求椭圆的方程

椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。

接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。

首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。

接下来，我们来推导椭圆的标准方程。

假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。

设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。

根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。

化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。

如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。

当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。

最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。

假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。

首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。

然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。

通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。

当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。

希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆方程的求法椭圆是圆锥曲线中的重头戏，在高考试题中常以压轴题的身份出现，就说明了一切.对于这一曲线，许多学生不明白，看起来多么惹人爱，做起来咋就那么多的坑.椭圆解答题中第（1）问，常常是求椭圆的方程，竟然做不出来，让人倍感伤心.这里整理部分常见求椭圆方程问题，希望能给大家带来帮助.题组一：直接法直接法指根据椭圆定义或结合椭圆方程特点利用待定系数法求椭圆方程，这类问题相对比较简单，只是在具体运算中注意一下，不要出现计算迂回，浪费时间.例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案 x 225＋y 216＝1练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1解析：椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13·2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1解析 由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1解析 由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C的方程为x 29＋y 25＝1.答案 D练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；解：由已知得⎩⎨⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y24＝1.练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 解：因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；解 由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ，因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程；解：因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，又点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程； 解 设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为(1,2A 在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程；解 由题意，得椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的标准方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.∵椭圆E经过点(1,2，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1. ∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.有时题目中没有给出椭圆的任何特征，需要我们将其中的条件进行转化，发现椭圆的定义特征，或者对轨迹方程进行整理后找到椭圆方程，这类问题比较隐蔽，关键在于对已知条件的准确转化.例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1【答案】D解：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程；解：设C (x ，y ).由题意得k AC ·k BC ＝y x ＋2·y x －2＝－34(y ≠0).整理，得x 24＋y 23＝1(y ≠0).故动点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；解：设点P (x ，y )，由题意，可得（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，得x 22＋y 2＝1.∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程；解 设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2.取F ′(－1，0)，连接F ′P ，则|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点P 的轨迹是以F ′，F 为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.求椭圆方程中有一类比较复杂的问题是题目给出椭圆的特点，但是将基本元素的关系设置在一些较复杂的情境中，如向量、内切圆、三角形面积等等，这些条件的介入，增加了解题难度，此时应该对题目中的条件合理转化，做好准确“翻译”，巧用妙用已知条件，求出基本元素，找到椭圆方程.例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0，故得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，则 |AB |＝⎝⎛⎭⎫0－532＋⎝⎛⎭⎫－2－432＝553.法二 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程；解：由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1. 练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S=，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.解：由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，② 12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③ 联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程；解：由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b 2a ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程；解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a ＝|0＋0－2|2，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1， 则椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程； 解 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20a2＋y 20b2＝1.整理，得x 20－a 2＝－a 2y 20b2.由题意，得y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝－34.整理，得x 20－a 2＝－43y 20. ∴－a 2y 20b 2＝－43y 20，又y 0≠0，即a 2＝43b 2. ∵c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b2＝1(0<b <4)的内接△ABC的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC . 求椭圆T 的标准方程；解：设08(,)3B y ，y 0>0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，如图.由题意得△ADG ∽△AHB ，即GD AG ＝HBAB ，得236＝y 04009＋y 20.解得y 20＝59. ∵点08(,)3B y 在椭圆T 上， ∴64916＋y 20b 2＝49＋59b 2＝1，解得b 2＝1. 故椭圆T 的标准方程为x 216＋y2＝1.法无定法，贵在得法！题目千变万化，但是源头始终如一，只要解题时能够抓住题眼，明确目标，合理规划计算方法，解题能力会不断上升！题组一：例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程. 练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程. 题组二：例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程.练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程. 题组三：例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程.练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b 2＝1(0<b <4)的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC .求椭圆T 的标准方程.。

题型一、求椭圆的标准方程例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-； （3）焦距为6，1a b -=； （4）椭圆经过两点35(,)22-，。

例2、（1）与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为______________．（2）已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为题型二、椭圆的几何性质的应用例3、（1）椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍（2）如图，A 、B 、C 分别为椭圆22221x y a b+=（a>b>0）的顶点和焦点，若∠ABC=900，则该椭圆的离心率为例4、已知点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1260F PF ∠=︒.()1求椭圆离心率e 的取值范围；()2求12PF F △的面积 答案：（1）)1,21[ （2）233b题型三、直线与椭圆的综合应用例5．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF例6、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =(1)求椭圆1C 的方程;(2)已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动 直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,(0λ≠且1λ≠±). 求证:点Q 总在某定直线上.例7、已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－31。

椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，连接焦点的线段称为椭圆的主轴，主轴的长度为2a。

椭圆的形状由这两个焦点之间的距离和椭圆的长轴短轴决定。

而椭圆的标准公式可以帮助我们准确地描述椭圆的形状和位置。

对于椭圆而言，我们可以通过椭圆的中心、长轴和短轴的长度来确定其标准公式。

椭圆的标准公式如下所示：椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。

在标准方程中，椭圆的中心坐标(h, k)决定了椭圆在平面坐标系中的位置，a和b决定了椭圆的形状。

当a>b时，椭圆的长轴水平，短轴垂直，椭圆沿着x轴拉长；当a<b时，椭圆的长轴垂直，短轴水平，椭圆沿着y轴拉长。

椭圆的标准公式可以帮助我们快速准确地确定椭圆的形状和位置。

通过观察标准方程中的参数，我们可以直观地了解椭圆的中心、长轴、短轴的长度，从而对椭圆有一个清晰的认识。

在实际问题中，椭圆的标准公式也有着重要的应用。

例如在工程设计中，我们需要绘制椭圆形的零件，可以通过标准公式确定椭圆的参数，从而进行精确的设计和加工。

在物理学和天文学中，椭圆轨道是一种常见的轨道形式，通过标准公式可以描述椭圆轨道的形状和位置，为科学研究提供了重要的工具。

总之，椭圆的标准公式是描述椭圆形状和位置的重要工具，通过标准公式我们可以准确地了解椭圆的中心、长轴、短轴的长度，从而在实际问题中得到应用。

希望本文对椭圆的标准公式有所帮助，让读者对椭圆有一个更清晰的认识。

椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。

椭圆的公式标准方程椭圆是一种常见的二次曲线，其形状类似于一个被拉伸的圆。

椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

椭圆的公式标准方程是描述椭圆特征的数学表达式，本文将详细介绍椭圆的公式标准方程及其相关知识。

首先，我们来了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是一个平面上的封闭曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。

椭圆的形状可以用离心率来描述，离心率是焦点到中心距离与长轴长度之比的绝对值。

椭圆的公式标准方程是一般二次曲线方程的特殊形式，具有以下表达式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)代表椭圆中心的坐标，a表示椭圆长轴的长度的一半，b表示椭圆短轴的长度的一半。

椭圆的公式标准方程中的变量解释如下：1. (x, y)为平面上任意一点的坐标；2. (h, k)表示椭圆中心的坐标；3. a表示椭圆长轴的长度的一半；4. b表示椭圆短轴的长度的一半。

通过椭圆的公式标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要信息。

首先，椭圆中心的坐标为(h, k)，这个点是椭圆的对称中心。

其次，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，离心率为c/a，其中c表示焦点到中心的距离。

椭圆的公式标准方程也可以表示成另一种形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = r²其中，r表示椭圆上任意一点到椭圆中心的距离。

我们可以通过一些具体的例子来理解椭圆的公式标准方程的应用。

以一个常见的例子为椭圆方程(x-2)²/9 + (y-3)²/4 = 1。

我们可以通过这个方程来确定椭圆的特征。

首先，椭圆的中心坐标为(2, 3)，即椭圆的中心在坐标系中的位置为(2, 3)。

其次，椭圆的长轴长度为2×3 = 6，所以椭圆的长轴长度为12。

短轴长度为2×2 = 4，所以椭圆的短轴长度为8。

椭圆的标准方程
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y ²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²= 1，（a>b>0）。

其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。

扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

离心率范围：0<e<1。

离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

椭圆的一般式方程椭圆是一个重要的几何图形，它是几何学中最常见的图形之一，具有极其重要的应用。

椭圆的一般式方程为：$$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$椭圆可以用一般式方程来描述，用关于x和y的二次多项式表示，即y的平方项和xy项的系数分别为正值。

这样的一般式方程描述了一个椭圆，具体的系数a，b，c，d，e，f的符号决定了椭圆的形状。

一般式方程可以用来求解椭圆的长轴长b、短轴长c，以及中心点(x_0,y_0)的坐标等。

例如，如果一个椭圆的一般式方程为$$2x^2+3xy-3y^2+6x+3y+8=0$$那么，椭圆的长轴长b=√13，短轴长c=√10，中心点(x_0,y_0)=(-3,-1)。

对于一般式方程，椭圆的形状是由系数a、b、c、d、e、f决定的，其中a、c不能同时为0，而且bc>0。

若a=0，则方程有一条对称轴，这就是所谓的“双曲线”，如：$$3y^2+2x+3y+1=0$$若a 0，则椭圆的形状受椭圆的系数a、b、c的符号及大小的影响，可能为拱形、心形、钝边椭圆、圆形等。

椭圆是一个重要的几何图形，它可以作为科学研究和工程设计中最重要的数学工具，而椭圆的一般式方程可以帮助我们更加全面、精确地描述椭圆的形状，大大提高了椭圆的应用。

比如，在能量收集、卫星轨迹、以及空间力学等方面椭圆都有着非常广泛的应用。

椭圆的一般式方程的另一个重要的应用是在统计学中，可以使用此方程来表示一组数据的回归曲线，即最佳拟合椭圆，这也是一种重要的统计分析方法。

此外，椭圆的一般式方程还可以用来解决数学问题，比如两台车就绪始同一点出发，经过一个固定的时间，交会路上的一点。

由此可以构造出两个椭圆，联立椭圆方程可以得到交会点的坐标，从而解决数学问题。

综上所述，椭圆的一般式方程在几何学、统计学、以及数学问题解决等领域具有极其重要的应用，并且一般式方程可以更加全面、精确地描述椭圆的形状，大大提高了椭圆的应用。

求椭圆的标准方程(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN求椭圆的标准方程1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； .(3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． .2、求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2；(2)经过点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3. 3、已知一椭圆的标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程．4、已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( A ) ＋x 2＝1 ＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 ＋y 2＝1 D ．以上都不对 5、求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.6、中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2两点． 求椭圆的标准方程；7、求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.答案：1、（1）x225＋y29＝1（2）y24＋x2＝1（3）x215＋y25＝12、（1）x216＋y212＝1（2）x2＋y24＝13、当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为x29＋y225＝1.4、A5、（1）若焦点在x轴上，椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，椭圆的方程为y227＋x29＝1.（2）x232＋y216＝1.6、x29＋y24＝17、x29＋y2＝18、x212＋y29＝1或x29＋y212＝1。

椭圆方程的几种常见求法公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点． 评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。

椭圆的标准方程怎么求椭圆是平面上一个点到两个不同固定点的距离之和等于常数的点的集合。

在解析几何中，椭圆是一个非常重要的图形，它具有许多独特的性质和特点。

而要求椭圆的标准方程，就需要通过一定的方法和步骤来进行推导和计算。

下面我们将介绍如何求椭圆的标准方程。

首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。

椭圆的标准方程是指通过数学方法得到的一种表示椭圆的方程形式，它可以直观地描述椭圆的形状、位置和大小。

椭圆的标准方程通常采用平面直角坐标系来表示，其中椭圆的中心坐标为(h, k)，长轴和短轴的长度分别为2a和2b。

根据这些基本概念，我们可以通过以下步骤来求解椭圆的标准方程。

首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h, k)和长短轴的长度2a和2b。

在已知椭圆的焦点和顶点坐标的情况下，可以通过一定的方法来求解中心坐标和长短轴的长度。

接着，我们可以利用椭圆的性质和定义来建立椭圆的一般方程。

椭圆的一般方程可以表示为，$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。

通过这个一般方程，我们可以得到椭圆的标准方程。

接下来，我们可以通过一些代数运算和化简来将椭圆的一般方程转化为标准方程。

首先，我们可以将椭圆的一般方程中的分式进行通分和整理，然后通过配方法将方程转化为标准方程的形式。

最终得到的标准方程形式为，$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$。

在实际应用中，我们也可以通过已知椭圆上的三个点来求解椭圆的标准方程。

通过将这三个点的坐标代入椭圆的一般方程中，可以建立一个包含三个未知数的方程组。

通过求解这个方程组，我们可以得到椭圆的中心坐标和长短轴的长度，进而得到椭圆的标准方程。

总之，求解椭圆的标准方程是一个重要且常见的数学问题，它需要我们熟练掌握椭圆的定义、性质和相关的代数运算方法。

求椭圆的标准方程
椭圆是平面上的一种二次曲线，它的形状类似于圆形，但是在一个方向上比另一个方向更加“扁平”。

椭圆的标准方程是指其在平面直角坐标系中的方程形式，可以用一组参数表示椭圆的位置、大小和形状。

下面介绍如何求椭圆的标准方程。

首先，我们假设椭圆的中心位于坐标系原点，这是为了简化问题。

如果椭圆的中心不在原点，则可以通过平移坐标系来将其移到原点。

接下来，我们需要确定椭圆的两个轴的长度。

这些轴分别称为主轴和次轴，主轴通常是椭圆的最长直径，次轴则是椭圆的最短直径。

如果我们知道主轴和次轴的长度，我们就可以求出椭圆的离心率，从而得到椭圆的标准方程。

假设主轴的长度为2a，次轴的长度为2b，椭圆的离心率为e，则椭圆的标准方程可以表示为：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
其中，x和y是椭圆上任意一点的坐标。

椭圆的离心率e的计算公式为：
e = sqrt(1 - b^2/a^2)
其中，sqrt表示求平方根。

因此，如果我们已知椭圆的主轴和次轴的长度，我们可以求出椭圆的离心率，从而得到椭圆的标准方程。

需要注意的是，如果椭圆的长轴和短轴的长度不相等，那么这个椭圆是一个非圆形的椭圆，也就是说它的长轴和短轴长度不同。

除此之外，还有其他一些方法可以求椭圆的标准方程，例如将椭圆的中心移到原点的变换、将椭圆的坐标系旋转的变换等等。

这些方法在不同的情况下可能更为方便，需要根据具体问题的需要选择相应的方法。

椭圆的基本方程椭圆是平面几何中常见的一种物体，它是指在平面上取定两个定点（称为焦点），对于任意一点所满足的加权距离两点定理的数值恒等于一个定值的轨迹。

这个定值叫做离心率，离心率为0时这个图形就成了一个圆。

椭圆的数学描述方法有很多种，其中最常见的就是基本方程式。

在数学中，基本方程式是指用一组二次方程来描述椭圆的形状。

具体的基本方程式表达如下：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$其中，$x_0$和$y_0$分别是椭圆的中心点的坐标，a 和b分别是椭圆在x轴和y轴上的轴长。

这个方程可以用来描述所有具有类似形状的椭圆。

基本方程算法的优点在于它非常简单，而且可以用来描述多种不同的椭圆形状。

而且由于它是一个二次方程，因此它可以很容易地通过计算求出椭圆的各个参数，比如长轴、短轴、中心坐标等等。

然而，基本方程式也有一些缺点。

比如，如果要描述一个非常宽或非常窄的椭圆时，基本方程法不太适合。

这是因为在这些情况下，椭圆的轴长可能相差很大，甚至可能一个方向的轴长比另一个方向的长出数个数量级。

这种情况下，基本方程法就会导致精度问题。

另外，在描述非常扁平的椭圆时，也会存在类似的问题。

解决这些问题的方法之一是使用参数方程式来描述椭圆。

参数方程式是指用一个参数（通常为$t$）来描述椭圆上的每一个点的坐标。

具体的参数方程式表述如下：$ \begin{cases} x = x_0 + a\cos(t) \\ y = y_0 + b\sin(t) \end{cases} $这个方程式中，$x_0$和$y_0$表示中心点的坐标，$a$和$b$表示椭圆在x轴和y轴上的轴长。

这个方程式能够描述所有的椭圆形状，并且可以解决基本方程法的精度和适用性问题。

综上所述，椭圆的基本方程式是数学描述椭圆最常用的方法之一。

尽管它存在一些局限性，但它仍然是一个广泛应用的方法。

对于需要更高精度的椭圆描述问题，可以使用参数方程式等其他方法进行求解。

椭圆标准方程的七种求法一、定义法例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。

评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ．二、待定系数法例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程．评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．三、第二定义法例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为1414，求动点P 的轨迹方程．评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．四、奇思妙解法-----一般方程法例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(02)2A B ⎛ ⎝，，求该椭圆的标准方程五、奇思妙解法-----同焦点 例5．求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程．评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。

六、奇思妙解法-----同焦距例6求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程．七、奇思妙解法-----同离心率例7求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程．。

椭圆过点求椭圆的方程
椭圆是一种重要的几何图形，它在数学和工程领域中有着广泛
的应用。

在解决问题时，有时我们需要找到一个椭圆的方程，使得
这个椭圆经过给定的点。

接下来，我们将讨论如何根据给定的点来
确定椭圆的方程。

首先，我们知道椭圆的一般方程是。

\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]
其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y
轴上的半轴长。

假设我们需要找到一个椭圆，使得它经过给定的点P(x1, y1)。

我们可以将点P代入椭圆的一般方程，得到。

\[ \frac{(x_1-h)^2}{a^2} + \frac{(y_1-k)^2}{b^2} = 1 \]
这个方程包含了三个未知数h, k, a和b，我们需要另外两个
方程才能解出这些未知数。

为了构建另外两个方程，我们可以再选择另外两个点Q和R，
然后代入椭圆的一般方程，得到两个方程。

这样我们就可以解出椭
圆的方程。

另一种方法是，如果我们已知椭圆的中心和一个焦点，我们可
以根据焦点到给定点的距离和椭圆的离心率来确定椭圆的方程。

总之，根据椭圆过点求椭圆的方程是一个有趣而又具有挑战性
的数学问题。

解决这个问题需要灵活运用椭圆的性质和方程的求解
方法。

希望通过这篇文章，读者能够对这个问题有一个初步的了解，并且对椭圆的研究产生更多的兴趣。