第六章 大定律与中心极限定理习题

大数定律与中心极限定理 应用题1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为 0.1kg, 问（ 1）5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少？ (2)如果用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于 0.975？解 设第 i 只零件重为 X i ， i1,2,...,500 ，则 EX i 0.5 ， DX i 0.125 0 0设XX i ，则 X 是这些零件的总重量i1EX0.5 50002500 ， DX0.125000 50a由中心极限定理X 2500~ N (0, 1)50（1） P(X2510) = P( X 2500 2510 2500 )50501 0 (1 0.9213=0.0787 2 ) =(2) 设 汽车载重量为 a 吨P( Xa) = P(X2500 a 2500 )0 (a 2500) 0.95505050查表得a2500 1.6450计算得 a 2511.59因此汽车载重量不能低于 2512 公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m ，先从这批木柱中随机的取 100 根，求其中至少有 30 根短于 3m 的概率？ 解设 X 是长度小于 3m 的木柱根数，则 X ~ b(100, 0.2)a由中心极限定理X ~ N (20, 16)P( X30) =P(X20 30 20)161610 (2.5) =1 0.9938 =0.00623． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取 1 元， 1.2 元， 1.5 元的概率分别为 0.3， 0.2，0.5.若售出 300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率 （2）售价为 1.2 元蛋糕售出多于 60 只的概率。

解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ， i 1,2,...,300 ，则 X i 有分布律：X i1 1.2 1.5P0.30.20．5由此得E( X i ) 1.29E( X i 2 ) 1.713故 D( X i )EX i 2( EX i )20.0489300（ 1） 设 X 是这一天的总收入，则 XX ii 1300EXEX i300 1.29i 1300DXDX i300 0.0489i 1a由中心极限定理X ~ N(300 1.29, 300 0.0489)P( X400) = P(X300 1.29 400 300 1.29)300 0.0489300 0.04891 0 (3.39) =1 0.9997 =0.0003（ 2） 以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕只数，于是 Y ~ b(300,0.2)Y 300 0.2 a~ N ( 0,1)300 0.2 0.8P(Y 60) = PY 300 0.2 60 6010 (0) 0.53000.2 0.8484.设某种商品第 n 天的价格为 Yn ，令 Xn=Yn+1-Yn ，Xn 独立同分布， 且 Xn 期望是 0，方差是 2，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？解：X 1 Y 2 Y 1， X 2 Y 3 Y 2，X 3 Y 4 Y 3，X n Y n 1 Yn18所以X n Y19Y1Y19100n1181818E X n0 ， D X n DX n36n 1n 1n 1由中心极限定理，P 96Y19104P Y19100418181818X n E X n4= P X n E X n4P n1n 166n 1n 1221=0.497235.（ 10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差的绝对值不小于 0.05 的概率不超过 0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理给出估计。

中心极限定理例题引言中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于高斯分布，即正态分布。

这个定理在统计学中有着广泛的应用。

本文将通过几个例题来说明中心极限定理的应用和推导过程。

例题1假设有一个质量为1 kg的物体，在连续3次抛掷中，每次都以同样的力量抛出，求这3次抛掷的总共落地位置与平均落地位置之间的差距。

解：设第一次、第二次和第三次抛掷的落地位置分别为X1, X2和X3，平均落地位置为X。

由题意可知，X1, X2和X3是独立同分布的随机变量，且服从均值为0，方差为1的标准正态分布。

根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他们的和呈现出正态分布的特点。

因此，3次抛掷的总共落地位置可以表示为：Sum = X1 + X2 + X3根据中心极限定理，我们可以得到：Sum ～ N(0, 3)所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距可以表示为：Difference = Sum - 3 * X根据正态分布的性质，我们知道均值为0的正态分布减去均值为μ的正态分布的期望值为0，即：E[Difference] = E[Sum - 3 * X] = E[Sum] - E[3 * X] = 0 - 0 = 0所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距的期望值为0。

这意味着平均而言，总共落地位置与平均落地位置没有偏移。

例题2某超市每天出售的可乐数量服从均值为1000，标准差为10的正态分布。

今天超市售出的可乐数量为2000瓶，求今天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距。

解：设今天超市售出的可乐数量为X，平均值为X。

由题意可知，X服从均值为1000，标准差为10的正态分布。

根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他们的和呈现出正态分布的特点。

我们知道，每天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距可以表示为：Difference = X - X根据正态分布的性质，我们知道均值为μ的正态分布减去均值为μ的正态分布的期望值为0，即：E[Difference] = E[X - X] = 0所以，今天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距的期望值为0。

第六章 大数定律与中心极限定理习题一、 填空题1．设n ξ是n 次独立试验中事件A 出现的次数，P 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0>ε,有=≥-)(εξp n P n。

2．设随机变量ξ，E ξ＝μ,D ξ＝2σ，则≥<-)2(σμξP 。

3．设随机变量ξ的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(ξξE P 。

4．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 为极限这一类定理称为中心极限定理.5．将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。

6．在天平上重复称量一重为a 的物体,假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0(≥<-a X P n ,n 的最小值应不小于自然数 。

二、选择题1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布,则当∞→n 时，≈<<)(b a P ξ（ )。

(A ）)()(a b Φ+Φ （B ）)()(00a b Φ+Φ （C))()(a b Φ-Φ （D ）1)(20-Φb2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，npq np-ξ一定服从（ ）。

(A)正态分布。

( B)标准正态分布。

（C ）普哇松分布。

( D ）二项分布。

三、计算题1.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1。

5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0。

5)上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2）多少个数加在一起时的误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？3。

已知某工厂生产一大批无线电元件，合格品占61，某商店从该厂任意选购6000个这种元件，问在这6000个元件中合格品的比例与61之差小于1％的概率是多少？ 4.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克,标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0。

中心极限定理考试题及答案# 中心极限定理考试题及答案## 一、选择题1. 中心极限定理描述的是：- A. 样本均值的分布- B. 样本方差的分布- C. 总体均值的分布- D. 总体方差的分布答案：A2. 在中心极限定理中，随着样本容量的增加，样本均值的分布将趋近于：- A. 正态分布- B. 均匀分布- C. 指数分布- D. 二项分布答案：A3. 中心极限定理适用于：- A. 任何总体分布- B. 正态分布的总体- C. 均匀分布的总体- D. 仅指数分布的总体答案：A## 二、简答题1. 简述中心极限定理的主要内容。

答案：中心极限定理是统计学中的一个重要定理，它指出，如果从总体中抽取足够大的随机样本，无论总体分布如何，样本均值的分布都将趋近于正态分布。

这一定理在实际应用中非常重要，因为它允许我们使用正态分布的性质来估计样本均值的分布，即使我们对总体的分布知之甚少。

2. 中心极限定理为什么在实际应用中非常有用？答案：中心极限定理在实际应用中非常有用，因为它允许我们对样本统计量进行推断，即使我们对总体的分布一无所知。

这在很多情况下是非常有用的，比如在质量控制、经济数据分析等领域，我们往往只能获得有限的样本数据，而无法获得总体数据。

通过中心极限定理，我们可以对样本均值进行估计，并计算其置信区间。

## 三、计算题1. 假设一个总体的均值为μ，标准差为σ，从这个总体中随机抽取了容量为n的样本。

如果样本均值的样本量足够大，样本均值的分布将趋近于什么分布？请给出其均值和标准差。

答案：如果样本容量足够大，样本均值的分布将趋近于正态分布。

其均值等于总体均值μ，标准差等于总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即σ/√n。

2. 给定一个总体，其均值为100，标准差为15。

从这个总体中随机抽取了100个样本，计算样本均值的标准误差。

答案：样本均值的标准误差是总体标准差除以样本容量的平方根。

在这个例子中，样本均值的标准误差为15/√100 = 1.5。

习题五 大数定律和中心极限定理习题解答（A ）一、大数定律5.1 设X 是任一非负（离散型或连续型）随机变量，已知X 的数学期望存在，而 0>ε是任意实数，证明(马尔科夫[A.A.Марков，A.A.Markov])不等式：{}E XP X εε≥≤．证明 (1) 设X 是离散型随机变量，其一切可能值为}{i x ，则11{}{}{}{}1{}i iiii i x x ii x i i x P X P X x P X x x P X x E Xx P X x εεεεεεε≥≥≥≥====≤=≤==∑∑∑∑．(2) 设X 是连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，则1{}()d d 1()d P X f x x x x E Xx f x x εεεεεεε+∞+∞+∞≥=≤≤≤⎰⎰⎰．说明 马尔可夫不等式的一种变式为：随机变量X 的)0(>r r 阶绝对原点矩||r E X 存在，则||{||}rrE X P X εε>≤．5.2假设随机变量列12,,,,n X X X ……两两独立并且同分布，i EX μ=，2i DX σ=存在，证明12,,,n X X X …的算术平均值n X 依概率收敛于(各个变量共同的)数学期望μ：11lim ni n i P X n μ→∞=-=∑．证明 易见1122111111n nn i i i i n nn i i i i EX E X EX n n DX D X DX n n n μσ====⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑，．由切比雪夫(切比雪夫)不等式可见，对于任意ε>0，有222{||}0 ()nn DX P X n n σμεεε-≥≤=→→∞．于是，12,,,n X X X …的算术平均值n X 依概率收敛于数学期望μ．5.3 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X …是独立与X 同分布随机变量，证明2211lim n i n k P X n λλ→∞=-=+∑．证明 由1X ,2X ,…,n X 独立同泊松分布，可见22212,,,n X X X …独立同分布，而且数学期望存在：222()i i i EX DX EX λλ=+=+．因此，根据辛钦大数定律，有2211lim n k n k P X n λλ→∞=-=+∑．二、中心极限定理5.4 某生产线生产的产品成箱包装，每箱的质量是随机的，假设每箱平均质量为50 kg ，标准差为5 kg ，若用最大载重量为5 t 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977．解 以i X (1,2,,)i n =…表示装运的第i 箱产品的实际重量，n 为所求箱数．由条件可以认为随机变量1X ,2X ,…,n X 独立同分布，因而总重量12n T X X X =+++…是独立同分布随机变量之和．由条件，知50,5i i EX DX σ===．因而50,5T ET n DT n σ===( kg)．由于随机变量1X ,2X ,…,n X 独立同分布且数学期望和方差都存在, 故根据中心极限定理,只要n 充分大，随机变量T 就近似服从正态分布2(50,[5])N n n ．由题意知所求n 应满足条件：50500050{5000}0.97755T n n P T P n n --⎧⎫≤=≤≥⎨⎬⎩⎭．由于当n 充分大时随机变量近似地)1,0(~550N nn T U -=，可见{2}0.977P U ≤≥．从而，有.21010005505000≥-=-=nn n n a n经试算：对于05.397==n a n ，；对于02.298==n a n ，；对于01.199==n a n ，．于是，应取98=n ，即最多只能装98箱．5.5 计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均3 min 使用一次打印机．假设各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10个终端同时使用打印机的概率α．解 由题意知，计算机有120n =个终端，而每一终端在某一时刻使用打印机的概率3600.05p ==．以X 表示同时使用的打印机终端数，则X 服从参数为(120 , 0.05)的二项分布，6(1) 5.7EX np DX np p ===-=，，标准差 2.39σ=．根据棣莫弗-拉普拉斯定理，X 近似服从正态分布(6 , 5.7)N ．因此，至少有10个终端同时使用打印机的概率6106{10} 2.39 2.391(1.67)10.95250.0475X P X P αΦ--⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭≈-≈-≈．5.6 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，假设它们的使用寿命相互独立，求这16只元件的寿命的总和大于1920 h 的概率．解 由条件知这种元件的寿命X 服从指数分布且100EX =(h)．因此，可以认为“X 服从参数为11000.01λ==的指数分布”．设1216,,,X X X …是随机取16只元件的寿命，可以视为16个独立参数0.01λ=指数分布的随机变量．根据列维-林德伯格中心极限定理，这16只元件的寿命的总和1216++S X X X =+… 近似服从正态分布22(,16)(1600,16100)N N λλ=⨯16。

考研数学一（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，Sn=X1+X2+...+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2， (X)A．有相同期望和方差．B．服从同一离散型分布．C．服从同一均匀分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X1，X2，…，Xn独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在．选项(A)不成立，因为X1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．知识模块：大数定律和中心极限定理2．假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A．X1，X2，…，Xn，…B．X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C．X1，2X2，…，nXn，…D．X1，Xn，…正确答案：C解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X1，…，Xn，…，还是X1+1，X2+2，…，Xn+n，…，X1，2X2，…，nXn，…以及X1，Xn，…都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EXn=λ，DXn=λ，E(Xn+n)=λ+n，D(Xn+n)=λ，E(nXn)=nλ，D(nXn)=n2λ，E，．因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差DX1，DXn，…有公共上界，即DXn＜c，c 是与n无关的常数．对于(A)：DXn=λ＜λ+1；对于(B)：D(Xn+n)=DXn=λ＜λ+1；对于(C)：D(nXn)=n2DXn=n2λ没有公共上界；对于(D)：Dλ＜λ+1．综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n →∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的数学期望．B．服从同一离散型分布．C．服从同一泊松分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1；独立同分布且数学期望存在．选项(A)缺少同分布条件，选项(B)、(D)虽然服从同一分布但不能保证期望存在，因此选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理4．设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A．B．C．D．正确答案：C解析：于Xn～B(n，，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理5．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3}≤，则一定有A．DX=2．B．P{｜X—EX｜＜3}＜C．DX≠2．D．P{｜X—EX｜＜3}≥正确答案：D解析：因事件{｜X—EX｜＜3}是事件{｜X—EX｜≥3}的对立事件，且题设P{｜X—EX｜≥3}≤，因此一定有P{｜X—EX｜＜3}≥，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为p的0-1分布，DX=pq＜1，显然DX≠2，但是P{｜X—EX｜≥3}=P{．因此(A)不成立．若X 服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有EX=4，DX=2．但是P{｜X—EX｜≥3} =P{｜X一4｜≥3} =P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此(B)也不成立．知识模块：大数定律和中心极限定理6．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的期望．B．有相同的方差．C．有相同的分布．D．服从同参数P的0-1分布．正确答案：D解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)．知识模块：大数定律和中心极限定理7．设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，记Yn=X2n一X2n－1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{Xn，n≥1}A．数学期望存在．B．有相同的数学期望与方差．C．服从同一离散型分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：B解析：由于Xn相互独立，所以Yn相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EXn=μ，DXn=σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意δ＞0有即依概率收敛到零．知识模块：大数定律和中心极限定理8．设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为极限的是A．B．C．D．正确答案：C解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E=nλ．D以Ф(x)为极限，故应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理9．设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1，…，n，则对任意ε＞0．根据切比雪夫不等式直接可得A．B．C．D．正确答案：C解析：由题意知EXi=0，i=1，…，n．记．根据切比雪夫不等式，有故选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理填空题10．将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_________．正确答案：解析：以Xk(k=1，2，3，4)表示第k次掷出的点数，则Xk独立同分布：P{Xk=i}=(i=1，2，…，6)．所以又由于X=X1+X2+X3+X4，而Xk(k=1，2，3，4)相互独立，所以因此，根据切比雪夫不等式，有P{10＜X＜18}=P{一4＜X一14＜4}=P{｜X一14｜＜4}=P{｜X—EX｜＜4}≥1一知识模块：大数定律和中心极限定理11．设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率P{μ一4＜＜p+4}≥__________，其中正确答案：解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有E．应用切比雪夫不等式，有即P{μ一4＜知识模块：大数定律和中心极限定理12．已知随机变量X与Y的相关系数ρ=，且EX=EY，DX=DY，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X—Y｜≥≤_________．正确答案：解析：由于E(X—Y)=EX—EY=0，D(X—Y)=DX+DY一2Cov(X，Y)=DY+DY 一2.ρ所以知识模块：大数定律和中心极限定理13．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于__________．正确答案：7／2解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：大数定律和中心极限定理14．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2)，记Yn=X2n－X2n－1，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于_________．正确答案：2σ2解析：由于{Xn，n≥1}相互独立，故Yn=X2n一X2n－1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，所以{，n≥1}独立同分布且=DYn+(EYn)2=2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．知识模块：大数定律和中心极限定理15．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则Xi≤1)=__________(结果用标准正态分布函数Ф(x)表示)．正确答案：解析：由于Xn相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DXn=，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有知识模块：大数定律和中心极限定理16．设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=_________．正确答案：0．84解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率≈Ф(3)一Ф(一1)=Ф(3)一[1一Ф(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．知识模块：大数定律和中心极限定理17．设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥__________．正确答案：0．928解析：由于EX=4，DX=0．8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=1．8根据切比雪夫不等式．P{0＜X+Y＜10}=P{｜X+Y一5｜＜5}≥1一即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．知识模块：大数定律和中心极限定理18．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，EXi=μi，DXi=2，i=1，2，…，则当n→∞时，(Xi一μi)依概率收敛于__________．正确答案：0解析：由于X1，X2，…相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，…，DYi=2＜l(l＞2)，因此根据切比雪夫大数定律，当n→∞时(Xi一μi)依概率收敛于0．知识模块：大数定律和中心极限定理19．随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X1，X2，…，Xn，则当n→∞时Xi依概率收敛于__________；依概率收敛于__________．正确答案：3 11解析：依题意X1，…，Xn相互独立且有相同的概率分布：P{Xi=k}=(k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EXi=(1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，Xi依概率收敛于3．同理，(1+4+9+16+25)=11，当n→∞时依概率收敛于11．知识模块：大数定律和中心极限定理解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

大数定律及中心极限定理习题十五 大数定律及中心极限定理一、填空题1．随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立，且它们服从参数为2的指数分布，则当∞→n 时， 211∑=ni i X n 依概率收敛于 。

2．随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立，且它们服从参数为λ的泊松分布，则}{1lim x n n X P n i i n ≤-∑=∞→λλ= 。

3．设n Y 表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b Y a P n 。

二、选择题1．设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，n X 服从参数为n 的指数分布),2,1(Λ=n 。

则下列选项中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是（ ）。

A 、 ΛΛ,,,,21n X X X B 、ΛΛ,,,2,2221n X n X XC 、 ΛΛ,1,,21,21n X nX X D 、ΛΛ,,,2,21n nX X X 2．设随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，其分布函数为：)0(arctan 1)(≠+=b b x a x F π 则辛钦大数定律对此序列（ ）。

A 、适用B 、当常数a,b 取适当数值时适用C 、不适用D 、无法判断3．设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量，∑==n i i n XS 1，则根据独立同分布的中心极限定理，当n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要n X X X ,,,21Λ（ ）。

A 、有相同的数学期望B 、有相同的方差C 、服从同一指数分布D 、服从同一离散型分布三、设某工厂生产的零件的合格品率为90%。

1．如果每箱装100个零件，求其中合格品数不少于95个的概率；2．为了以0.99 的概率保证每箱中的合格品数不少于95个，每箱应装多少个零件？四、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？五、掷一均匀硬币时，需掷多少次才能保证正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9。

大数定律与中心极限定理作业班级： 姓名： 学号：一、选择题（每小题4分，共8分）1、 已知随机变量i X 是独立同分布的随机变量序列，且1,2,...,01i p =<<，令1nn i i Y X ==∑，()x Φ为标准正态分布函数，则()lim 11n n Y np P np p →∞⎧⎫-⎪⎪≤=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭（ ）A 、0B 、()1ΦC 、()11-ΦD 、12、设随机变量1250,,...X X X 相互独立，且i X 服从泊松分布()0.1,1,2,...50P i =则501ii X=∑近似服从（ ）A 、()5,5NB 、11,55N ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、15,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、10.1,500N ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题4分，共12分）3、设随机变量X ～[]0,1U ，由切比雪夫不等式可得相1123P X ⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭。

4、设随机变量12,,...,...n X X X 独立同分布，2,0i i EX DX μσ==>，则对于任意实数x ，1lim n i i n X n P x n μσ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑ 。

5、设随机变量X ～()100,0.2B ，应用中心极限定理可得i X0 1 p1p -p{}30P X ≥≈ （()2.50.9938Φ=）。

三、解答题（每小题10分，共60分）6、某市有50个无线寻呼台，每个寻呼台在每分钟内收到的电话呼叫次数服从参数0.05λ=的泊松分布，求该市在某时刻一分钟内的呼叫次数的总和大于3的概率。

附表：()0.31620.6255Φ=，()0.32620.6293Φ=。

7、设某供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而所有电灯开或关是彼此独立的，试用切比雪夫不等式估计同时开着的灯数在6800到7200的概率。

8、对敌人的阵地进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望是2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

中心极限定理练习题中心极限定理是概率统计中非常重要的一条理论，能够帮助我们更好地理解和分析随机现象。

本文将给出一些中心极限定理的练习题，供读者参考和练习。

1. 某市的公交车到达某一站点的时间服从均值为5分钟、标准差为2分钟的正态分布。

现在有100辆公交车陆续到达该站点，请问这100辆公交车的总等候时间的均值和标准差分别是多少？2. 某餐厅的顾客消费金额服从均值为50元、标准差为10元的正态分布。

假设今天有100位顾客光顾该餐厅用餐，请问这100位顾客总消费金额的均值和标准差分别是多少？3. 某工厂生产的产品长度服从均值为30厘米、标准差为2厘米的正态分布。

现在从该工厂随机抽取了100个产品进行质检，请问这100个产品的平均长度和标准差分别是多少？4. 从某超市购买的苹果重量服从均值为200克、标准差为20克的正态分布。

现在随机抽取了100个苹果，请问这100个苹果的平均重量和标准差分别是多少？5. 某公司员工的月工资服从均值为5000元、标准差为1000元的正态分布。

现在从该公司随机抽取了100名员工，请问这100名员工的平均工资和标准差分别是多少？以上是一些关于中心极限定理的练习题，通过计算均值和标准差，可以更好地理解中心极限定理的应用。

在实际应用中，中心极限定理在样本量大且满足一定条件的情况下，能够帮助我们推断总体的统计特征。

请读者根据题目给出的条件，利用中心极限定理的公式进行计算，并得出相应的结果。

在计算过程中，可以使用统计软件或计算器来帮助完成。

通过练习中心极限定理的应用，可以加深对该定理的理解，并帮助我们在实际问题中更好地应用和分析数据。

掌握中心极限定理的应用，对于数据分析和统计推断都非常重要。

希望以上练习题能够对读者有所帮助，加深对中心极限定理的理解。

通过不断练习和应用，我们能够更好地掌握该定理，并在实际问题中灵活运用。