]。

这说明它们的取值范围都是有限的，并且是相同的。

4. 同一角的正弦和余弦的关系：在一个直角三角形中，我们可以用正弦和余弦函数来表示同一个角的两个边的关系。

如果我们知道一个角的正弦值，可以通过反正弦函数来求出这个角的大小；同样，如果我们知道一个角的余弦值，也可以通过反余弦函数来求出这个角的大小。

三、正余弦函数的图像正弦函数和余弦函数的图像是非常典型的周期函数的图像。

正弦函数的图像是一条波浪线，而余弦函数的图像是一条钟形曲线。

这两个函数的图像有着一些非常明显的特点：1. 周期性：这两个函数的图像都是在一个周期内不断重复的，因此整个图像是无限延伸的。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，所以它的图像具有原点对称的性质；而余弦函数是偶函数，所以它的图像具有y轴对称的性质。

3. 值域：这两个函数的值域都是[-1,1]，因此它们的图像都在y轴上有一个水平的渐近线。

四、正余弦函数的应用正弦函数和余弦函数在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

《正弦函数、余弦函数的图象》知识清单知识点1正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x①______知识点2周期函数 1.周期函数设函数()f x 的定义域为D ,如果存在一个⑭________常数T ,使得对每一个x D ∈都有x T D +∈,且⑮________,那么函数()f x 就叫做周期函数,⑯________叫做这个函数的周期. 2.最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个⑰________的正数,那么这个⑱________正数就叫做()f x 的最小正周期. 知识点3正弦函数、余弦函数的性质y =sin xy =cos x⑲________【答案】①R ②(0,0)③,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭④(,0)π⑤3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭⑥(2,0)π⑦(0,1)⑧,02π⎛⎫⎪⎝⎭⑨(,1)π-⑩3,02π⎛⎫⎪⎝⎭⑪(2,1)π⑫左(或右)⑬(2π或3)2π⑭非零⑮()()f x T f x +=⑯非零常数T ⑰最小⑱最小⑲R ⑳2π○21 [1,1]-○2222k ππ+○23322k ππ+○242k π○252k ππ+○26奇○27偶○282x k ππ=+○29x k π=○302,222k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦○3132,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦○32[2,2]k k πππ-○33[2,2]k k πππ+ 【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“⨯”. 1.正、余弦函数的图象形状相同,位置不同.( ) 2.正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展.( ) 3.函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度得到函数cos y x =的图象.( )4.直线12y =与函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象有两个交点.( ) 5.周期函数()y f x =的周期可能只有一个.( ) 6.任何周期函数都有最小正周期.( )7.若存在正数T ,使()()f x T f x +=-,则2T 为函数()f x 的周期.( )8.sin y x =的图象与cos y x =的图象既是中心对称图形又是轴对称图形.( ) 9.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.( )10.存在实数x ,使得sin x =【答案】 1.√2.×正、余弦函数的图象向左、右无限伸展,但上、下限定在直线y =1和y =-1之间.3.×函数y =sin x 的图象向左(或右)平移2π(或32π)个单位长度得到函数y =cos x 的图象. 4.√5.×周期函数的周期一定有无限个,如T 是它的周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是它的周期.6.×对于常数函数f (x )=c ,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期.7.√8.√9.×正弦函数、余弦函数在定义域内呈周期性变化,增减交替,不是单调函数. 10.×正弦函数的最大值为1.。

5. 4.2正弦函数、余弦函数的性质（基础知识+基本题型）知识点一 周期函数定义：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.由周期函数的定义可知，周期T 并不唯一，若周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，我们便称这个数为最小正周期，以下我们说的周期一般指最小正周期.【拓展】（1）周期函数的定义是对定义域中的每一个x 来说的，只有个别的x 的值满足()()f x T f x 不能说T 是()f x 的周期.（2）从等式“()()f x T f x ”来看，应强调的是自变量x 本身加的非零常数T 才是周期，例如(2)()f x T f x 恒成立，但T 不是()f x 的周期，若写成(2)(2())(2)2T f x T f xf x ，则2T是()f x 的周期.（3）如果T 是函数()f x 的周期，那么(,0)kT kZ k也一定是函数()f x 的周期.（4）周期函数的定义域不一定是R ，但是一定是无限集.（5）对于周期函数来说，并不是所有的函数都有最小正周期，如函数0,y x R . 【拓展】求三角函数的周期的常见方法（1）公式法：对于sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0），2||T πω=. （2）观察法（图象法）：画出函数图象，观察图象可得函数周期. 知识点二 正弦函数、余弦函数的性质R R【拓展】（1）正弦函数（余弦函数）不是定义域上的单调函数.另外，说“正弦函数（余弦函数）在第一象限内是增(减）函数”是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍.（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值.（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0.考点一函数的奇偶性问题【例1】若函数()siny x xϕ=+（0ϕπ≤≤）是R上的偶函数,则φ可以等于A. 0B.4πC.2πD. π解析：因为sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而cos y x =是R 上的偶函数，所以2πϕ=，故选C. 答案：C总结：判断一个函数或者是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或中的一个。

初中数学知识归纳三角函数的正弦与余弦关系正文：三角函数是数学中重要的概念之一，在初中数学学习中也占据着重要的位置。

而三角函数中，正弦函数和余弦函数的关系更是一项基础性的内容。

本文将对初中数学中三角函数的正弦与余弦关系进行归纳总结，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、正弦与余弦的定义及性质首先，我们需要明确正弦与余弦的定义。

在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，我们可以定义其正弦和余弦。

正弦函数sinθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的对边之比，即sinθ=对边/斜边。

余弦函数cosθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的邻边之比，即cosθ=邻边/斜边。

正弦与余弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。

即在一个周期内，它们的值会重复出现。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像以坐标原点对称；余弦函数是偶函数，其图像以y轴对称。

3. 范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，余弦函数的值域也为[-1, 1]。

二、正弦与余弦的关系正弦与余弦函数之间有着紧密的关联，它们之间的关系可以通过三角恒等式来表示。

三角恒等式即指两个不同的三角函数之间的等式关系。

1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ该定理表明了三角形的三边与对应角的正弦值之间的关系。

2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosγ该定理表明了三角形的三边与对应角的余弦值之间的关系。

正弦定理和余弦定理为我们理解和计算三角形的边长和角度提供了重要的数学工具。

三、应用举例下面我们通过几个具体的例子来应用正弦与余弦关系。

例1：已知在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，BC=5cm，求AC 的长度。

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性 课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性． 识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称． 课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数． 能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。

三角函数定义及性质三角函数是中学数学中重要的概念，对于初学者来说，了解三角函数的定义及其性质是必要的。

本文将从定义、周期和奇偶性、单调性、界和差、图像和反函数等方面阐述三角函数的基本性质。

一、定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

数学中假设有任意角α，其余弦函数、正弦函数、余切函数和正切函数分别定义为：cosα=Adjacent/Hypotenusesinα=Opposite/Hypotenusetanα=Opposite/Adjacentcotα=Adjacent/Opposite其中，Adjacent和Opposite是直角三角形中与α有关的两条边，而Hypotenuse是斜边。

同时，正割函数和余割函数是用角度的余数定义的，分别为：secα=1/cosαcscα=1/sinα二、周期和奇偶性正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数和余切函数的周期为π，而正割函数和余割函数的周期也为2π。

此外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都是奇函数。

三、单调性正弦函数在第一象限和第四象限单调递增，在第二象限和第三象限单调递减。

余弦函数则相反，在第一象限和第四象限单调递减，在第二象限和第三象限单调递增。

正切函数的单调性是以π/2为中心对称的，余切函数也会如此。

正割函数和余割函数的单调性与其它三角函数不同，它们的数值在第一象限和第四象限为正，在第二象限和第三象限为负。

四、界和差正弦函数和余弦函数的值都在[-1,1]之间。

正切函数的值域是所有实数，而余切函数的值域是除了nπ(n为任意整数)的所有实数。

正割函数和余割函数的取值范围与正弦函数和余弦函数相反，它们的值在[1,∞)∪(-∞,-1]之间。

另外，三角函数有许多有用的关系，比如sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)和cos(2x)=2cos^2(x)-1等。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（基础知识+基本题型）知识点一 正弦函数的图象 1.正弦曲线的几何作法正弦函数sin ,y x x R 的图象如图，我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图，在直角坐标系的x 轴上取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆，从圆1O 与x 轴的交点A 起，把圆1O 分成12等份（份数越多，画出的图象越精确）.过圆1O 上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0,,,,,2632等角的正弦线，相应地，再把x 轴上从0到2这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来，即得sin ,[0,2]y x x 的图象.2.用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的简图在函数sin ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点有五个：(0,0)，(,1)2，(,0)，3(,1)2，(2,0). 一般地，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到正弦函数在[0,2]上的简图.这种方法叫“五点法”.【提示】（1）“五点法”作三角函数图象的实质是分别找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点，这五个点大致确定了函数图象的位置与形状.（2）用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的图象后，将其向左右平移(每次2个单位长度)，可得出sin ,y x x R 的图象.知识点二 余弦函数的图象 1.利用图象变换作余弦函数的图象 由诱导公式六，有cos sin()2y x x .因此，将正弦函数sin ,y x x R 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数sin()cos ,2y x x x R 的图象. 我们把余弦函数cos ,y x x R 的图象叫做余弦曲线，如图所示.2.用“五点法”作cos ,[0,2]y x x 的简图在函数cos ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点是它与x 轴的交点、函数图象的最高点和最低点，它们的坐标依次为：(0,1)，(,0)2，(,1)，3(,0)2，(2,1).用光滑的曲线将它们连接起来，就得到余弦函数在[0,2]上的简图.【提示】（1）作余弦函数图象时，可通过正弦函数的图象平移得到，但要注意平移的单位长度. （2）作x R 的余弦函数图象，可由cos ,[0,2]y x x 的图象左右平移得到，也可由 sin ,y x x R 的图象向左平移2个单位长度得到.考点一 通过图象变换作函数的图象 【例1】作函数32sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 解：3sin |cos |2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos 22,Z 22,3cos 22,Z .22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象实际就是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图由于余弦函数的图象是利用诱导公式依据图象变换画出的，故掌握利用诱导公式化简三角函数式也是画三角函数图象的切入点。

正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。

【要点梳理】要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。

2．几何法利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象。

3．五点法先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ- 要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。

（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象。

（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。

要点二：正弦曲线、余弦曲线（1）定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

（2）图象（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。

要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。

sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+【典型例题】类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象例1．用五点法作出下列函数的图象。

正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入 1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作()x f y =，D x ∈。

（2）三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值；根据上面规定，则,OM x MP y ==,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin 1y yy MP r α====； cos 1x xx OM r α====； tan y MP AT AT x OM OAα====；这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、讲授新课【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数图象2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像（1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像【方案1】——几何描点法步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

一、教学目标1. 让学生了解正弦函数和余弦函数的图象特征，掌握它们的基本性质。

2. 培养学生运用数形结合的方法分析函数图象和性质的能力。

3. 引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二、教学内容1. 正弦函数的图象和性质2. 余弦函数的图象和性质3. 正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用三、教学重点与难点1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象特征，基本性质。

2. 难点：正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用。

四、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示函数图象和性质。

2. 运用数形结合的方法，引导学生分析函数图象和性质。

3. 案例分析法，让学生在实际问题中体验函数图象和性质的应用。

4. 小组讨论法，培养学生的合作能力和口头表达能力。

五、教学过程1. 导入新课：回顾正弦函数和余弦函数的定义，引导学生思考它们的图象和性质。

2. 讲解与演示：利用多媒体课件，展示正弦函数和余弦函数的图象，讲解图象特征和基本性质。

3. 案例分析：选取实际问题，让学生运用所学知识分析问题，解决问题。

4. 小组讨论：分组讨论正弦函数和余弦函数图象和性质的综合应用，分享讨论成果。

5. 总结与评价：总结本节课所学内容，对学生的学习情况进行评价，布置课后作业。

六、教学策略1. 运用对比分析法，让学生区分正弦函数和余弦函数的图象和性质。

2. 利用数学软件或教具，动态展示正弦函数和余弦函数的图象变化，增强学生直观感受。

3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。

4. 创设情境，引导学生发现生活中的正弦函数和余弦函数模型，提高学生的数学素养。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和兴趣。

2. 练习完成情况：检查学生课后作业和实践任务的完成质量，评价学生的学习效果。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作能力、口头表达能力等。

4. 自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足。

正弦、余弦函数的图象与性质（讲义）➢ 知识点睛一、周期函数设函数()f x 的定义域为I ，若∃T ，T 为常数且不为零，使得对x I ∀∈，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若T 有最小正数，那么这个最小正数就叫做函数()f x 的最小正周期． 二、正弦、余弦函数的图象与性质➢ 1. 写出下列函数的定义域．（1）3sin =y x__________________________； （2）lg(cos )=-y x _____________________；（3）y =_____________________． 2.（1）2sin y x =；（2）2cos 2y x =-；（3）3sin(2)4y x π=+．3. 求下列函数的周期． （1）()cos f x x =π；（2）()sin()24x f x π=+；（3）π()2)4f x x =-+．4. 若函数π()=cos()43k f x x k +∈*N （）的最小正周期不大于2，则k 的最小值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．135. 已知函数()sin2x f x +π=，()cos()g x x =π-，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数B ．()f x 与()g x 都是偶函数C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数6. 已知函数()sin()12f x x π=π--，则下列命题正确的是（ ）A ．()f x 是周期为1的奇函数B ．()f x 是周期为2的偶函数C ．()f x 是周期为1的非奇非偶函数D ．()f x 是周期为2的非奇非偶函数7. 若函数()sin 21=+f x a x （a 为常数），且(3)5f -=，则(3)f π+的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．38. 求下列函数的单调递增区间．（1）1sin()26y x π=+；（2）sin3y x =-；（3）2cos(2)4y x π=+．9. 下列函数在()2ππ，上单调递增的是（ ）A ．y =sin xB ．y =cos xC ．y =sin 2xD ．y =cos 2x10. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ）A ．[]44ππ-，B ．[]44π3π，C ．[]23ππ，D ．[]23π2π，11. 已知()f x 是(ππ)-，上的偶函数，且当πx <0≤时，()f x =sin x -，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．ππ(π)(0)22--，或，B ．ππ(0)(0)22-，或，C ．ππ(0)(π)22-，或，D ．ππ(π)(π)22--，或，14. 函数1sin [02]y x x =+∈π，，的图象与直线32y =的交点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个15. 若函数y =sin x 的定义域为[]a b ，，值域为[1]21-，，则b a -的最大值与最小值之和为（ ）A ．34π B ．38π C ．2π D ．4π【参考答案】➢ 精讲精练1. （1）{|}Z ，x x k k ≠π∈ （2）(22)22Z ，（）k k k π3+ππ+π∈（3）[22]66Z ，（）k k k π5+ππ+π∈2. （1）{|2}2Z ，x x k k π=+π∈，值域为[22]，-（2）{|}2Z ，x x k k π=+π∈，值域为[13]，（3）{|}8Z ，x x k k π=+π∈，值域为[33]，- 3. （1）2；（2）4π；（3）π 4. D 5. B 6. B 7. A8. （1）[22]33Z ，（）k k k 2ππ-+π+π∈（2）22[]6323Z ，（）k k k ππππ++∈ （3）[]88Z ，（）k k k 3π7π+π+π∈9. D 10. C 11. C 12. A 13. A 14. B 15. C。

正余弦概念知识点总结一、三角函数概念三角函数是研究角和角对应的三边之间的关系的函数。

在三角函数中最基本的是正弦函数和余弦函数。

正弦函数（Sine Function）是指在直角三角形中，对于任意一角，其正弦值等于对边与斜边的比值。

余弦函数（Cosine Function）是指在直角三角形中，对于任意一角，其余弦值等于邻边与斜边的比值。

在三角函数中，角度通常用弧度来度量，弧度表示的是在单位圆上对应角度的弧长。

以弧度来度量角度的好处是可以用尺上的长度来表示角度，从而可以应用数学解决实际问题。

二、正余弦函数的性质1. 定义域和值域正弦函数和余弦函数都是周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sinx，余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cosx。

3. 周期性正弦函数和余弦函数都是周期为2π的周期函数。

4. 正交性正弦函数和余弦函数有正交性质，即在相同周期内，两个不同的正弦函数和两个不同的余弦函数积分为0。

5. 单调性当自变量增大时，正弦函数和余弦函数都是先减小后增大，即是单调递减的。

6. 弦函数和余弦函数的和差化积公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbcos(a+b)=cosacosb-sinasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb这些性质使得正弦函数和余弦函数在数学分析和物理工程中有着广泛的应用。

三、正余弦函数的图像正余弦函数的图像能够直观地展现其在数轴上的变化规律。

在直角坐标系中对正弦函数和余弦函数进行绘制，可以得到它们的周期性和振幅的特点。

正弦函数的图像是一条具有波浪形状的曲线，在每个2π的周期内，它在经过弧度0和2π时取得最小值0，在经过弧度π/2和3π/2时取得最大值1和-1。

余弦函数的图像是一条具有波浪形状的曲线，在每个2π的周期内，它在经过弧度0时取得最大值1，在经过弧度π/2和3π/2时取得最小值-1和1。

三角函数正余弦正弦函数和余弦函数是数学中常见的三角函数，它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍正弦函数和余弦函数的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是以单位圆上某点的纵坐标为函数值的函数。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1，绘制一个角度为θ的终边，该终边与x 轴的夹角θ称为角的弧度，用r表示。

则角θ的正弦值，即sinθ，定义为终边上的点的纵坐标。

例如，当θ=π/6时，终边上的点的纵坐标为1/2，因此sin(π/6)=1/2。

正弦函数的性质有：1. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，其中θ为任意实数，2π为正弦函数的最小正周期。

2. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数关于原点对称。

3. 值域：正弦函数的值域为[-1,1]，即sinθ的取值范围在-1和1之间。

正弦函数在物理学中有着广泛的应用。

例如，当我们研究机械振动时，可以使用正弦函数描述物体振动的变化规律。

正弦函数还在信号处理中被广泛使用，例如音频信号的波形就可以用正弦函数表示。

二、余弦函数余弦函数是以单位圆上某点的横坐标为函数值的函数。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1，绘制一个角度为θ的终边，该终边与x 轴的夹角θ称为角的弧度，用r表示。

则角θ的余弦值，即cosθ，定义为终边上的点的横坐标。

例如，当θ=π/3时，终边上的点的横坐标为1/2，因此cos(π/3)=1/2。

余弦函数的性质有：1. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，其中θ为任意实数，2π为余弦函数的最小正周期。

2. 偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数关于y轴对称。

3. 值域：余弦函数的值域为[-1,1]，即cosθ的取值范围在-1和1之间。

余弦函数也在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用。

例如，当我们研究物体在斜面上的运动时，可以使用余弦函数描述物体在斜面上的受力和加速度。

余弦函数还在电工电子学中应用广泛，例如交流电的电压和电流波形就可以用余弦函数表示。