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第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

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41 第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题：

1.设随机变量)(E，方差2)(D，则由切比雪夫不等式有}|{|3P 91 .

2.设n,,,21是n个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(niDEii218

对于

niin1

，写出所满足的切彼雪夫不等式

228nDP)(

}|{| ，并估计}|{|4P

n2

11 .

3. 设随机变量129,,,XXX相互独立且同分布, 而且有1iEX, 1(1,2,,9)iDXi, 令91iiXX, 则对任意给定的0, 由切比雪夫不等式

直接可得9XP 291 . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：()EX与2()DX都存在, 则对任意给定的0, 有 22{||}PX, 或者22{||}1.PX

由于随机变量129,,,XXX相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),iiEXDXi 所以

999111()()19,iiiiiEXEXEX







9992

111()()19.iiiiiDXDXDX







4. 设随机变量X满足：2(),()EXDX, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}PX 116 . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足2(),()EXDX, 则对任意

的0, 有22{||}.PX由此得 221{||4}.(4)16PX

42 5、设随机变量2)(,)(,DE，则}|{|2P 43 .

6、设n,,,21为相互独立的随机变量序列，且),,(21ii服从参数为的泊松分布，则}{limxnnPniin1 xtdte2221 . 7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的

概率，则}{baPn )1()1(2221pnpnpbpnpnpatdte. 8. 设随机变量n, 服从二项分布(,)Bnp, 其中01,1,2,pn, 那么, 对于任 一实数x, 有lim{|||}nnPnpx 0 . 9. 设12,,,nXXX为随机变量序列,a为常数, 则{}nX依概率收敛于a是指 aXP

nn

lim,0 1 ,或aXPnnlim,0 0 。

10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相 互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落 在75至85之间的概率不小于 259 .

解：()80,()16EXDX, 于是

169(7585)(|80|5)1.2525PXPX

二．计算题： 1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.

解：设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则250)(,500)(XDXE

}50|500{|}550450{XPXP 9.02500250150)(1}50|)({|2XDXEXP

43 2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率. 解： 设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则 ~(50,0.90).XB

由此 P(通信系统能正常工作)(4550)PX 45500.9500.950500.9500.90.1500.90.1500.90.1XP





(2.36)(0)0.99090.50.4909.

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.

解：某时刻所使用的终端数~(120,0.05),6,5.bnpnpq7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知 106{10}11(1.67)0.0475.5.7P





4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室 要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位. 解：设去阅览室学习的人数为, 要准备k个座位. ~(,),4900,0.1,49000.1490,bnpnpnpnpq

49000.10.944121. 04900490{0}2121knpnpkPknpqnpq









490490(23.23)0.99.2121kk





查(0,1)N分布表可得4902.3263,212.3263490538.852321kk 539. 要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.

44 5．随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。

解：设 表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。 i

，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，i = 1，2，…，6

1， 2， … ，6 相 互 独 立 ， 显 然 ii16



235211235449621612765432161222DE

D

Eii

12339Epp131Ep

9.03383511691D

6. 设随机变量n,,,21 相互独立，且均服从指数分布 0000xxexfx)( 为 使 10095101111nkknP，

问： n的最小值应如何 ？

解: EDkk112, 21211111,11nDnnDnEnkknkknkk

由 切 比 雪 夫 不 等 式 得



101111nkknP,1009510111101112211nnEnP

nkkn

kk

即 110095100nn , 从 而 n  2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000 7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?

45 解： 设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则)1.0,(~nbX， 9.0}10{XP，而9.0}9.01.01.0109.01.01.0{nnnnXP

所以1.0}09.01.0109.01.01.0{nnn

nX

P

由中心极限定理知，当n充分大时， 有1.0)3.01.010(}09.01.0109.01.01.0{nnnnn

nX

P，

 由1.0)3.01.010(nn 查表得 28.13.01.010nn 147n

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?

解：(1)设X表示正常工作的元件数，则)9.0,100(~bX，

9901009.01.01009.010099085{}85100{}85{XPXPXP

}31039035{XP 由中心极限定理可知 ))35(1()310()35()310(}85{XP 95.0)35(1)35()310( (2)设X表示正常工作的元件数，则)9.0,(~nbX

nnnnXnnPnXnPnXP3.02.01.09.09.03.01.0{)8.0()8.0(

}3.09.03{}323.09.03{nnXnPnnnXnP 95.0)3()3(1nn 353n 25n

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第五章 大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理

P 1 n 定理(辛钦大数定律) 设 { X n } 为独立同分布随机变量序列，若 EX 1 存在，则 X i . n i 1
第三节 中心极限定理
所谓中心极限定理，就是关于大量微小的随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布的定理. 定义 1 设 { X n } 为一随机变量序列， DX n ， n 1,2, ，若
2
83
n a n lim P(a X i b) P n i 1 n
X
i 1
n
i
n
n
b n b n a n ) ( ). ( n n n
例 1 一加法器同时收到 50 个噪声电压 Vi (i 1,2, ,50 ) ， 设 V i (单位： 微伏)相互独立且均在 [0,10] 上 服从均匀分布，求该加法器上总电压 V
i 1
n
1 n2
c n 0(n ) ，
i 1
n
c
推论 2 (贝努里大数定律) 设 S n 为 n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数， p 为 A 在每次 n
证 明 ：令 Xi
1 在第i 次试验中A出现 ， 则 X i ~ B(1, p ) ， i 1,2,, n 且 相 互 独 立 ， 0 在第 i 次试验中 A 不出现
c 0 ，使得 DX n c ， n 1,2, ，则
P 1 n ( X i EX i ) 0 . n i 1
证明：只须验证马尔可夫条件成立即可.由于 { X n } 两两互不相关，故
0
因此马尔可夫条件成立.
n 1 1 D ( Xi) 2 2 n n i 1
DX i
第5章_大数定律和中心极限定理

第5章_大数定律和中心极限定理


3) 用平均值近似积分值
1 即 I N
g(r ) I
n1 n
N
问：若求 I b g ( x )dx 的值
a
应如何近似计算？请思考.
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
3) 用平均值近似积分值
1 即 I N
g(r ) I
n1 n
N
求 I g ( x )dx 的值
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
n
P a 则称{Xn}依概率收敛于a。可记为 X n
意思是: 当
n 时, Xn落在 (a , a )
Xn
内的概率越来越大。即 n0 , 使得n n0 ,
a
a
a
二、几个常用的大数定律
切比雪夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变 量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则
1 n P Yn X k n k 1
例 在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数， 1 n 在依概率收敛意义下，求 X X k 的极限。
n
k 1
下面我们再举一例说明大数定律的 应用. 定积分的概率计算法 求 I g ( x )dx 的值
0 1
第五章大数定律及中心极限定理第节

第五章大数定律及中心极限定理第节


令
Yn
1 n
n
X
k 1
k
则序列 Y1,Y2,,Yn, 依概率收敛于 a。
定理二: (伯努利大数定理)
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，
则对于任意正数 0，有
lim
n
P
nA n
p
1
或
lim
n
P
nA n
p
0.
伯努利大数定理表明事件发生的频率 nA n
解： 令
Xk
1 0
第 k 个人在未来一年里死亡 第 k 个人在未来一年里未死亡
(k 1,2,,10000)
则 Xk
0
1
p 0.995 0.005
10000
10000个这类人中死亡人数 X Xk ~ b(10000, 0.005)
k 1
10000
10000个这类人中死亡人数 X Xk ~ b(10000, 0.005)
下，这一要求可以去掉 。
为此，我们有以下结论 ：
定理三： (辛钦定理)
设随机变量 X1, X2,, Xn, 相互独立，
服从同一分布，且具有数学期望 E( Xk ) , (k 1,2,). 则对于任一正数 , 有
lim
n
P
1 n
n
X
k 1
k
1
第二节 中心极限定理
正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别 重要的位置。在某些条件下，即使原来并不服从正 态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布， 当随机变量的个数无限增多时，也是趋于正态分布 的。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立 的随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这 一类定理称为中心极限定理。
第五章大数律及中心极限定理

第五章大数律及中心极限定理

定义这个随机变量序列的算术平均序列： Yn = X—1—+ …n——+ —Xn
则对于任意的正数 ＞ 0 都满足关系： lim n→∞ P ( | Yn – | ≤ ) = 1。
即，相同期望与方差的独立随机变量序列
算术平均的极限是它们共同的数学期望
证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。
p = P(X ≥10) = P( —X9.–—181—725.2—1/52 ≥ – 0.74)
≈ 1 – (–0.74) = (0.74) = 0.7703
□
如何理解大数律与中心极限定理
① 大数律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题
② 大数律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的 算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望 )。 中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布(标准化部分和的 极限分布是标准正态分布)。
P{ Sn n x} x
1
u2
e 2 du ( x)
n
2
思考3 如何近似计算概率P ( Sn ≤ y )、P ( | Sn | ≤ y ) ？
定理 5.1.4 (德莫佛—拉普拉斯中心极限定理)
假设随机变量序列 X1，X2，… 服从参数 n、p 的二项分布，即 Xn ~ B(n,p) 。 则对于任意的实数 x ，有
106 +1 项开始，都有 ① 数列 an 全都落在区间 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 中， ② Yn 落在 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 外的概率小于10－6 。
定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理)
假设 X1，…，Xn，…是一个独立随机变量