(完整word版)概率论与数理统计教程习题(大数定律与中心极限定理)

第五章 大数定律和中心极限定理一、内容提要（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。

(){}()(){}().1,22εεεεX D X E X P X D X E X P -≤-≤≥-2. 切贝谢夫不等式的意义（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。

（2）不足之处为要计算(){}ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。

另外，利用本不等式估值时精确性也不够。

（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。

（二）依概率收敛如果对于任何ε＞0，事件{}ε a X n -的概率当n →∞时，趋于1，即{}1lim =-∞→ε a X P n n ，则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。

（三）大数定律 1. 大数定律的内容（1）大数定律的一般提法若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=∞→ε n i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。

（2）切贝谢夫大数定律设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即()().,,,2,1, n i C X D i =≤则对于任意的ε＞0，恒有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑∑==∞→ε n i ni i i n X E n X n P 。

1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知÷÷÷÷÷øöçççççèæ£-=÷÷÷÷÷øöçççççèæ´-£´-=£ååå===8.040016001001616001920100161600)1920(1616161i i i i i i X P X P X P.7881.0)8.0(=F =从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161=-=£-=>åå==i ii iXP XP3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：（1）设取整误差为X i （L ,2,1=i ，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。

于是： 025.05.0)(=+-==p X E i 12112)]5.0(5.0[)(2=--=i X D18.111251211500)(,0)(==´==i i X nD X nE þýüîí죣--=ïþïýüïîïíì£-=ïþïýüïîïíì>ååå===1515115115150011500115000i i i i i i X P X P X P ïïþïïýüïïîïïí죣--=å=18.111518.1118.1115115001i i X P1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]34.1()34.1([1=-´=F -=-F -F -=8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n 2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤ _______.解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XYρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3 所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02)由棣莫佛－拉普拉斯定理:)(2198.002.040002.0400lim 22x dt e x X P x t n Φ==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⨯⨯⨯-⎰∞--∞→π 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯--=≤-=≥98.002.0400798.002.040081)1(1)2(X P X P X P ≈ 1－Φ(－2.5) = Φ(2.5) = 0.9938.2. 设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解. 假设X 表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X ～B(10000, 0.7)由棣莫佛－拉普拉斯定理:)(217.03.010*******lim 22x dt e x X P xt n Φ==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⨯⨯-⎰∞--∞→π所以 )72006800(≤≤X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯-≤⨯⨯-=7.03.010000700072007.03.010********.03.01000070006800X P ≈ Φ(4.36)－Φ(－4.36) = 2Φ(4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999.。

概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第五章 大数定律及中心极限定理教学要求：一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式；三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率．重点：中心极限定理．难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理．综合练习题一、选择题1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且1,2,,i n = .令∑==ni i n X Y 1，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则()=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ⎧=⎨⎩事件不发生，事件发生，()100,,2,1 =i ，且()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy .3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==ni i n X n Z 11的概率分布近似服从（B ）.（A ）()4,2N ； （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 4,2； （C ）⎪⎭⎫⎝⎛n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2σ，令∑==ni i n X n Z 11，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 .2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥95. 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-3121X P 41. 5.设随机变量()2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中()()9938.05.2=Φ）三、应用题1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率.解：设⎩⎨⎧=台车床没有工作第台车床正在工作第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ，则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-≤-=≤≤16808616801680708670X P X P()()()()927.015.25.15.25.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ≈.2. 某计算机系统有120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少有10个终端同时使用打印机的概率.解：设,,0,1⎩⎨⎧=个终端没有使用打印机第个终端正在使用打印机第i i X i （120,,2,1 =i ），且()05.0,1~B X i ，则120个终端中同时使用打印机的台数为12021X X X X +++= ，且()6=X E ，()7.5=X D （其中12021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得:()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=<-=≥7.56107.56110110X P X P X P()0465.09535.0168.11=-=Φ-≈.３.设某产品的废品率为0.005，从这批产品中任取1000件，求其中废品率不大于0.007的概率.解：设1000件设产品的废品数为n μ，易知()005.0,1000~B n μ，则()()(),975.41,5=-===p np D np E n n μμ 相应的废品率为nnμ，()1000=n 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：当n 充分大时n μ近似地服从正态分布，于是由中心极限定理近似可得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤=⎪⎭⎫⎝⎛≤975.457975.457007.0n n n P P n P μμμ()8159.09.0=Φ≈.４.在掷硬币的试验中，至少掷多少次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间的概率不小于0.9？解：设A n 表示n 次试验中正面出现的次数，;.0.1⎩⎨⎧=次试验中出现反面第次试验中出现正面第i i X i （n i ,,2,1 =），显然()5.0,~21n B X X X n n A +++= （其中n X X X ,,,21 独立同分布），()(),25.0,5.0n n D n n E A A ==于是正面出现的频率nn A应满足9.06.04.0≥⎪⎭⎫⎝⎛<<n n P A .从而由中心极限定理知：()n n n P n n P A A 6.04.06.04.0<<=⎪⎭⎫⎝⎛<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<-<-=n n n n n n n n n P A 25.05.06.025.05.025.05.04.0()()()12.022.02.0-Φ=-Φ-Φ≈n n n , 要使9.06.04.0≥⎪⎭⎫⎝⎛<<n n P A ，只要()9.012.02≥-Φn ，即()95.02.0≥Φn .反查表可得65.12.0≥n ，即06.68≥n ，所以至少掷69次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间的概率不小于0.9.５.设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有85个以上的部件正常工作，才能保证系统正常运行，求整个系统正常工作的概率.解：设X 为100个相互独立的部件中正常工作的部件数，则()9.0,100~B X ，()()(),91.09.01001,909.0100=⨯⨯=-==⨯==p np X D np X E 整个系统正常工作的概率为()85>X P .由中心极限定理知：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=≤-=>99085990185185X P X P X P9525.035351=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-≈. ６.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木材中随机抽取100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？解：设X 为100根木柱中长度小于3米的根数，易知()2.0,100~B X ，()(),16,20==X D X E 则所求问题为()30≥X P ，由中心极限定理知：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=<-=≥1620301620130130X P X P X P()0062.09938.015.21=-=Φ-≈.7.某车间有同型号机床200台，它们独立地工作着，每台开动的概率均为0.7，开动时耗电均为1.5千瓦，问电厂至少要供给该车间多少电力，才能以99..5%的概率保证用电需要？解：设⎩⎨⎧=台机床没有工作第台机床正在工作第i i X i .0.1（200,,2,1 =i ），且()7.0,1~B X i ，记X 某时刻正在工作的机床数，则20021X X X X +++= ，()(),42,140==X D X E 于是某时刻该车间的耗电数为X Y 5.1=千瓦.设供给该车间的电力数为α千瓦，则问题要求是()995.0=≤αY P ，由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤=≤5.15.1αααX P X P Y P995.0421405.1421405.142140=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-=ααX P , 查标准正态分布表，得58.2421405.1=-α，即 235=α.所以电厂至少要供给该车间235千瓦的电力，才能以%5.99的概率保证用电需要.。

第四章大数定律与中心极限定理4.1 设为退化分布：讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？解：（1）（2）不是；（3）是。

4.2 设分布函数如下定义：问是分布函数吗？解：不是。

4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。

证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有（1）这时存在，使得当时有（2）成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有（3）（4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，结论得证。

4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。

证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。

4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：（1）；（2）。

证：（1）因为故即成立。

（2）先证明这时必有。

对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立.这时有从而有由的任意性知，同理可证，由前述（1）有故，结论成立。

4.7 设随机变量序列，是一个常数，且，证明。

证：不妨设对任意的，当时有，因而。

于是有。

结论成立。

4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：证：充分性，令，则，故是的单调上升函数，因而，于是有对任意的成立，充分性得证。

必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有，由的任意性知，结论为真。

4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，，证明也按分布收敛于。

证：先证明按分布收敛于。

时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，，，的分布函数分别记作，，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有成立，结论为真。

由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。

4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。

证：记的分布函数分别为，则的分布函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有（1）由于F(x)在只能有有限个间断点，可取，使得都是的连续点，这时存在，当时有（2）（3）对取定的，存在，当时有（4）于是当时，由（1），（2），（4）式有又因为于是由（1），（3），（4）式有（6）由（5），（6）两式可得由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。

习题10 (切比雪夫不等式)•填空题1.设随机变量X的数学期望E(X) ,方差D(X) 2,则由切比雪夫不等式，得P(X 3 )2.随机掷6枚骰子，用X表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得P(15 X 27)3.若二维随机变量(X,Y)满足，E(X) 2，E(Y) 2，D(X) 1，D(Y) 4，R(X,Y) 0.5，则由切比雪夫不等式，得P(X 丫 6)4.设X1, X2， ,X n，是相互独立、同分布的随机变量序列，且E(X i) 0, D(X i) 一致有n界(i 1,2, ,n,)，则lim P( X i n) .ni 1二•选择题1.若随机变量X的数学期望与方差都存在，对 a b，在以下概率中，( )可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。

①P(a X b)；②P(a X E(X)b)；③P( a X a)；④P(X E(X)b a).12.随机变量X服从指数分布e()，用切比雪夫不等式估计P(X | -) ( )①；②2③4；④-.)1.lim P(nX i 2三•解答题1.已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若 E(X) 7300,D(X ) 7002，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。

2.如果X-X 2, ,X n 是相互独立、同分布的随机变量序列，E(X i )3.设X i ，X 2， ,X n ，是相互独立、同分布的随机变量序列,E(X i 4)存在，且一致有界(i 1,2, ,n,).对任意实数 0，证明D(X i )8 (i 1,2, ,n) •记 XX i ， 由切比雪夫不等式估计概率p(X 4).E(X i ) 0，D(X i )•填空题1.若随机变量X 服从正态分布 N(2,4)，则P(X 3)P(0 X 4) ________________ ，P(X 1)5.随机变量X 1,X 2相互独立，且都服从标准正态分布，记丫 2 3X 1 4X 2，则丫概率密度f Y (y)_________________ . ________________•选择题6.若随机变量 X 1,X 2 ,,X n 相互独立，且X i ~ N(,2) (i 1 n1,2, ,n),则 D(— X i )n i 1( )①2 ；②n2; ③2/n ；④2/n 2.7.若随机变量 X,Y 相互独立, 且都服从正态分布N(:,2).设X Y ,X Y ，则cov(,)( ).①2 2 ;②1 ;③ 1;④0.X Y8.若随机变量 X,Y 满足 X ~ N(1, 32) , Y ~ N(0, 42) , R(X,Y) 1/2，则 D( ) 3 2( ).④2.11 (特征函数)2.若随机变量X ~ N (2)，且 P(X c) P(X c)，则 c3.若随机变量X ~ N(2, 2)，且P(2 X4) 0.3，则 P(X 0)4.若X 服从正态分布 N ( 2)，记 P( k X当 0.9时，k，当 0.95 时，k•解答题1.某种电池的寿命X (单位：h )服从正态分布N(300, 352) . (1)求寿命大于250小时的概率，(2)求x，使寿命在300 x之间的概率不小于092.测量某一目标的距离时，随机误差X ~ N(0, 402)(单位：m)(1)求P(X 30)，(2)若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第五章 大数定律与中心极限定理一、选择题：1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ ［ A ]（A ）0= (B ）1= （C)0> (D ）不存在2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ]（A){11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥(C){|1|1}0.9P X +≥≤ (D){|}1}0.1P X ≥≤3．121000,,,X X X 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 ［ D ]（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B)10001{}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ (C)10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）10001{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑二、填空题：1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤三、计算题:1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ,均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==5000500011()50000.52500,()50000.0150.i i i i E X DX ===⨯==⨯=∑∑5000500012500(2510)110.92070.0793.i i i X P X P =->=>≈-Φ≈-=∑∑2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。

第五章 大数定律与中心极限定理§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理一、填空题1．设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-≥≤ 1/9 ； 2．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，且()i E X μ=，()8i D X =，(1,2,,)i n =， 则由切比雪夫不等式有{}||P X με-≥≤28n ε 。

并有估计{}||4P X μ-<≥ 112n-； 3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且都服从参数为 的泊松分布，则 1lim n i i n X n P x n λλ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ ()x Φ ；4．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和3，方差分别为1和4,而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，{||6}P X Y +≥≤；解：因为 ()()()220E X Y E X E Y +=+=-+=,cov(.)()()0.5141XY X Y D X D Y ρ==-=-， ()()()2cov(.)142(1)3D X Y D X D Y X Y +=++=++⨯-=，故由切比雪夫不等式,231{||6}{|()0|6}612P X Y P X Y +≥=+-≥≤=. 5．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则n →∞时，211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于 。

解:因为 11(),(),(1,2,,)24i i E X D X i n ===，所以 22111()()()442i i i E X D X E X =+=+=,故由辛钦大数定律，对0ε∀>,有{}2111lim ()lim 12n n n i n n i P Y E Y P X n εε→∞→∞=⎧⎫-<=-<=⎨⎬⎩⎭∑,即 211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于21()2i E X =。

考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理(总分：48.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.设随机变量X1，X2，…，X n，…独立同分布，EX i=μ(i=1，2，…)，则根据切比雪夫大数定律，X1，X2，…，X n，…依概率收敛于μ，只要X1，X2，…，X n，…（分数：1.00）A.共同的方差存在．B.服从指数分布．C.服从离散型分布．D.服从连续型分布．2.假设天平无系统误差．将一质量为10克的物品重复进行称量，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于1的概率近似等于10克”，其理论根据是（分数：1.00）A.切比雪夫大数定律．B.辛钦大数定律．C.伯努利大数定律．D.中心极限定理．3.下列命题正确的是（分数：1.00）A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律．B.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律．C.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律．D.由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律．4.设X1，…，X n…是相互独立的随机变量序列，X n服从参数为n的指数分布(n=1，2，…)，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________5.假设随机变量序列X1，…，X n…独立同分布且EX n=01.00）A.B.C.D.6.设X n，n≥1为相互独立的随机变量序列且都服从参数为λ的指数分布，则1.00）__________________________________________________________________________________________7.设随机变量X1，…，X n-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S n近似服从正态分布，只要X1，…，X n1.00）A.B.C.D.8.假设X1，…，X n，…为独立同分布随机变量序列，且EX n=0，DX n=σ21.00）A.B.C.D.9.假设X n，n≥1n充分大时，可以用正态分布作为S n的近似分布，如果1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：4.00)10.设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理P5≤X≤10≈______．（分数：1.00）填空项1:__________________11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1.00）填空项1:__________________12.设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布， 1.00）填空项1:__________________13.设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4则数：1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：7，分数：35.00)14.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中，当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去，已知每个元件进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用．(假定一年按2000个工作小时计算，Ф(1.64)=0.95．)（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 15.假设每人每次打电话通话时间X(单位：分)服从参数为l的指数分布，试求800人次通话中至少有3次超过6分钟的概率α，并利用泊松定理与中心极限定理分别求出α的近似值(e-2=0.1353，e-6=0.00248，Ф(0.707)=0.7611，Ф(1.41)=0.9207)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________16.假设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为λ与μ 5.00）__________________________________________________________________________________________17.编号为1，2，3的三个球随意放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒仅放一个球，令X i数：5.00）__________________________________________________________________________________________18.已知随机变量X，Y的概率分布分别为 5.00）__________________________________________________________________________________________19.已知随机变量X与Y0-1分布，即5.00）__________________________________________________________________________________________20.下列表格给出二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘分布的部分值，并已知试将其余数值填入空白处．5.00）__________________________________________________________________________________________。

第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n 211- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i == , 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1⎰∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<= , 那么, 对于任 一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指 {}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。