解椭圆方程
椭圆方程是一种特殊的多项式方程，可以用来描述多个二维物体之间的关系。椭圆方程的一般形式为：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0。其中，A、B、C、D、E和F是实数系数。
椭圆方程的解决方法有很多种，其中最常用的是椭圆曲线的改造。这一方法可以将椭圆方程转化为一般形式：Bx2+Cy2+Dxy+Ey+F = 0。将系数A和D的和与系数C的积相比，如果C大于A和D的和，则可以将原方程转化为椭圆曲线，此时可以使用变量变换求解。
还有一种椭圆方程的解决方法是利用椭圆曲线方程组。可以使用两个椭圆方程组，将整个椭圆曲线方程降为二次方程可以去求解。
尽管有许多解椭圆方程的方法，但最重要的是要理解椭圆方程，然后根据具体情况选择最合适的解椭圆方程方法。椭圆方程是以一种特定的方式描述二维物体之间的关系，是经典的几何问题的基础。只有理解了它的特征和特性，才能更好地解决几何问题，以此来实现更大的创造性。
椭圆的一般式方程 椭圆是一个重要的几何图形，它是几何学中最常见的图形之一，具有极其重要的应用。椭圆的一般式方程为： $$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$ 椭圆可以用一般式方程来描述，用关于x和y的二次多项式表示，即y的平方项和xy项的系数分别为正值。这样的一般式方程描述了一个椭圆，具体的系数a，b，c，d，e，f的符号决定了椭圆的形状。 一般式方程可以用来求解椭圆的长轴长b、短轴长c，以及中心点(x_0,y_0)的坐标等。例如，如果一个椭圆的一般式方程为 $$2x^2+3xy-3y^2+6x+3y+8=0$$ 那么，椭圆的长轴长b=√13，短轴长c=√10，中心点 (x_0,y_0)=(-3,-1)。 对于一般式方程，椭圆的形状是由系数a、b、c、d、e、f决定的，其中a、c不能同时为0，而且bc>0。若a=0，则方程有一条对称轴，这就是所谓的“双曲线”，如： $$3y^2+2x+3y+1=0$$ 若a 0，则椭圆的形状受椭圆的系数a、b、c的符号及大小的影响，可能为拱形、心形、钝边椭圆、圆形等。 椭圆是一个重要的几何图形，它可以作为科学研究和工程设计中最重要的数学工具，而椭圆的一般式方程可以帮助我们更加全面、精确地描述椭圆的形状，大大提高了椭圆的应用。比如，在能量收集、卫星轨迹、以及空间力学等方面椭圆都有着非常广泛的应用。
椭圆的一般式方程的另一个重要的应用是在统计学中，可以使用此方程来表示一组数据的回归曲线，即最佳拟合椭圆，这也是一种重要的统计分析方法。 此外，椭圆的一般式方程还可以用来解决数学问题，比如两台车就绪始同一点出发，经过一个固定的时间，交会路上的一点。由此可以构造出两个椭圆，联立椭圆方程可以得到交会点的坐标，从而解决数学问题。 综上所述，椭圆的一般式方程在几何学、统计学、以及数学问题解决等领域具有极其重要的应用，并且一般式方程可以更加全面、精确地描述椭圆的形状，大大提高了椭圆的应用。
X 1 + X 2 二 X M 1 一 2 1 a 2 2~ , a 1 1 a 2 《椭圆》方程典型例题 20例 典型例题一 例1椭圆的一个顶点为A 2,0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程. 分 析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：(1)当A 2,0为长轴端点时，a =2 , b = 1 , 2 2 椭圆的标准方程为：— ^=1; 4 1 (2)当A 2,0为短轴端点时，b=2 , a = 4, 2 2 椭圆的标准方程为：—1 ； 4 16 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不 能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率. 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a ，求c ,再求 比?二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可. 典型例题三 例3已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x ，y-1=0交于A 、B 两点, M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 2 解：由题意，设椭圆方程为笃? y 2 =1, a x y -1 = 0 2 X + 2 「 —+ y =1 .a 解：；2c 二丄 2 - c 3 ??? 3c= a 2, 得 1 a 2x 2 -2a 2x =0 , 1 y M
2 2 y M 1 1 2 x M a 4 y 2 =1为所求. 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问 题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 f 9 > =1 上不同三点 A (X 1, y 1 ), B 4, ，C(X 2, y )与焦点 F(4,0)的 < 5 / 距离成等差数列. 4 5 x-i 5 x 1 x 2 =8 —「二 x-4 . 2 y 1 一丫2 又???点T 在x 轴上，设其坐标为x°,0，代入上式，得 ??? a 2 =4， 2 2 例4椭圆-y 25 9 (1) 求证 x 1 x 2 =8 ； (2) 证明: 若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . （1）由椭圆方程知a =5，b =3，c =4 . 由圆锥曲线的统一定义知: |AF| a X 1 c 同理 4 AF = a-ex, =5—一 x 1 . 5 CF =5 - 4 x 2 . 5 AF +CF = 2BF ，且 BF (2) 因为线段AC 的中点为4, 宁，所以它的垂直平分线方程为
椭圆标准方程的七种求法 一、定义法 例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。 评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ． 二、待定系数法 例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程． 三、第二定义法 例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为 1414 ，求动点P 的轨迹方程．
评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤． 四、奇思妙解法-----一般方程法 例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(02)2A B ? ?，， 求该椭圆的标准方程 五、奇思妙解法-----同焦点 例5．求经过点(32)-，且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆方程． 评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。
六、奇思妙解法-----同焦距 例6求经过点(32)-，且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆方程． 七、奇思妙解法-----同离心率 例7求经过点(32)-，且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆方程．
（一）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
椭圆方程的数值计算 椭圆方程是数学中重要的基础方程之一，涉及到许多领域的问题，例如电场和热传导等。数值计算方法在求解椭圆方程时是不 可或缺的工具，本文将从数值计算的角度出发，探讨椭圆方程的 数值求解方法。 一、椭圆方程的数学表达式 椭圆方程可以用如下的数学表达式表示： $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$ 其中，$u(x,y)$ 是未知函数，$f(x,y)$ 是已知函数。这种形式的 方程被称为二阶椭圆方程。在实际问题中，$u(x,y)$ 可以表示电势、温度等物理量，$f(x,y)$ 是给定的源项函数。 二、椭圆方程的边界条件
对于椭圆方程，我们需要给出适当的边界条件才能得到唯一的解。通常的边界条件可以分为以下两类： 1. 第一类边界条件 第一类边界条件是指在边界上给出未知函数的值，例如： $u(x,y) = g(x,y), (x,y) \in \partial \Omega$ 其中，$\partial \Omega$ 是区域 $\Omega$ 的边界。 2. 第二类边界条件 第二类边界条件是指在边界上给出未知函数的法向导数，例如： $\frac{\partial u}{\partial n} = h(x,y), (x,y) \in \partial \Omega$ 其中，$n$ 是边界的法向量。
三、椭圆方程的数值求解方法 椭圆方程的数值求解方法有很多种，常用的方法包括有限差分法、有限元法等。这里我们主要介绍有限差分法。 1. 有限差分法 有限差分法是一种基于差分近似的数值求解方法。对于椭圆方程，我们可以将其在一个离散的网格上进行求解。假设我们使用$N \times M$ 的网格对区域 $\Omega$ 进行离散化，设网格大小为$h$，则可以得到如下的差分方程： $\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{h^2} = f_{i,j}$ 其中，$u_{i,j}$ 是未知函数在网格点 $(ih,jh)$ 上的近似值，$f_{i,j}$ 是源项函数在网格点 $(ih,jh)$ 上的值。 通过求解这个差分方程，我们可以得到未知函数在整个区域上的近似值。对于边界条件，我们可以在差分方程中直接加入。例
椭圆方程详细推导过程 椭圆是一种重要的几何图形，它在几何学、物理学和工程学等领域都 有广泛的应用。椭圆方程描述了椭圆的几何性质，通过对椭圆方程的推导，可以更深入地理解椭圆的特点和性质。 首先，我们从椭圆的定义开始推导。椭圆可以看作是平面上到两个给 定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。设椭圆的两个焦点分别是 F1和F2，常数为2a，椭圆上任意一点P(x,y)到这两个焦点的距离之和等 于2a，即PF1+PF2=2a。根据定义，我们可以得到如下等式： sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) + sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = 2a 为了简化推导，我们可以假设椭圆的中心位于坐标原点O(0,0)。因 为椭圆是关于直角坐标系的两个轴对称的，所以椭圆的推导结果可以推广 到一般的情况。 我们将坐标原点O设置为椭圆的中心，那么焦点F1的坐标为(a,0)， 焦点F2的坐标为(-a,0)。将这些坐标代入上述等式中，可以得到：sqrt((x - a)^2 + y^2) + sqrt((x + a)^2 + y^2) = 2a 为了进一步简化推导，我们可以引入一个参数ε，定义为焦距的一 半与椭圆长轴长的比值，即ε=a/c，其中c是焦距。根据焦点的定义， 焦距等于2a，所以a=εc。将这个等式代入上述方程中，可以得到：sqrt((x - εc)^2 + y^2) + sqrt((x + εc)^2 + y^2) = 2εc 接下来，我们需要用一种更方便的表示形式来描述这个椭圆方程。为 了达到这个目的，我们引入一个新的变量s，定义为点P到焦点F1的距
椭圆方程的解析表达式 引言 椭圆是数学中一个重要的概念，在几何学、代数学、物理学等领域具有广泛的应用。研究椭圆的性质和特征是解决相关问题的关键。而椭圆方程的解析表达式是从方程的角度描述椭圆特征的一种方式。本文将介绍椭圆方程的解析表达式及其一些基本性质。 椭圆方程的定义 椭圆的图像是一个封闭曲线，在平面上具有两个称为焦点的特殊点。在直角坐标系中，椭圆的方程通常表示为： (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 其中，a和b是正实数，分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。 椭圆方程的解析表达式 为了进一步理解椭圆的特征，我们可以从解析的角度表示椭圆方程。解析表达式用参数方程形式表示椭圆上的点的坐标。
将椭圆方程中的自变量x表示为a*cosθ，y表示为b*sinθ，其 中θ是参数，该参数的取值范围为[0, 2π]。则椭圆方程可表示为：x = a*cosθ y = b*sinθ 其中，θ为参数，a表示椭圆的长半轴长度，b表示椭圆的短半 轴长度。 这样，我们可以通过给定不同的θ值，计算出对应的点的坐标，从而得到椭圆的图像。 椭圆方程的性质 椭圆方程具有一些基本性质，值得我们关注和研究。 1. 中心点：椭圆的中心点位于原点(0, 0)。 2. 焦点和焦半径：椭圆的焦点位于椭圆主轴的两个端点，且焦 点与中心点的距离为`c = sqrt(a^2 - b^2)`。焦半径是从焦点到椭圆上 的任意一点的线段长度。 3. 主轴：椭圆的主轴是经过中心点的椭圆的最长轴线，长度为 2a。长半轴和短半轴分别是主轴的半径。
4. 离心率：椭圆的离心率e是定义为焦半径与长半轴a的比值，即`e = c / a`。离心率描述了椭圆的偏心程度，通常取值范围为[0, 1)。 5. 几何性质：椭圆上的点满足任意一点到两个焦点的距离之和 等于2a，即`PF1 + PF2 = 2a`，其中PF1和PF2分别表示一点到两 个焦点的距离。 总结 本文介绍了椭圆方程的解析表达式，并介绍了椭圆的一些基本 性质。通过解析表达式，我们可以更深入地理解椭圆的特征和性质，为椭圆相关问题的研究提供基础。 椭圆方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如天体运动、电 磁场分布等领域。通过对椭圆方程的解析表达式的研究，我们可以 更加深入地理解这些问题，并应用于实际的计算和分析中。
椭圆方程的几种常见求法 河南 陈长松 对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法 例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ， ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ， 481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：148642 2=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键． 二、待定系数法 例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。 解：设所求的椭圆方程为2 2ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ， ∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ．
椭圆的方程的求法 一、定义法 【例1】已知ABC ∆的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为 25 7 .建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【解】:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系, 设 |CA|+|CB|=2a (a >3)为定值,所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆, 所以焦距 2c =|AB|=6 因为 1| |||18 2||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+= CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C 又 22)22( ||||a a CB CA =≤⋅,所以 2181cos a C -≥, 由题意得 25,2571812 2 ==- a a 此时,|PA|=|PB|,P 点坐标为 P(0,±4). 所以C 点的轨迹方程为 )0(116 252 2≠=+y y x 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为 ()0,1，点⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；
【解法1】：有定义可得)0,1(),0,1(21-F F ，点⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上。 所以32221=+=MF MF a ，又1=c 故椭圆方程为：12 32 2=+ y x 【解2】设椭圆方程22 221(0)x y a b a b +=>> 2211c a b ∴=∴=+ 点⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛26,23在椭圆上，146 4322=+∴b a 12 33,206542 22 2 2 4 =+∴==∴=--∴y x a b b b 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【解析】设圆M 的半径为r ． 因为圆M 与圆F 1相内切，所以MF 1＝4－r ． 因为圆M 过点F 2，所以MF 2＝r ． 所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4． 所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆． 且此椭圆的方程形式为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． 其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝3． 所以曲线C 的方程x 24＋y 2 3 ＝1．
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案) 典型例题一 已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。 解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标 准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时， b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。 典型例题二 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。
解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则 2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2 中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义 e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2. 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。二是列含a和c的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可。 典型例题三 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交 于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短 轴长为2，求椭圆的方程。 解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程 为y=1-x。将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程 (4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。由OM的斜率为0.25
《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=，
41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+ y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭ ⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF - =-=． 同理 254 5x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00， x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-
椭圆标准方程典型例题 例1椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为〔0，2〕求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b 〔或2 a 和2 b 〕的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为19 22=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为19 8122=+x y ． 例3ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：〔1〕由可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． 〔2〕由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．
解： 〔1〕以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ， 知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． 〔2〕设()y x A ，，()y x G ''，，那么 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆〔除去x 轴上两点〕． 例4P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541= PF ，3 5 22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，2 1 sin 12 21==∠PF PF F PF ， 可求出6 21π = ∠F PF ，3 526 cos 21= ⋅=π PF c ，从而3102 22=-=c a b ． ∴所求椭圆方程为 1103522=+y x 或15 1032 2=+y x ． 例5椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆 上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积〔用a 、b 、α表示〕．