椭圆的一般式方程

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结「篇一」1.椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆;(2)若a=c，则集合P为线段;(3)若a2.椭圆的标准方程和几何性质一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。

三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c。

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴。

椭圆方程的第一定义：⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上. ii. 中心在原点，焦点在轴上。

②一般方程.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于)。

⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距.⑤准线：或.⑥离心率.⑦焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”。

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。

椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。

这两个定点被称为焦点，常数2a被称为主轴的长度。

椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距。

通过这些定义，我们可以得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。

通过这个方程，我们可以清晰地看到椭圆的形状和特点。

例如，当a=b时，椭圆变成了一个圆；当a>b时，椭圆在x轴上的投影长度大于在y轴上的投影长度；当a<b时，椭圆在x轴上的投影长度小于在y轴上的投影长度。

除了标准方程，椭圆还有其他一些重要的性质。

例如，椭圆的离心率e可以用a和b表示为e=sqrt(1-b^2/a^2)，这个公式可以帮助我们计算椭圆的离心率。

另外，椭圆还有一个重要的焦点方程，可以表示为PF1+PF2=2a，其中P为椭圆上的任意一点。

这个方程可以帮助我们理解椭圆的焦点性质。

在物理学中，椭圆也有着重要的应用。

例如，行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆，椭圆的形状和性质决定了行星运动的规律。

另外，椭圆还可以用来描述光的偏振状态，以及天体运动的轨道等。

总之，椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用。

通过标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状和性质，这有助于我们更好地理解和应用椭圆这一数学概念。

希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的标准方程及其相关知识，进而在学习和工作中更好地应用这一重要的数学概念。

零五网数学同步答案零五网数学同步答案一览一、一元二次方程1、求解一元二次方程ax²+bx+c=0，有解的充要条件是：a不等于0，且b² - 4ac>0；2、对于ax²+bx+c=0，若b² - 4ac>0，解的公式为：x = [-b±√(b² -4ac)]/2a；3、当b² - 4ac=0时，若a≠0，则方程只有唯一的实根，公式为：x = -b/2a；4、当b² - 4ac<0时，方程无实根，只有两个共轭的虚根，公式为：x1 = (-b+i√(4ac-b²))/2a，x2=(-b-i√(4ac-b²)/2a。

二、直线方程1、直线方程y=mx+b中，m表示斜率，b表示y轴截距；2、如果斜率m=0，那么这条直线是一条垂直x轴的水平线；3、如果斜率m不等于零，那么y轴截距即可以写成x=b，此时直线方程可以变形为：y=mx+b→x-（y-b）=0/m；4、直线与x轴、y轴的交点坐标（b，0）、（0，b），即截距对应的坐标；5、根据斜截式ax+by+c=0定义，如果a不等于0，则斜率m=（-a/b），y轴截距b=（-c/b）；三、椭圆方程1、椭圆方程的一般式是：Αx²+Βxy+Cy²+Dx+Ey+F=0；2、椭圆的中心是二次型中的系数的三次和称即数（-D/2A，-E/2C）；3、两个焦点的坐标：（h±a，k）（h,k±b），h=（-D/2A），k=（-E/2C），a=√(AF-BD/A+C)，b=√((A＋C)F-AD-CE/A+C)；4、椭圆的长短轴长分别为：2a，2b；5、椭圆的离心率e的定义是：e=√((a²-b²)/a²)，椭圆的面积是：S=πab；。

数学解析几何的常见题型解析解析几何是数学中的分支学科，通过运用代数和几何的知识，以方程和不等式为工具，研究几何对象的性质和关系。

解析几何的题型主要包括直线方程、曲线方程、平面方程和空间曲面方程等。

本文将对解析几何的常见题型进行解析。

一、直线方程的解析1. 一般式方程直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。

2. 斜截式方程直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。

3. 点斜式方程直线的点斜式方程为(y - y₁) = k(x - x₁)，其中（x₁，y₁）是直线上的一点，k是直线的斜率。

二、曲线方程的解析1. 圆的方程圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径。

2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

3. 双曲线的方程双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。

三、平面方程的解析1. 一般式方程平面的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数，且A、B和C不同时为0。

2. 法向量和点的关系式平面的法向量为（A，B，C），平面上一点为（x₁，y₁，z₁），则平面方程为A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0。

四、空间曲面方程的解析1. 球的方程球的标准方程为(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²，其中（a，b，c）是球心的坐标，r是球的半径。

2. 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程根据不同类型的圆锥曲线而不同，比如椭圆锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²) = 0，双曲锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²)= 1等。

如何确定直线与椭圆的交点？
确定直线与椭圆的交点可以通过以下步骤完成：
1. 确定直线的方程
首先，我们需要确定直线的方程。

直线的方程通常可以使用一
般式或截距式来表示。

一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数；截距式方程为y = mx + c，其中m为斜率，c为截距。

2. 确定椭圆的方程
同样地，我们也需要确定椭圆的方程。

椭圆的方程通常可以使
用标准形式或一般形式来表示。

标准形式方程为(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b为椭圆的半长轴
和半短轴的长度。

3. 将直线方程代入椭圆方程
将直线的方程代入椭圆的方程，得到一个关于x和y的方程。

然后，通过求解该方程，可以得到直线与椭圆的交点的坐标。

4. 解方程求交点
解方程可以使用代数方法或数值近似方法。

代数方法包括代入法、消元法、配方法等。

数值近似方法包括牛顿法、二分法、迭代
法等。

根据具体情况选择合适的方法，并求解方程得到交点的坐标。

需要注意的是，确定直线与椭圆的交点需要确保方程的准确性
和正确的求解方法。

在解方程过程中，应注意检查计算结果的合理性，并确认交点是否存在或是否存在多个交点。

以上就是确定直线与椭圆的交点的简单策略和步骤。

请注意，本文档仅提供一般性的指导和参考，并不针对复杂案
例或特殊情况。

在实际应用中，应根据具体问题采用适当的数学和
几何方法进行计算和求解。

直线和椭圆相切的充要条件椭圆是基本几何图形，可以应用到数学、物理等多个学科。

有时候也需要研究其与其他几何图形的关系，比如下面要研究的问题：当一条直线和椭圆相切时，直线的形状有哪些特别的要求？其充要条件是什么？二、直线和椭圆的表示方法在几何中，一条直线可以通过一元二次方程来表示：Y=kX+b，其中k为斜率，b为截距。

椭圆也可以用一般式表示：Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0，中A、B、C、D、E、F为常数。

三、椭圆与直线相切的充要条件当一条直线与椭圆相切时，其充要条件是：1.线和椭圆的参数方程的坐标表示式中的变量x和y应该都是共同的；2.线和椭圆的坐标表示式可以合并到一起形成一个表达式，且这个表达式中的参数A、B、C、D、E、F均为0；3.线和椭圆的坐标表示式中的参数k和b（斜率和截距）必须满足一定的条件。

四、计算方法（1）直线方程 Y=kX+b椭圆方程 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 中的x和y变量相同首先，令Y=kX+b，将其代入椭圆方程中，得到：Ax2 + Bkx2 + Ck2x2 + Dx + Ekx + F = 0（2）将上式中的各项系数相乘，即有：A×F = 0B×E = 0C×D = 0（3）求解上式，可以得到：A = 0B = 0C = 0D = 0E = 0F = 0综上所述，直线和椭圆相切的充要条件是：Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ekx + F = 0 中的系数A、B、C、D、E、F均为0，此时直线和椭圆的方程有相同的参数x和y，并且参数k和b（斜率和截距）也满足一定的条件。

五、总结本文介绍了直线和椭圆相切的充要条件，即椭圆方程和直线方程中的变量x和y应该都是共同的，并且参数A、B、C、D、E、F均为0；同时参数k和b（斜率和截距）也满足一定的条件。

本文的结果可以帮助我们理解椭圆的几何性质，并且能提供实际运用的利用价值。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，且椭圆的长轴是以焦点为端点的线段的长度的两倍。

椭圆也可以用数学方程来描述，下面我们来介绍椭圆的标准方程以及相关性质。

1. 椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程是指在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行的情况下，椭圆的方程。

假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

当椭圆的中心不在原点时，可以通过平移坐标轴的方法将椭圆的中心移动到原点，然后再求解标准方程。

2. 椭圆的性质。

椭圆有许多独特的性质，下面我们来介绍其中的一些重要性质：（1）焦点和离心率，椭圆的焦点到中心的距离称为椭圆的焦距，用2c表示。

椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到中心的距离与长轴长度的比值。

离心率是一个重要的参数，可以描述椭圆的形状。

（2）焦点和直角坐标系，椭圆的焦点与坐标系有着重要的几何关系。

设椭圆的焦点为F1（c,0）和F2（-c,0），则椭圆上任意一点P(x,y)到焦点的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a。

（3）椭圆的参数方程，椭圆还可以用参数方程来描述，参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其中θ为参数，取值范围为0到2π。

参数方程可以直观地描述椭圆上的点的位置，方便进行曲线的分析和计算。

3. 椭圆的图形和应用。

椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在数学领域，椭圆是圆锥曲线中的一种，具有独特的几何性质和数学特征，是研究曲线和几何形状的重要对象。

在物理学中，椭圆的运动规律被广泛应用于天体运动、机械振动等领域。

在工程领域，椭圆的形状被广泛应用于建筑设计、轨道设计等领域。

总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有独特的几何性质和广泛的应用价值。

通过了解椭圆的标准方程和相关性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，为实际问题的分析和解决提供更多的可能性。

椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。

首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。

这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。

椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。

接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。

除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。

例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。

此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。

这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。

总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。

通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。

希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆知识点总结椭圆学问点总结1学问点一椭圆的定义平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

依据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满意集合，，且都为常数。

当即时，集合P为椭圆。

当即时，集合P为线段。

当即时，集合P为空集。

学问点二椭圆的标准方程(1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

(2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

学问点三椭圆方程的一般式这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较便利，在此供应出来，作为参考：(其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。

方程可变形为。

当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。

一般式，通常也设为，应特殊留意均大于0，标准方程为。

学问点四椭圆标准方程的求法1.定义法椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，肯定要留意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(1,0)C(1,0)，求满意，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。

变式练习1.在△ABC中，点B(6,0)、C(0,8)，且成等差数列。

(1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。

(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2.待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满意的等式，求得的值，再代入所设方程，即肯定性，二定量，最终写方程。

例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。

变式练习2.求适合以下条件的椭圆的方程;(1)两个焦点分别是(3,0)，(3,0)且经过点(5,0).(2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。

椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。

椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。

首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。

然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。

同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。

在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。

例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。

另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。

除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。

参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。

这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。

总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。

通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。

椭圆某点的切线方程
要求求解椭圆上某点的切线方程，需要以下信息：
1.椭圆的方程：一般椭圆的方程可表示为x²/a²+ y²/b²= 1，
其中 a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴长度。

2.某点的坐标：已知椭圆上的某点P(x₀, y₀)。

步骤：
1.求解椭圆上某点的斜率：
o对椭圆方程进行求导，得到关于x 的导数：(2x/a²) + (2y/b²) * (dy/dx) = 0。

o将上述导数表达式中的 x 和 y 替换为给定点的坐标x₀ 和y₀，求解 dy/dx，得到某点切线的斜率。

2.使用点斜式或一般式得到切线方程：
o点斜式：使用某点P(x₀, y₀) 和切线的斜率，即可得到切线方程为 y - y₀ = m(x - x₀)，其中 m 是切线的斜率。

o一般式：通过将点斜式转化为一般式 Ax + By + C = 0 的形式，最终得到切线方程。

需要注意的是，当椭圆方程不在标准形式 x²/a² + y²/b² = 1 时，求导并代入点坐标的步骤会略有不同。

在这种情况下，需要根据给定的椭圆方程进行计算。

数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结椭圆基础知识梳理知识点一椭圆的定义平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，，且都为常数。

当即时，集合P为椭圆。

当即时，集合P为线段。

当即时，集合P为空集。

知识点二椭圆的标准方程(1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

(2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

知识点三椭圆方程的一般式这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：(其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。

方程可变形为。

当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。

一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。

知识点四椭圆标准方程的求法1.定义法椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1,0)C(1,0)，求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。

变式练习1.在△ABC中，点B(-6,0)、C(0,8)，且成等差数列。

(1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。

(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2.待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。

例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。

变式练习2.求适合下列条件的椭圆的方程;(1)两个焦点分别是(-3,0)，(3,0)且经过点(5,0).(2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

椭圆的切点弦方程公式推导椭圆的切点弦方程公式推导所谓椭圆的切点弦方程公式，就是椭圆的两个切点和一条连接它们的弦之间的关系，可以用一般式的方程表示出来。

首先，我们考虑椭圆的一般式：$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$其中，a是椭圆长轴长度，b是椭圆短轴长度。

然后，我们考虑椭圆上任意一点P(x,y)，其到椭圆两个焦点F1(a,0)，F2(-a,0)的距离之和为2a，即：$$ d_{F1P}+d_{PF2}=2a $$而椭圆上任意一点到其两个焦点的距离可以用勾股定理求得，即：$$ d_{F1P}=\sqrt{(x-a)^2+y^2}, \quadd_{PF2}=\sqrt{(x+a)^2+y^2} $$将$d_{F1P}$和$d_{PF2}$代入$d_{F1P}+d_{PF2}=2a$，则有：$$ \sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=2a $$将上式整理可以得到：$$ (x^2-(a^2-b^2))^2 + 4a^2y^2 = 4a^2(a^2+b^2) $$这就是椭圆的切点弦方程公式了，即：$$ (x^2-c^2)^2 + 4a^2y^2 = 4a^2(a^2+b^2) $$其中，c的值为$a^2-b^2$，表示椭圆的长轴和短轴之差。

从上面的推导过程可以看出，椭圆的切点弦方程公式是由椭圆的一般式和椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a这两个关系推导出来的。

也可以从图形上看出，椭圆的切点弦方程公式是椭圆两个切点和一条连接它们的弦之间的关系。

在图形上，两个切点分别为P1(c,0)和P2(-c,0)，而弦则由P1和P2两点组成。

此时，弦上任意一点P(x,y)满足椭圆切点弦方程，即：$$ (x^2-c^2)^2 + 4a^2y^2 = 4a^2(a^2+b^2) $$从上面可以看出，椭圆的切点弦方程公式是由椭圆的一般式和椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a的关系推导出来的，并且可以从图形上看出它是椭圆两个切点和一条连接它们的弦之间的关系。

椭圆基础知识一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数(122a F F >)的点的轨迹叫做椭圆，即点集；1212M={P| |PF |+|PF |=2a},2a>||=2c F F这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（122a F F =时为线段12F F ，122a F F <无轨迹）。

第二定义：椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

2．椭圆方程： 标准方程：222c a b =-①焦点在x 轴上：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：22221x y b a+=（a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；一般方程：221x y m n += 或者221mx ny +=其中0,0,m n m n >>≠二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标- a x a -≤≤,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标a x a -≤≤，纵坐标b y b -≤≤2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）c e a= 范围：10<<e 22222221()c a b b e a a a -===-e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁； 小结一：基本元素（1） 基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量），特征三角形 可以根据a 、b 、c 中任意两个的比值求其它两个的比值（2）通径：过焦点垂直于长轴的弦，长度为22b a5．点与椭圆的位置关系 （1）点00(,)P x y 在椭圆),0(12222>>=+b a b y a x 的内部. 2200221x y a b ⇔+<（2）点00(,)P x y 在椭圆),0(12222>>=+b a by a x 的外部2200221x y a b ⇔+>题型：一求椭圆方程：1.定义法求轨迹方程：注意数形结合，分析图形平面特征2.待定系数法求方程不知焦点所在轴时，设一般式221mx ny +=与椭圆),0(12222>>=+b a b y a x 同焦点的椭圆方程为222221()x y b a b λλλ+=>-++ 与椭圆),0(12222>>=+b a b y a x 离心率相同的椭圆方程为22122x a y k b +=（10k >焦点在x轴上）或22222x ay k b +=（20k >焦点在y 轴上）二、焦点三角形问题：性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。

椭圆标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴长。

椭圆的标准方程是椭圆的一般方程在适当的坐标变换下化为特殊形式的方程。

一、椭圆的标准方程。

设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b（a>b>0），椭圆的中心为（h，k），则椭圆的标准方程为：（x-h）^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

其中，（h，k）为椭圆的中心坐标。

二、椭圆标准方程的推导。

1. 设椭圆的焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的中心为（h，k），则有h=(F1+F2)/2=0，k=0，即椭圆的中心为原点O （0,0）。

2. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b（a>b>0），则有a=c+e，b=sqrt(a^2-c^2)，其中e为椭圆的离心率。

3. 根据椭圆的定义可得椭圆上任意一点P（x，y）到焦点F1的距离加上到焦点F2的距离等于常数2a，即有√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。

4. 将上式两边平方得到(x+c)^2+y^2+a^2+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2+a^2=4a^2。

5. 化简上式得到2x^2/a^2+2y^2/b^2=1。

6. 综上所述，椭圆的标准方程为（x-h）^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

三、椭圆标准方程的性质。

1. 椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c（c^2=a^2-b^2）。

2. 椭圆的离心率e满足0<e<1。

3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长2a。

4. 椭圆的离心率e与椭圆的长轴长、短轴长的关系为e=sqrt(1-b^2/a^2)。

5. 椭圆的标准方程中，a和b分别表示椭圆的长轴长和短轴长，h和k分别表示椭圆的中心坐标。

四、椭圆标准方程的应用。

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac 的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

椭圆联立直线距离公式椭圆和直线的距离公式是指，给定一个椭圆和一条直线，求它们之间的距离。

具体而言，我们将用到椭圆的标准方程和直线的一般方程，通过求解方程组来确定距离。

首先，椭圆的标准方程为：(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1其中，(h,k)是椭圆的中心，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。

接下来，我们考虑一条一般式的直线：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是实数。

我们将通过求解下面的方程组来找到椭圆和直线之间的距离：(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1Ax + By + C = 0为了方便起见，我们可以将直线的一般式转换为截距式：y = (-A/B)x - C/B我们可以将y代入椭圆的标准方程中，化简得到一个关于x的二次方程：[(x-h)/a]²+ [(-A/B)x - (C/B) - k]/b²= 1将该方程化简为标准的二次方程形式，即：Ax²+ Bx + C = 0其中，A = b²+ [(A²)/(B²)]a²B = -2Ah - [(AC)/(B²)]b²C = a²h²+ [(C²)/(B²)]b²- b²解二次方程，得到两个解：x1 = (-B + sqrt(B²- 4AC))/2Ax2 = (-B - sqrt(B²- 4AC))/2A其中，sqrt表示平方根。

将x1和x2代入直线的截距式，分别得到两个交点的坐标：(x1, y1) 和(x2, y2)椭圆和直线之间的距离等于这两个点到直线的距离的较小值。

对于某个点P(x0,y0)，到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A²+ B²)所以，点(x1,y1)和(x2,y2)到直线的距离分别为：d1 = |Ax1 + By1 + C| / sqrt(A²+ B²)d2 = |Ax2 + By2 + C| / sqrt(A²+ B²)椭圆和直线之间的距离即为：D = min(d1, d2)以上就是椭圆和直线之间距离的公式及其求解过程，希望能对你有所帮助。