加倍数学 第1页共10页 椭圆方程的求法 椭圆是圆锥曲线中的重头戏，在高考试题中常以压轴题的身份出现，就说明了一切.对于这一曲线，许多学生不明白，看起来多么惹人爱，做起来咋就那么多的坑.椭圆解答题中第（1）问，常常是求椭圆的方程，竟然做不出来，让人倍感伤心.这里整理部分常见求椭圆方程问题，希望能给大家带来帮助. 题组一：直接法 直接法指根据椭圆定义或结合椭圆方程特点利用待定系数法求椭圆方程，这类问题相对比较简单，只是在具体运算中注意一下，不要出现计算迂回，浪费时间. 例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________. 解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其 中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2 ＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 x 225＋y 216 ＝1 练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212 ＝1 解析：椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13 ·2a ＝2，得c ＝1， 因此，b 2＝a 2－c 2 ＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1. 练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24 ＝1 解析 由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a ，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆 C 的方程为x 24＋y 23 ＝1.
椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 求椭圆的标准方程 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； . (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． . 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B ? ?? ??12，3. 3、已知一椭圆的标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程． 4、已知椭圆过点P ? ????35，－4和点Q ? ?? ??－45，3，则此椭圆的标准方程是( A ) ＋x 2＝1 ＋y 2＝1或x 2＋y 2 25＝1 ＋y 2＝1 D ．以上都不对 5、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63 ； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 6、中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ? ????1，432，N ? ?? ??－322，2两点． 求椭圆的标准方程； 7、求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 答案： 1、（1）x2 25 ＋ y2 9 ＝1（2） y2 4 ＋x2＝1（3） x2 15 ＋ y2 5 ＝1 2、（1）x2 16 ＋ y2 12 ＝1（2）x2＋ y2 4 ＝1 3、当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 25 ＋ y2 9 ＝1. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为x2 9 ＋ y2 25 ＝1. 4、A 5、（1）若焦点在x轴上，椭圆的方程为x2 9 ＋ y2 3 ＝1. 若焦点在y轴上，椭圆的方程为y2 27 ＋ x2 9 ＝1. （2）x2 32 ＋ y2 16 ＝1. 6、x2 9 ＋ y2 4 ＝1 7、x2 9 ＋y2＝1 8、x2 12 ＋ y2 9 ＝1或 x2 9 ＋ y2 12 ＝1 椭圆标准方程的求法举例 一、定义法 例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。 解：连结AN ，由NM NA = ，得NC NA NC NM CM +=+==， 而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆， 设为22 221(0)x y a b a b +=>> ，2a =，22c =， 所以a =1c = ，21b =。因此，所求轨迹方程为2 212x y +=。 评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ． 二、待定系数法 例2 ．已知椭圆的焦距离为 ，求焦点在x 轴上时，它的标准方程． 解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22 221x y a b +=(0)a b >>， 由题意得2222321a b a b ?+=???-? ，，解之得2293.a b ?=??=??，因此，所求方程为22193x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程． 三、轨迹法 例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =- ，求动点P 的轨迹方程． 解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合 ()PA M P x y d ??==????? ，| =． 将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=?，即22 11314 x y +=为所求． 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤． 四、奇思妙解法 例4 ．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1 (02)2A B ? ?，， 求 高中数学 【求椭圆方程专题练习】 题型一 已知椭圆求方程----设列解答求方程 1C ) 0(12 2 22 >>=+b a b y a x )1,3(P 36椭圆： 过点且离心率为 ：E 122 22=+b x a y ()0>>b a () 0,3A ()2,0B 2椭圆 经过点和点 3椭圆过点，且离心率 4椭圆C 22221(0)x y a b a b +=> >2：的离心率为，且在x 轴上的 顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0) 5椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离 的最大值为3；最小值为1 6椭圆C 的中心在原点，焦点在x 2 4x y =轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦 5点，离心率等于 。 7椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，坐标原点到直线的距离为． 8. F 1、F 2分别为椭圆C )0(122 22>>=+b a b y a x ：的左、右两个焦点，A 、B 为两个 顶点，已知椭圆C )2 3,1(上的点到F 1、F 2两点的距离之和为4. )0(1:2222>>=+b a b y a x C )23 ,1(21= e 22 2:1(0)2 x y C a a + =>1F 2F A C 2120AF F F ?=O 1AF 113 OF 解：依题意可知?? ??? +=222c b a 解得??? ??=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ???+=222c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ???+=222c b a 解得??? ??= == c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ???+=222c b a 解得?????= == c b a ∴椭圆方程为122=+y x ??= a 解：依题意可知?? ???+=222c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ???+=222c b a 解得??? ??=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ???+=222c b a 解得??? ??= == c b a ∴椭圆方程为122=+y x 椭圆方程的几种常见求法 对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法 例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相 内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ， ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ， 481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为： 148 642 2=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 二、待定系数法 例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ， ∴???=+=+.123,16n m n m 解得??? ????==. 31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为 13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程． 三、直接法 例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12 42 2=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=?PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程． 分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=?PB PA 即可求解． 解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ， 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的 和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的，两个焦点之间的距离叫做椭圆的。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 1 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.28 2-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 5. 椭圆 22 125 x y m m +=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7) 6．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 （ ） 椭圆方程的几种常见求法 河南 对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 陈长松 一、定义法 例 1 已知两圆C1：( x4) 2y2169 ，C2： (x 4)2y 29 ，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆 C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ， y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1， ∴ MC113r ，圆Ｍ外切于圆C2，∴MC2 3 r ， ∴ MC1MC2 16，y ∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、 C2为焦点的椭圆， 且 2a 16,2c8， C2Ｍ b2 a 2c264 16 48，ＯC 1x 故所求轨迹方程为： x 2y 2 641 ． 48 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出 外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住 本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 二、待定系数法 例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1 ( 6,1), P2 ( 3, 2) ，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： mx 2ny 2＝１（ m0,n0) ，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为mx2ny 2＝１（ m 0, n 0) ． ∵椭圆经过两点P1 (6,1), P2 (3, 2)， 6m n 1,m 1 ,x 2y 2 解得9 ∴，故所求的椭圆标准方程为1． 3m2n 1.n 1 .93 3 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出a, b 的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程． 三、直接法 例３设动直线 l 垂直于 x 轴，且交椭圆x2y 2 1 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段42 AB 外一点，且满足PA PB 1 ，求点Ｐ的轨迹方程． 分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于 x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数， 因此，紧紧抓住等式PA PB 1 即可求解． 解：设Ｐ（ x ， y ），Ａ（x A，y A），Ｂ（ x B，y B）， 由题意： x ＝ x A＝ x B， y A＋ y B＝０ ∴ PA y y A, PB y y B，∵Ｐ在椭圆外，∴y －y A与 y －y B同号， ∴ PA PB =（ y －y A）（ y －y B）＝ y 2( y A y B ) y y A y B1 ∵ y A y B22(1x A2 )2(1 x 2 y A 4 ) 4 y22(1x 2)1，即 x2y 21( 2x2) 为所求． 463 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换． 四、相关点法 例４ABC 的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程． 分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好 建立，故可用相关点法去求． 解（１）以 BC 边所在直线为x 轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（ x ，y），由GC GB 230 ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，3 《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+ y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF - =-=． 同理 254 5x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00， x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=- 【求椭圆方程专题练习】 题型一 已知椭圆求方程----设列解答求方程 1椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过点)1,3(P 且离心率为3 6 2椭圆：E 12222=+b x a y ()0>> b a 经过点() 0,3A 和点()2,0B 3椭圆过点，且离心率 4椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为2 ，且在x 轴上的 顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0) 5椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离 的最大值为3；最小值为1 6椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦 。 7椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，坐标原点到直线的距离为． 8. F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个 顶点，已知椭圆C 上的点)2 3,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4. 9.椭圆离心率为 33，过焦点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为33 4 )0(1:2 2 22>>=+b a b y a x C )23,1(21=e 222:1(0)2 x y C a a + =>1F 2F A C 2120AF F F ?= O 1AF 11 3 OF 解：依题意可知??? ??+=2 22c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ???+=222c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ? ??+=2 22c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知? ?? ?? +=2 22c b a 解得??? ??=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知? ?? ?? +=2 22c b a 解得??? ??=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ? ??+=2 22c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知????? +=2 22c b a 解得??? ??=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?? ? ??+=2 22c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 解：依题意可知?????+=2 22c b a 解得?????=== c b a ∴椭圆方程为122=+y x 河南 陈长松 对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法 例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ， ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ， 481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：148 642 2=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 二、待定系数法 例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为2 2ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ， ∴???=+=+.123,16n m n m 解得??? ????==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 椭圆方程的几种常见求 法 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 椭圆方程的几种常见求法 河南 陈长松 对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法 例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ， ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ， 481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：148 642 2=+ y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 二、待定系数法 例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 )2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ， ∴???=+=+.123,16n m n m 解得??? ????==.31,9 1n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+ y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程． 三、直接法 例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12 42 2=+ y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=?PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程． 分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=?PB PA 即可求解． 解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ， 由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０ ∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA ?=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)4 1(2)41(22 2 2 x x y y y A A B A --=--=-= 椭圆方程的几种常见求法 河南 陈长松 对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法 例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ， ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ， 481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：148 642 2=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 二、待定系数法 例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为2 2ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ， ∴???=+=+.123,16n m n m 解得??? ????==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程． 三、直接法 例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12 42 2=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=?PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程． 分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=?PB PA 即可求解． 解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ， 由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０ ∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA ?=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(222 2x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222 =--x y ，即)22(1362 2<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换． 四、相关点法 例４ ABC ?的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程． 分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求． 解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由303 2?=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， （教师版）椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 椭圆标准方程的七种求法 一、定义法 例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。 评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ． 二、待定系数法 例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程． 三、第二定义法 例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为 1414 ，求动点P 的轨迹方程． 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤． 四、奇思妙解法-----一般方程法 例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(02)2A B ? ?，， 求该椭圆的标准方程 五、奇思妙解法-----同焦点 例5．求经过点(32)-，且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆方程． 评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。 六、奇思妙解法-----同焦距 例6求经过点(32)-，且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆方程． 七、奇思妙解法-----同离心率 例7求经过点(32)-，且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆方程．求椭圆的标准方程
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