椭圆及其标准方程
学科：数学
教学内容：椭圆及其标准方程
【基础知识精讲】
1.椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
注意：定义中的常数用2a 表示，｜F 1F 2｜用2c 表示，当2a ＞2c ＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，无轨迹.如此，椭圆轨迹一定要有2a ＞2c 这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.
2.椭圆的标准方程
当焦点在x 轴上时：22a x +22
b y =1(a ＞b ＞0)
当焦点在y 轴上时：22a y +22
b
x =1(a ＞b ＞0)
注意：(1)三个量之间的关系：a 2
=b 2
+c 2
(2)由x 2,y 2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x 2的分母大，焦点就在x 轴上，y 2
的分母大，焦点就在y 轴上.
(3)在方程Ax 2+By 2
=C 中，只有A 、B 、C 同号时，才可能表示椭圆方程.
(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 本节学习方法：
1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等.
2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一样都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决.
【重点难点解析】
同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，要紧把握椭圆的定义及其标准方程，需要大伙儿学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进行反复的再摸索，再分析再明白得.
例1 求与椭圆92x +4
2
y =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.
解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x +42y =1得C 2
=9-4=5，且焦点在x 轴上，设
所求椭圆方程为22a x +5
22
a y =1
又∵点M(3，-2)在椭圆上
∴
29a +5
42
-a =1，得a 4-18a 2
+45=0 ∴a 2
=15或a 2
=3＜5=C 2
(舍)
∴所求椭圆方程为152x +10
2
y =1
解法二：(定义法)椭圆两焦点为F 1(-5，0)，F 2(5，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a ，即
2a=｜M 1F 1｜+｜M 1F 2｜=4)53(2++ +4)53(2
+-=215
∴a 2=15 b 2=a 2-c 2
=15-5=10
∴所求椭圆方程为152x +10
2
y =1
例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且通过两点P 1(6，1)，P 2(-3，-2)，求椭圆的方程.
解：设椭圆方程为mx 2
+ny 2
=1,(m ＞0，n ＞0) 由题意有⎩⎨⎧=+=+1
231
6n m n m
解得m=
91，n=3
1 ∴所求椭圆方程为92x +3
2
y =1
说明：设椭圆方程为mx 2
+ny 2
=1(m ＞0，n ＞0)可免讨论焦点的位置，而且运算简便. 例3 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为
3
4
5和
3
25，过P 作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.
解：设两个焦点为F 1F 2，且｜PF 1｜=
3
45，｜PF 2｜=
3
25
由椭圆定义知2a=｜PF 1｜+｜PF 2｜=25 ∴a=5 而｜PF 1｜＞｜PF 2｜知PF 2与焦点所在的对称轴垂直. ∴Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2=
1
2PF PF =
2
1 ∴∠PF 1F 2=
6
π
2C=｜PF 1｜cos 6π=
3
2
15 ∴b 2
=a 2
-c 2
=
3
10 故所求方程为52x +103y 2=1或10
3x 2+52
y =1
3.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法.
例4 已知圆C 1：x 2
+y 2
+4x-12=0与圆C 2:x 2
+y 2
-4x=0，动圆C 与C 1相内切，且与C 2相外
切，求动圆圆心的轨迹方程.
解：圆C 1与C 2的标准方程是
(x+2)2+y 2=16，(x-2)2+y 2
=4
圆心分别为C 1(-2，0)，C 2(2，0) 设动圆P 的圆心为P ，半径为r ，有 ｜PC 1｜=4-r,｜PC 2｜=2+r
∴｜PC 1｜+｜PC 2｜=6＞｜C 1C 2｜=4
∴P 点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b 2=a 2-c 2
=5
∴P 的轨迹为92x +5
2
y =1(在已知圆C 1内)
【难题巧解点拨】
例1 已知MN 是椭圆22a x +22
b
y =1(a ＞b ＞0)中垂直于长轴的动弦，AB 是椭圆长轴的两端
点，求直线MA 与NB 的交点P 的轨迹方程.
解：设M 、N 的坐标为M(x 0,y 0)，N(x 0,-y 0)，又A(-a,0),B(a,0)
因此直线AM 的方程为y=
a
x y +00
(x+a)
①
直线BN 的方程为：y=
a
x y --00
)a x (-
②
①×②得：y 2
=2
2020a
x y --(x 2-a 2
)
③
∵点M(x 0,y 0)在椭圆上，∴b 2x 2
0+a 2y 2
0=a 2b 2
∴x 2
0-a 2
=-22b a y 02,代入得③得：y 2=22
a
b (x 2-a 2
)
∴交点P 的轨迹方程为22a x -22
b
y =1
