正弦余弦函数的性质定义值域

简单易懂的三角函数正弦余弦和正切三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学和三角测量中发挥着至关重要的作用。

本文将详细介绍三角函数中的正弦、余弦和正切，并解释它们的定义、性质和应用。

一、正弦函数（sin）正弦函数是以圆的弧长和半径的比值定义的。

给定一个角度θ（单位为弧度），我们可以通过以下公式来计算它的正弦值：sin(θ) = 对边 / 斜边其中，对边表示角θ对应的直角三角形中与θ相对的边的长度，斜边表示直角三角形中斜边的长度。

正弦函数的定义域是所有实数，其值域在-1到1之间。

正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0到2π之间重复。

正弦函数在数学和物理学中有广泛的应用，比如描绘波动、震动和周期性现象等。

二、余弦函数（cos）余弦函数也是以圆的弧长和半径的比值定义的。

给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的余弦值：cos(θ) = 邻边 / 斜边其中，邻边表示角θ对应的直角三角形中与θ相邻的边的长度。

余弦函数的定义域是所有实数，其值域也在-1到1之间。

余弦函数的图像与正弦函数非常相似，它在0到2π之间同样重复。

余弦函数同样在数学和物理学中有广泛的应用，比如计算力的分解、描述周期性变化等。

三、正切函数（tan）正切函数是以正弦和余弦的比值定义的。

给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的正切值：tan(θ) = 正弦 / 余弦 = 对边 / 邻边正切函数的定义域是所有不等于(2n + 1)π/2的实数，其中n是任意整数。

其值域是所有实数。

正切函数的图像有一些特殊的性质，比如在某些角度上取无穷大的值。

正切函数在解决直角三角形问题、物体运动中的速度和加速度等方面有着重要的应用。

综上所述，三角函数中的正弦、余弦和正切是数学中重要的概念，它们不仅在几何学和三角测量中起到关键作用，而且在物理学、工程学以及其他科学领域中有着广泛的应用。

通过理解和熟练运用这些函数，我们可以更好地理解和解决与角度有关的各种问题。

23
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结

三角函数正弦余弦正切的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一。

其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见和常用的三角函数。

本文将对正弦函数、余弦函数和正切函数的定义与性质进行详细介绍。

一、正弦函数的定义与性质1. 正弦函数的定义正弦函数（Sine Function）是一个周期函数，可以表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。

正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

2. 正弦函数的性质正弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。

（2）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

（4）单调性：在一个周期内，正弦函数是先递增后递减的，且在[0,π]上为递增函数，在[π,2π]上为递减函数。

二、余弦函数的定义与性质1. 余弦函数的定义余弦函数（Cosine Function）也是一个周期函数，可以表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数值。

余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

2. 余弦函数的性质余弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。

（2）周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。

（3）奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

（4）单调性：在一个周期内，余弦函数在[0,π/2]上为递减函数，在[π/2,2π]上为递增函数。

三、正切函数的定义与性质1. 正切函数的定义正切函数（Tangent Function）可以表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数值。

正切函数的定义域为全体实数，但在其周期的特殊点（如π/2）处无定义。

2. 正切函数的性质正切函数有以下几个重要的性质：（1）周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。

正弦余弦知识点总结一、正弦和余弦函数的定义1. 正弦函数的定义正弦函数是周期函数，它的周期是2π。

正弦函数的定义域是整个实数集，值域是区间[-1, 1]。

正弦函数的定义如下：y = sin(x) = A * sin(ωx + φ)其中，A 是振幅，ω 是角速度，φ 是初相位。

在一般情况下，A=1，ω=1，φ=0。

2. 余弦函数的定义余弦函数也是周期函数，它的周期也是2π。

余弦函数的定义域是整个实数集，值域是区间[-1, 1]。

余弦函数的定义如下：y = cos(x) = A * cos(ωx + φ)同样，A 是振幅，ω 是角速度，φ 是初相位。

在一般情况下，A=1，ω=1，φ=0。

二、正弦函数和余弦函数的性质1. 周期性正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π，即在一个周期内，函数值会重复出现。

2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，图像关于原点对称；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)，图像关于y轴对称。

3. 极值正弦函数的最大值是 1，最小值是 -1；余弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。

4. 函数图像正弦函数的图像是一条周期为2π的波浪线，而余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪线，但相位不同，形状相似但位置不同。

三、正弦和余弦函数的图像特点1. 正弦函数的图像正弦函数的图像是一条周期为2π的波浪线，在区间[0, 2π]上，它的图像从原点开始，向右上方偏移，并不断震荡上下，形成波浪状的曲线。

2. 余弦函数的图像余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪线，但它的图像在区间[0, 2π]上，从最大值1开始，并向下偏移，然后不断震荡上下，形成波浪状的曲线。

四、正弦和余弦函数的导数和积分1. 正弦函数的导数和积分正弦函数的导数是余弦函数，即(sin(x))' = cos(x)；正弦函数的积分是-余弦函数，即∫sin(x)dx=-cos(x)。

三角函数中的正弦函数与余弦函数在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。

其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。

它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。

它可以通过单位圆上的点的纵坐标来定义。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。

正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。

这意味着正弦函数关于原点对称。

3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。

4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在几何学中，正弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。

在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。

二、余弦函数余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。

它也可以通过单位圆上的点的横坐标来定义。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。

余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。

也就是说，对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。

2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。

这意味着余弦函数关于y轴对称。

3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数

y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0

湖南师范大学附属中学高一数学教案：正弦（余弦）函数的性质（定义、值域）目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。

过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法二、研究性质：1． 定义域：y=sinx, y=cosx 的定义域为R2． 值域：1︒引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1]2︒对于y=sinx 当且仅当x=2k π+2π k ∈Z 时 y max =1 当且仅当时x =2k π-2π k ∈Z 时 y min =-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-13． 观察R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知当2k π<x<(2k+1)π (k ∈Z)时 y=sinx>0当(2k-1)π<x< 2k π (k ∈Z)时 y=sinx<0当2k π-2π<x<2k π+2π (k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+2π<x<2k π+23π (k ∈Z)时 y=cosx<0 三、例题：1) 直接写出下列函数的定义域、值域：1︒ y=xsin 11+ 2︒ y=x cos 2- 解：1︒当x ≠2k π-2π k ∈Z 时函数有意义，值域:[,21+∞] 2 ︒x ∈[2k π+2π, 2k π+23π] (k ∈Z)时有意义, 值域[0, 2] 2)求下列函数的最值：1︒ y=sin(3x+4π)-1 2︒ y =sin 2x-4sinx+5 3︒ y=x x cos 3cos 3+- 解：1︒ 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2 2︒ y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时y max =10 当x=2k π-2π k ∈Z 时y min = 2 3︒ y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2 当x=2k π k ∈Z 时 y min = 21 3、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。

3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2


y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3cosz
化未知为已知
• P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(4)
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x
23
x
|
x
3
4k
,k
Z
要使y 1 sin z有最小值， 2
要使y 1 sin z有最大值， 2
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
零点：x k (k Z )
2
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。

三角函数的定义域和值域三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在进行三角函数的研究和应用时，了解其定义域和值域是非常重要的。

一、正弦函数的定义域和值域正弦函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正弦值。

其定义域是实数集。

根据正弦函数的特点，我们知道正弦值的范围在-1到1之间，即其值域为[-1, 1]。

二、余弦函数的定义域和值域余弦函数也是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的余弦值。

与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，而其值域同样为[-1, 1]。

三、正切函数的定义域和值域正切函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正切值。

正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 |n∈Z}。

值域为全体实数，即整个实数集R。

四、其它三角函数的定义域和值域除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有诸如余切函数、正割函数、余割函数等三角函数。

这些函数的定义域和值域如下：1. 余切函数（cotx）的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {nπ | n∈Z}。

值域也为全体实数。

2. 正割函数（secx）的定义域为除去π/2 + nπ的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 | n∈Z}。

值域为正数和负数的并集，即R - {0}。

3. 余割函数（cscx）的定义域为除去nπ的实数集，即R - {nπ |n∈Z}。

值域同样为正数和负数的并集，即R - {0}。

五、总结三角函数的定义域和值域是根据函数的特点和性质决定的。

正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域都是[-1, 1]；正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，值域为全体实数；余切函数、正割函数、余割函数的定义域分别为R - {nπ | n∈Z}，值域为正数和负数的并集。

在实际应用中，对三角函数的定义域和值域的了解有助于我们分析和计算相关问题，并且在解决实际问题时能够更加准确地进行数值的转换和计算。

三角函数入门什么是正弦余弦和正切三角函数入门：什么是正弦、余弦和正切三角函数是数学中的重要概念，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

其中，正弦、余弦和正切是三个基本的三角函数，今天我们就来探讨一下它们的定义和性质。

一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它描述了一个角度对应的正弦值。

在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。

以角记作θ，那么正弦函数sinθ可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边其中，对边指的是角θ的对边的边长，斜边指的是角θ对应直角三角形的斜边的边长。

在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。

这时，对边就是点P的纵坐标y，斜边则是单位圆的半径1。

因此，我们可以将正弦函数sinθ定义为：sinθ = y正弦函数sinθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。

二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个基本的三角函数，它描述了一个角度对应的余弦值。

在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。

以角记作θ，那么余弦函数cosθ可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边其中，邻边指的是角θ的邻边的边长。

在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。

这时，邻边就是点P的横坐标x，斜边仍然是单位圆的半径1。

因此，我们可以将余弦函数cosθ定义为：cosθ = x余弦函数cosθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。

三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个基本函数，它描述了一个角度对应的正切值。

在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值。

以角记作θ，那么正切函数tanθ可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边其中，对边指的是角θ的对边的边长，邻边指的是角θ的邻边的边长。

在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。

这时，对边就是点P的纵坐标y，邻边就是点P的横坐标x。

因此，我们可以将正切函数tanθ定义为：tanθ = y / x正切函数tanθ的定义域是所有不等于π/2 + kπ（k为整数）的实数，值域是整个实数集。

举一反三：
【变式】已知函数 ．
（1）画出函数的简图；
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
（3）指出这个函数的单调增区间．
【解析】（1）
．
函数图象如右图所示．
（2）由图象知函数的周期是2π．
（3）由图象知函数的单调区间为 （k∈Z）
【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内函数值才发生周期性变化．
令 ，
解得 ，k∈Z，
令k=0，可得 ，
令k=－1，可得 ，
∵x∈[－2π，2π]，
∴函数的单调递增区间为： 和 ．
类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；
【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为 ，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．
【解析】（1）函数定义域为R，且 ，显然有 恒成立．
举一反三：
【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836例1】
【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心
（1） ；（2） .
【解析】（1）令 ，则 的对称轴方程是 （k∈Z），即 （k∈Z），解得 （k∈Z）．
∴函数 的对称轴方程是 （k∈Z）．
同理，对称中心的横坐标为 ， ，即对称中心为 ．
（2）令 ，则 的对称轴方程是 （k∈Z），即 （k∈Z），解得 （k∈Z）．
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如 与函数 的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把 视为一个“整体”，分别与正弦函数 ，余弦函数 的单调递增（减）区间对应解出 ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由 解出 的范围所得区间即为增区间，由 解出 的范围，所得区间即为减区间．

三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。

本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。

1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。

正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。

2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。

与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。

3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。

正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。

总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。

余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。

正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。

值域是全体实数。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。

通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。

三角函数和反三角函数的定义域和值域文章标题：深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域一、引言三角函数和反三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理等领域有着广泛的应用。

理解三角函数和反三角函数的定义域和值域对于深入理解它们的性质和应用至关重要。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角函数和反三角函数的定义域和值域，帮助读者更深入地理解这一主题。

二、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的定义域是整个实数集，即(-∞, +∞)，而值域是闭区间[-1, 1]。

这意味着正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间。

2. 正切函数正切函数的定义域是所有实数，但它的值域是整个实数集，即(-∞, +∞)。

正切函数的取值范围是整个实数集。

3. 反正弦、反余弦和反正切函数反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域与相应的三角函数相反。

反正弦函数的定义域是闭区间[-1, 1]，而值域是闭区间[-π/2, π/2]。

这意味着反正弦函数的取值范围在-π/2到π/2之间。

三、深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域1. 定义域和值域的意义三角函数的定义域和值域决定了函数的取值范围和性质，它们对于解决三角函数的问题和应用具有重要的指导意义。

在求解三角方程和证明三角不等式时，对三角函数的定义域和值域有清晰的认识能够帮助我们更好地理解和处理问题。

2. 图形和性质三角函数的定义域和值域也反映在其图形和性质上。

通过分析三角函数的图形，我们可以直观地感受到其定义域和值域对函数图像的影响，从而更深入地理解三角函数的性质和特点。

四、总结与展望通过本文的探讨，我们对三角函数和反三角函数的定义域和值域有了更深入的理解。

理解三角函数和反三角函数的定义域和值域不仅有助于掌握它们的性质和特点，还能对解决实际问题和应用提供有力的支持。

未来，我们可以进一步探讨三角函数和反三角函数的性质以及它们在不同领域的具体应用，以丰富我们对这一主题的理解。

2
(k Z )
（一）值域和最大(小)值
定义域 值 域
最大值 最小值
y sin x xR
y [1， 1]
y cos x
xR
y [1 ， 1]
ymax 1 ymin 1

2 3
2
ymax 1
ymin 1
x ?，ymax x 2k
x ?，ymin x 2k
练习2 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？
(1) y cos x 1, x R
解：使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是
使函数 y cos x, x R 函数 取得最大值的x的集合 {x x 2kπ , k π } 的最大值是1+1=2 .


当 t 2 k

2
, k Z 即 x { x | x k

12
3 , k Z } 时，
5 , k Z } 时， 同理： 当 t 2k , k Z 即 x {x | x k 12 2 ymin 2
ymax 2

y2
sin x
-4 -6 -8
y sin x, x R 是
-10 -12
奇
函数
6
二、正弦函数、余弦函数的基本性质I
余弦函数 y cos x, x R
y
2 4
5 2
-10 -5 3 2


2
1
1
-2
2
5 2
3 2
5 10
0
x
1