大数定律和中心极限定理习题和例题

第五章 大数定律与中心极限定理〔练习题〕1.随机的掷6个骰子，利用切贝谢夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率.解：设i ξ为第i 个骰子出现的点数(1,2,3,4,5,6)i =，它们相互独立.ξ为6个骰子出现的点数之和，即1ki i ξξ==∑.那么有1234562166i E ξ+++++==， 2222112112113512666666612i D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故21E ξ=，352D ξ=.由切贝谢夫不等式得 2351352(1527)(216)10.514672P P ξξ-<<=-<≥=-≈. 2.一本300页的书中每页印刷错误的个数服从参数为0.2的普哇松分布，求这本书的印刷错误总数不多于70的概率.解：设第i 页的印刷错误个数为(1,2,,300)i i ξ=，那么0.2i E ξ=，0.2i D ξ=且i ξ相互独立，故所求概率为()300000170 1.290.90153i i P ξ=⎛⎫⎛⎫≤≈Φ=Φ=Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑. 3.对敌人阵地进展1000次炮击，炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率近似值.解：设第i 次炮击击中颗数为(1,2,,1000)i i ξ=，有0.4i E ξ=， 3.6i D ξ=那么有1000000010113804203312120.629310.25863i i P ξ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫<≤≈Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭∑ 4.某电教中心有100台彩电，各台彩电发生故障的概率为0.02，每台彩电工作是相互独立的.试分别用二项分布、普哇松分布和中心极限定理计算彩电出故障台数不少于1的概率.解：〔1〕根据题意设(100,0.02)B ξ，那么有100(1)1(0)1(0.98)0.8674P P ξξ≥=-==-=〔2〕根据普哇松定理，100n =，0.02p =，2np =，那么有2(1)1(0)10.8647P P e ξξ-≥=-==-=〔3〕根据中心极限定理，有0001(1)111(0.7143)0.7641.4P ξ-⎛⎫≥≈-Φ=-Φ=-Φ-= ⎪⎝⎭ 5.设(1,2,,50)i i ξ=是相互独立的随机变量，它们都服从参数为0.02的普哇松分布.利用中心极限定理计算5012i i P ξ=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑. 解：设501i i ξξ==∑，因为0.02i E ξ=，0.02i D ξ=，故1E ξ=，1D ξ=，那么有500012(2)11(1)10.84130.1587i i P P ξξ=⎛⎫≥=≥≈-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭∑ 6.某车间有200台机床，它们独立工作且开工率各为0.6，开工时耗电各为1kW.问供电所至少要供应这个车间多少电力，才能以99.9℅的概率保证这个车间不会因供电缺乏而影响生产？解：设m 为某时刻工作着的机床台数，200n =，0.6p =，某时刻m 台机床工作，需耗电m kW.设供电数为r kW ，根据题意有 ()0.999P m r ≤≥而又有00()P m r ≤≈Φ=Φ故00.999Φ≥查表可得3.1≥ 所以141r ≥.因此，假设向该车间供电141kW ，那么由于供电缺乏而影响生产的概率小于0.001.。

CH5大数定律及中心极限定理--练习题第一篇：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题CH5 大数定律及中心极限定理1.设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=⎨100⎧1,事件A发生；⎩0,事件A不发生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100相互独立。

令Y=∑i=1Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）y-804A.Ф(y)2.从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒,则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为.(已知φ(0.67)=0.7486)3.设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且i=1，2…，0nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)Yn=∑i=1⎧⎪Xi,n=1，2，Λ.Φ（x）为标准正态分布函数，则limP⎨n→∞⎪⎩⎫⎪≤1⎬=（）np(1-p)⎪⎭Yn-npA．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．14.设5.设X服从(-1,1)上的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计6.设7.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报纸的概率为0.2，且他们买报纸与否是相互独立的。

试求报童在想100为行人兜售之后，卖掉报纸15到30份的概率8.一个复杂系统由n个相互独立的工作部件组成，每个部件的可靠性（即部件在一定时间内无故障的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使得整个系统工作。

问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.959.某人有100个灯泡，每个灯泡的寿命为指数分布，其平均寿命为5小时。

他每次用一个灯泡，灯泡灭了之后立即换上一个新的灯泡。

求525小时之后他仍有灯泡可用的概率近似值相互独立的随机变量，且都服从参数为10的指数分布，求的下界是独立同分布的随机变量，设, 求第二篇：ch5大数定律和中心极限定理答案一、选择题⎧0,事件A不发生1.设Xi=⎨(i=1,2Λ,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,Λ,X10000相互独立,令1,事件A发生⎩10000Y=∑X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）ii=1A.N(0,1)C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）{X-nμ<ε}≥εnσC．P{X-μ≥ε}≤1-εA．P2nσ{X-μ<ε}≥1-nεnσD．P{X-nμ≥ε}≤εB．Pσ23.设随机变量X的E（X）=μ,D(X)=σ2，用切比雪夫不等式估计P(|X-E(X)|≤3σ)≥（C）A.C.1 98 919121B.3D.14．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3D.1二、填空题1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则⎧n⎫X-nμ⎪⎪i⎪i=1⎪>x⎬=_对任意实数x，limP⎨n→∞nσ⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑___________.3.设随机变量X的E(X)=μ,D(X)=σ2,用切比雪夫不等式估计P(|X-E(X)|≤3σ2)≥ ___8/9________。

第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==, 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指{}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。

第五章 大数定律及中心极限定理练习题1. 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5 ,利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立试验中，事件A 发生的次数X 在600~400之间的概率.2. 每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次独立射击中有180发到220发炮弹命中目标的概率．3．设有30个同类型的电子器件3021,,,D D D ，若)30,,2,1( =i D i 的使用寿命服从参数为1.0=λ的指数分布，令T 为30个器件各自正常使用的总计时间，求}350{>T P ．4．在天平上重复称量一件物品,设各次称量结果相互独立且服从正态分布2(,0.2)N μ， 若以n X 表示n 次称量结果的平均值，问n 至少取多大，使得 {||0.1}0.05n P X μ-≥<．5．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率．6．某单位设置的电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用．7．计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(取为最接近于它的整数). 设所有的取整误差相互独立且都服从区间)5.0,5.0(-上的均匀分布.(1) 求在1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率.(2) 欲使误差总和的绝对值小于10的概率不小于%90，最多能允许几个数相加？8．设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为0.0001, 车辆间发生交通事故与否相互独立, 若在某个时间区间内恰有10万辆车辆通过, 试求在该时间内发生交通事故的次数不多于15次的概率的近似值..9．设某学校有1000名学生, 在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修的概率是0.05, 且设每个学生去阅览室自修与否相互独立. 试问该阅览室至少应设多少座位才能以不低于0.95的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座位？。

第六章 大数定律与中心极限定理习题一、 填空题1．设n ξ是n 次独立试验中事件A 出现的次数，P 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0>ε,有=≥-)(εξp n P n。

2．设随机变量ξ，E ξ＝μ,D ξ＝2σ，则≥<-)2(σμξP 。

3．设随机变量ξ的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(ξξE P 。

4．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 为极限这一类定理称为中心极限定理.5．将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。

6．在天平上重复称量一重为a 的物体,假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0(≥<-a X P n ,n 的最小值应不小于自然数 。

二、选择题1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布,则当∞→n 时，≈<<)(b a P ξ（ )。

(A ）)()(a b Φ+Φ （B ）)()(00a b Φ+Φ （C))()(a b Φ-Φ （D ）1)(20-Φb2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，npq np-ξ一定服从（ ）。

(A)正态分布。

( B)标准正态分布。

（C ）普哇松分布。

( D ）二项分布。

三、计算题1.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1。

5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0。

5)上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2）多少个数加在一起时的误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？3。

已知某工厂生产一大批无线电元件，合格品占61，某商店从该厂任意选购6000个这种元件，问在这6000个元件中合格品的比例与61之差小于1％的概率是多少？ 4.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克,标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第五章 大数定律与中心极限定理一、选择题：1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ ［ A ]（A ）0= (B ）1= （C)0> (D ）不存在2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ]（A){11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥(C){|1|1}0.9P X +≥≤ (D){|}1}0.1P X ≥≤3．121000,,,X X X 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 ［ D ]（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B)10001{}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ (C)10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）10001{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑二、填空题：1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤三、计算题:1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ,均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==5000500011()50000.52500,()50000.0150.i i i i E X DX ===⨯==⨯=∑∑5000500012500(2510)110.92070.0793.i i i X P X P =->=>≈-Φ≈-=∑∑2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。

第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,,Λ21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i Λ218===ξμξ对于∑==ni in 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==L , 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i ===L 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,,Λ21为相互独立的随机变量序列，且),,(Λ21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=L , 那么, 对于任 一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X L 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指 {}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。

大数定律与中心极限定理习题第五章大数定律与中心极限定理习题 1.用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率:(1) 废品率为0.03 ，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

(2) 200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和生女孩的概率均为佳0.5)。

2(用推论计算上题的概率。

X,X,？,XX12ni3(如果是n个相互独立，同分布的随机变量，E()=μ，n1X,X,iD(X),8ni,1iX(i=1,2,…,n)，对于，写出所满足的切贝谢夫不等式，并估计P(X,,,4)。

4(一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，估计P{10,X,18}5.袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为本100g ，标准差为本10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5 kg 的改率。

6(用拉普拉斯定理的推论近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率。

7(生产灯泡的合格率为0.6 ,求10000个灯泡中合格灯泡数在5800 ~6200 的概率。

8(从大批发芽率为0.9 的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88 的概率。

9(某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7 ,假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15 个单位。

问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。

10(一大批种蛋中，良种蛋占80% ，从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81% 的概率。

11(某商店负责供应某地区1000人商品。

某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6 ,假定在这一段时间各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件)。

12(一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。

〖填空题〗例5.1（棣莫佛-拉普拉斯定理） 设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理{}≈≤≤105X P．分析 不能承受试验而烧毁的元件数X ～),(p n B ．根据棣莫佛-拉普拉斯定理，X 近似服从正态分布),(npq np N ，其中n =100，p =0.05，q =0.95．因此{}．4890.0)0()29.2(29.275.45075.451075.450105105=-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤ΦΦX X npq np npq np X npq np X P P P P例5.2（棣莫佛-拉普拉斯定理）设试验成功的概率p =20%，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率Q ≈ ．分析 以n ν表示100次独立重复试验成功的次数，则)20.0 100(~，B nν，且4)1(20=-===p np np n n ννD E ，．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率{}[][]，84.08413.019987.0)1(1)3()1()3(42032420420163216=--=--=--≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤=ΦΦΦΦννn n Q P P 其中)(u Φ是标准正态分布函数．例5.3（棣莫佛-拉普拉斯定理） 将一枚均匀对称的硬币接连掷10000次，则正面恰好出现5000次的概率≈α．分析 正面出现的次数ν)5.0 , 10000(~B ，2500,5000==ννD E ．根据局部定理，有008.025012D 1}5000{≈=≈==ππνναP ．例5.10（辛钦大数定律） 将一枚色子重复掷n 次，则当∞→n 时，n 次掷出点数的算术平均值n X 依概率收敛于 7/2 ．分析 设n X X X ,,,21 是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于7/2．因此，根据辛钦大数定律，n X 依概率收敛于7/2．5.2. （1）121；（2）90；（3）21；（4）))((λλ-Φx n〖选择题〗例5.11（中心极限定理） 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，n n X X X S +++= 21，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n 充分大时n S 近似服从正态分布，只要n X X X ,,,21(A) 有相同期望和方差． (B) 服从同一离散型分布．(C) 服从同一指数分布． (D) 服从同一连续型分布． [ C ]分析 应选（C ）．列维-林德伯格中心极限定理的条件是：随机变量n X ,,X ,X 21相互独立同分布, 并且其数学期望和方差存在．由于有相同的数学期望未必有相同分布，可见(A)不满足定理条件．满足(B)和(D)的随机变量i X 的数学期望或方差未必存在，故(B)和(D)也不满足定理条件．于是，只有(C)成立(指数分布的数学期望和方差都存在)．例5.14（大数定律）下列命题正确的是(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律． (B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律． (C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律．(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律． [ C ]分析 应选（C ）．切比雪夫大数定律的条件是：随机变量 ,,,,21n X X X 两两独立，并且存在常数C ，使),,,2,1( n i C X i=≤D ；这样的常数C 对于选项（C ）存在．伯努利大数定律可以表述为：假设随机变量 ,,,,21n X X X 独立同服从参数为p 的0-1分布，则p X n ni i n =-∑=∞→11lim P ；对于服从参数为p 的0-1分布随机变量 ,,,,21n X X X ，显然),,,2,1(41)1( n i p p X i =≤-=D ．从而满足服从切比雪夫大数定律的条件．此外，（A ），（B ）和（D ）显然不成立．5.1. （1）A ；（2）C ；（3）C ；（4）A〖计算题〗例5.16（棣莫佛-拉普拉斯定理） 设n ν是n 次伯努利试验成功的次数，p (0<p <1)是每次试验成功的概率，n f n n ν=是n 次独立重复试验成功的频率，设n 次独立重复试验中，成功的频率f n 对概率p 的绝对偏差不小于Δ的概率{}α∆=≥-p f n P ． (5.10)试利用中心极限定理，(1) 根据∆和n 求α的近似值； (2) 根据α和n 估计∆的近似值； (3) 根据α∆和估计n ． 解 变量n ν服从参数为),(p n 的二项分布．记p q -=1，则由（5.7）知，当n 充分大时nν近似服从正态分布),(npq np N ．因此，近似地有{}{}，，～)1,0(~α∆ν∆ν∆να=≥≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=≥--u U pq n npqnp p n p f N npqnpU n n n n n P P P P(5.11)其中U 是服从)1,0(N 的随机变量，而αu 是)1,0(N 水平α双侧分位数(附表2)．故(5.12)(1) 已知n 和∆，求α．利用附表1，可以由（5.11）求出α的值(附表1)．例如，若(5.12)式左侧等于1.96，则05.0≈α．亦可由下式求α的近似值．有． 12 1 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=pq n pq n U pq n npq np n ∆Φ∆∆ναP P (5.13) 进而由)1,0(N 分布函数)(x Φ的数值表（附表1）最后求出α的值．(2) 已知n 和α，求∆．由（*）和41≤pq ，可见nu n pqu 2αα∆≤≈； (5.14) (3) 已知α和∆，求n ．由（5.12）和pq ≤1/4，可见2⎪⎭⎫⎝⎛≈∆αu pq n 或2241⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∆∆ααu pq u n ． (5.15)例5.17（棣莫佛-拉普拉斯定理） 假设某单位交换台有n 部分机，k 条外线，每部分机呼叫外线的概率为p ．利用中心极限定理，解下列问题：(1) 设n =200，k =30，p =0.12，求每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α的近似值． (2) 设n =200，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，至少需要设置多少条外线？(3) k =30，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，最多可以容纳多少部分机？解 设n ν——n 部分机中同时呼叫外线的分机数，k ——外线条数，则n ν服从参数为(n , p )的二项分布，=np24，npq =21.12．当n 充分大时，根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地)1 ,0(~N npqnpU n n -=ν．(1) 设n =200，k =30，p =0.12，每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率{}()． 9049.031.112.21243012.21243030≈=⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=ΦΦνναnpqnp n n P P (2) 设n =200，p =0.12，k ——至少需要设置的外线条数，则{}．，； 31.562412.216449.1 1.644912.212495.012.212412.2124≈+⨯≥≥-≥⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=k k k k npq np k n n ΦνναP P即至少需要设置32外线．(3) 设k =30，p =0.12，且每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率≥α95%．由{}95.01056.012.0301056.012.03030≥⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=n n n n npq np n n ΦνναP P ， 6449.11056.012.030≥-n n．09004857.70144.0 6449.11056.012.0302=+-≥-n n nn，，它有两个实根：3310431,7972.18821==n n ；经验证33104312=n 为增根，由此得n ≈188.797，即最多可以容纳188部分机．例5.20（列维-林德伯格定理） 设n X X X ,,,21 是独立同分布随机变量，n X 是其算术平均值．考虑概率{}α∆μ=≥-n X P ， (5.16)其中μ=iX E ()n i .,2,1 =，()0>∆∆和α(0<α<1)是给定的实数．试利用中心极限定理，根据给定的，(1) ∆和n ，求α的近似值； (2) α和n ，求∆的近似值；(3)α∆和，估计n ．解 式（5.16）中的三个数),,(α∆n 相互联系又相互制约：其中的任意两个可以完全决定第三个．不过，明显地表示出它们之间的关系一般并不容易．假如n 充分大，则利用（5.9）式可以（近似地）表示出α∆,,n 之间的关系．易见μ=nX E ，X n 2σ=D ．(1) 已知∆和n ，求α-1的近似值：{}⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-=-σ∆Φσ∆Φσ∆σμ∆μαn n n n X X n n P P 1． (2) 已知α和n ，求∆的近似值．由(5.17)式可得nu σ∆α ≈．(3) 已知α∆和，求n 的近似值．由(5.18)有2⎪⎭⎫⎝⎛≈∆σαu n ．例5.21（列维-林德伯格定理） 某保险公司接受了10000电动自行车的保险，每辆每年的保费为12元．若车丢失，则车主得赔偿1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1) 亏损的概率α；(2) 一年获利润不少于40000元的概率β； (3) 一年获利润不少于60000元的概率γ．解 设X 为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为X Y1.0=（万元）；保费总收入C =12万元．易见，随机变量X 服从参数为（n ，p ）的二项分布，其中 n =10000，p =0.006；60==np X E ，)1(p np X -=D =59.64．由棣莫佛-拉普拉斯定理知，随机变量X 近似服从正态分布)64.59,60(N ；随机变量Y 近似服从正态分布)5964.0,6(N ．(1) 保险公司亏损的概率{}0)77.7(177.75964.065964.06125964.0612≈-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>=ΦαY Y Y P P P ．(2) 保险公司一年获利润不少于4万元的概率{}{}．9952.0)59.2(5964.0685964.068412=≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=≥-=ΦβY Y Y P P P (3) 保险公司一年获利润不少于6万元的概率{}{}．5.0)0(05964.066612=≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=≤=≥-=ΦγY Y Y P P P例5.22（棣莫佛-拉普拉斯定理） 假设伯努利试验成功的概率为5%．利用中心极限定理估计，进行多少次试验才能以概率80%使成功的次数不少于5次．解 设n 是所需试验的次数，每次试验成功的概率p =0.05．以n ν表示n 次伯努利试验成功的次数，则),(~p n B nν，npq np n n ==ννD E ，，其中p q -=1；由棣莫佛-拉普拉斯定理，知对于充分大的n ，随机变量n ν近似服从正态分布),(npq np N ．查)1,0(N 分位数表，可见()()8416.018416.080.0--==ΦΦ．因此{}()．8416.01)1(51)1(5)1(5.080.0--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≥--=≥=ΦΦννp np np p np np p np np n n P P．，），（025)8416.010()1(8416.058416.0)1(522222≈++--≈--≈--n n p p np np p np np将05.0=p 代入上列方程，的关于n 的一元二次方程：0255354.00025.02≈+-n n ，其根为79.6837.14521==n n ，．经验证79.682=n 为增根，舍去2n ，取37.1451461=>=n n ．于是，至少需要进行146次试验才能以概率80%保障成功的次数不少于5次．例5.26（列维-林德伯格定理） 生产线组装每件产品的时间服从指数分布．统计资料表明，每件产品的平均组装时间为10分钟．假设各件产品的组装时间互不影响．试利用中心极限定理，(1) 求组装100件产品需要15到20小时的概率Q ；(2) 求以概率0.95在16个小时内最多可以组装产品的件数． 解 以)100,,2,1( =iX i 表示第i 件产品的组装时间．由条件知)100,,2,1( =i X i 独立同服从指数分布．由指数分布的数字特征和条件“每件产品的平均组装时间为10分钟”，可见10=i X E ；由于i X 服从指数分布，可见()2210==i i X X E D ．(1) 因为n =100充分大，故由列维-林德伯格定理，知100件产品组装的时间10021X X X T n +++= 近似服从()210100 10100⨯⨯，N ，因此{}．8156.0)8413.01(9973.0)1( )2( 21010010100112009002=--=--≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⨯⨯-≤-=≤≤=ΦΦT T Q n n P P(2) 16小时即960分钟．需要求满足{}95.0960=≤n T P 的n ．由列维-林德伯格定理，知当n 充分大时，n nX X X T +++= 21近似服从()nn N 210 10，，故由{}， 101096010109601010960950⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=n n n n n n T T .n n ΦP P 可见95.0)645.1( ≈Φ．因此645.11010960≈-nn． （*）由此得关于n 的一元二次方程09606025.1947010022≈+-n n ，其解为53.11318.8121≈≈n n ，，其中53.1132≈n 不满足式（*），因此53.1132≈n 为增根，故应舍去．于是，以概率0.95在16个小时内最多可以组装81~82件产品．例5.27（列维-林德伯格定理） 将n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，(1) 试当n =1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2) 估计数据个数n 满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n ．解 设)1500,,2,1( =iX i 是第i 个数据的舍位误差；由条件可以认为)1500,,2,1( =i X i 独立且都在区间]5.0 5.0[，-上服从均匀分布,从而12/10==i i X X D E ，．记n n X X X S +++= 21为n 个数据的舍位误差之和，则12/0n S S n n==D E ，．根据列维-林德伯格中心极限定理，当n 充分大时n S 近似服从)12/0(n N ，．记)(x Φ为)1,0(N 分布函数．(1) 由于12n S n近似服从标准正态分布，可见{}．1802.02)]34.1(1[34.112/150012/15001512/150015150015001500=⨯-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>ΦS S S P P P(2) 数据个数n 应满足条件：{}．90.012/1012/10=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤n n S S n n P P 由于12n S n近似服从)1,0(N ，可见51.4436449.11210 6449.112/102≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈，n ． 于是，当n >443时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于90%． 〖证明题〗例5.35（棣莫佛-拉普拉斯定理） 利用列维-林德伯格定理，证明棣莫佛-拉普拉斯定理．证明 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，同服从0-1分布；，，，，，npq S np S X X X S n i pq X p X n n n n i i ==+++====D E D E 21),,2,1(其中p q-=1． n X X X ,,,21 满足列维-林德伯格定理的条件：n X X X ,,,21 独立同分布且数学期望和方差存在，当n 充分大时近似地n n X X X S +++= 21～),(npq np N ．4.55（证明不等式） 设X 是任一非负（离散型或连续型）随机变量，已知X的数学期望存在，而0>ε是任意实数，证明不等式{}εεXX E P ≤≥．证明 (1) 设X 是离散型随机变量，其一切可能值为}{i x ，则{}．}{1}{}{}{11εεεεεεεXx X x x X x x Xx XX iiii x i i x i ix i x i E P P P P P ==≤=≤====≥∑∑∑∑≥≥≥(2) 设X 是连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，则{}．d )(1d )(1d )(0εεεεεεXx x f x x x f x x x f X E P ≤≤≤=≥⎰⎰⎰∞∞∞例4.00（切比雪夫不等式） 设事件A 出现的概率为=p 0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A 出现的次数在450到550次之间的概率α． 解 设n ν是1000次独立重复试验中事件A 出现的次数，则．，），，2505.010005005.010005.0 1000(~2=⨯==⨯=X X B n D E ν由用切比雪夫不等式，知{}{}．9.050250150|550|5504502=-≥≤-=≤≤=n n νναP P 例5.3. 设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，(1)利用切比雪夫不等式估计：X 落在以μ为中心，σ3为半径的区间 内的概率不小于多少？(2)如果已知),(~2σμN X ，对上述概率，你是否可得到更好的估计？解：（1）()()()0.88899131)3()3(222=-=-≥<-=<-σσσσμσX D X P X E X P （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-=<-DX DX X E X P X E X P σσ3)3( ()0.99743322=≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-=⎰∞--dt e DX X E X P t例5.4. 利用切比雪夫不等式来确定，当抛掷一枚均匀硬币时，需抛多少次，才能保证 正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%，并用正态逼近去估计同一问题。

5.第五章：⼤数定律与中⼼极限定理第五章练习题１.⼀复杂的系统由100个相互独⽴起作⽤的部件所组成,在整个运⾏期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作⽤,⾄少必须有85个部件正常⼯作,求整个系统起作⽤的概率.2.⼀复杂的系统由n个相互独⽴起作⽤的部件所组成,每个部件的可靠性为0.90,且必须⾄少有80%的部件⼯作才能使整个系统正常⼯作,问n⾄少为多⼤时才能使系统的可靠性不低于0.95?3.对敌⼈的防御地段⽤炮⽕进⾏100次射击,每次射击的炮弹命中数的数学期望为2,均⽅差为1.5,求当射击100次时有180颗到220颗炮弹命中⽬标的概率的近似值.(已知(1.33)=0.9082, (1.5)=0.9332,(2)=0.9772).4.某种电⼦元件使⽤寿命服从λ=0.1（单位（⼩时）的指数分布.⼀个元件损坏后,第⼆个接着使⽤.求100个这类元件总计使⽤时间超过900⼩时的概率.5.设某车间有200台同型机床，⼯作时每台车床60%的时间在开动, 每台开动时耗电1千⽡.问应供给该车间多少千⽡电⼒才能有0.999的把握保证正常⽣产？6.⽤切⽐雪夫不等式确定，当掷⼀均匀铜币时，需投多少次，才能保证正⾯出现的频率在0.4与0.6之间的概率不⼩于90%？并⽤正态逼近计算同⼀问题。

7.某公司有200名员⼯参加⼀种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8.试⽤中⼼极限定理计算这200名员⼯⾄少有150⼈通过考试的概率.8.欲测量两地之间的距离,限于测量⼯具,将其分成1200段进⾏测量.设每段测量误差(单位:千⽶)相互独⽴,且均服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布,试求总距离测量误差的绝对值不超过20千⽶的概率.（⽤中⼼极限定理）9.某宿舍有学⽣900⼈,每⼈在傍晚⼤约有10%的时间要占⽤⼀个⽔龙头,设每⼈需⽤⽔龙头与否是相互独⽴的,问该宿舍⾄少需要安装多少⽔龙头,才能以95%以上的概率保证⽤⽔需要.(已知(1.645) = 0.95, (1.28) = 0.90,(1.96)=0.975).10.已知⼀本书有500页，每⼀页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2).各页有没有错误是相互独⽴的，求这本书的错误个数多于88个的概率.11.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表⽰在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不⼩于14户且不多于30户的概率近似值.(利⽤棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.)12.某品牌家电三年内发⽣故障的概率为0.2,且各家电质量相互独⽴.某代理商发售了⼀批此品牌家电,三年到期时进⾏跟踪调查：（1）抽查了四个家电⽤户,求⾄多只有⼀台家电发⽣故障的概率；（2）抽查了100个家电⽤户,求发⽣故障的家电数不⼩于25的概率((2)利⽤棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.)证明题1. 利⽤中⼼极限定理证明:2.设随机变量X～f(x)=,其中n为正整数.证明：P{0＜x＜2(n+1)}≥如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。