椭圆方程的标准方程
椭圆的标准方程是一种表示椭圆的方程形式。对于平面上的椭圆，其标准方程可以表示为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a 和b 分别是椭圆在x 和y 方向上的半长轴长度。
如果椭圆的长轴与x 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的长轴长度，b 表示椭圆的短轴长度。
如果椭圆的长轴与y 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/b²+ (y - k)²/a²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的短轴长度，b 表示椭圆的长轴长度。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的中心，长轴和短轴的长度，以及椭圆在平面上的形状。
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椭圆的标准方程及性质 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距. (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数 }. 2． 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中 22b a c -= （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中 22b a c -= 3.椭圆一般方程 两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 12 222=+++m b y m a x )(2 b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭 圆方程可设为 ， 6：椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 x y O F F P A A B 1112 1 2 2 2M M K K
. 椭圆的标准方程及性质椭圆的两种定义：1． y?? F2a?F FF的点的轨迹，即点，(1)平面内与两定点的距离的和等于定长212PMM FF2a?FF FPFPFaFaMP，|+|时为线段|=2|}，2＞集|={；| |（1221122121 A2FF2a?FF. ，其中两定点叫焦点，定点间的距离叫焦距无轨迹）. xA O FFKK212111221的正常数的点的(2)平面 内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1PF?ePM. ＜={1的常数| ，0＜轨迹，即点集e?d 2．标准方程：22yx22ccFxabF b??ac 0＞0）；焦点）（－，0）， .（（1）焦点在（轴上，中心在原点：其中＞，1??2122ba22xy22ccFyabF1??，.（（0＞，＞0）；焦点其中（）焦点在（20轴上，中心在原点：，－））ba?c?2122ba 3.椭圆一般方程22BAABxAAxByABB时＜轴上，=1 （当＞0，，＞0时，椭圆的焦点在两种标准方程可用统一形式表示：≠+＞y. 焦点在，已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便轴上）．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异42222yxxy211????)(m??b)0?b?(a共焦点的椭圆方程可设为相同。与椭圆，共焦点，则c2222m?mbaba?此类问题常用待定系数法求解。22yx1??)0b?(a?共焦点的椭圆方程可设e相同。与椭圆共5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程离 心率，则22ba，为 2222xyxy1??1??)?0(a?b与6：椭圆的区别和联系 2222bbax??1??1(a?b?0(a?b?)0)标准方程2222abab 图形 F(?c,0)F(c,0)F(0,?c)F(0,c)，，焦点2121FF?2cc2F?F焦距2121x?by?b?a?xay，，范围
椭圆标准方程 【知识点】 知识点一 椭圆的定义 (1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}. (3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在 【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定 【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋ x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x2 25＋y2 16 ＝ 1. 椭圆标准方程的两种形式 焦点位置 标准方程 焦点 焦距
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
如方程为y 25＋x 2 4＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2. 类型一：椭圆的定义 【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹. 【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程. 即 x －32＋y －02－x ＋32＋y －02＝3， 整理得x 2 94 －y 2 27 4 ＝1(x <0). 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆. 设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3， 【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ①已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
关于椭圆的方程 椭圆是一种在数学中常见的几何图形，它具有许多特殊的性质和方程。在本文中，我们将详细讨论椭圆的方程及其相关内容。 让我们回顾一下椭圆的定义。椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。这两个点被称为焦点，常数被称为椭圆的离心率。椭圆的形状由其离心率决定，离心率小于1时，椭圆更加扁平，离心率等于1时，椭圆退化成为一个圆。 椭圆的方程可以通过不同的方式表示，其中最常见的是标准方程、中心方程和参数方程。 我们来看看椭圆的标准方程。对于以原点为中心的椭圆，其标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。这个方程描述了椭圆上所有点的坐标，使得它们满足到两焦点的距离之和等于常数1。通过调整a和b的值，我们可以改变椭圆的形状和大小。 我们来看看椭圆的中心方程。对于以(h, k)为中心的椭圆，其中心方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。这个方程相对于标准方程来说，只是在x和y上分别加上了中心坐标的偏移量(h, k)。通过这个方程，我们可以描述任意位置和大小的椭圆。 我们来看看椭圆的参数方程。参数方程使用参数t表示椭圆上的点
的坐标。对于以原点为中心的椭圆，其参数方程为：x = a*cos(t)，y = b*sin(t)。通过不同的t值，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。参数方程在计算机图形学和物理学等领域中经常使用。 除了方程，椭圆还有许多其他重要的性质。例如，椭圆的周长和面积可以通过其半长轴和半短轴的长度计算得出。椭圆的周长公式为：C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类椭圆积分，e是椭圆的离心率。而椭圆的面积公式为：S = πab。 椭圆还与许多其他数学概念和应用密切相关。例如，椭圆在天体力学中常用于描述行星的轨道，它们的形状和大小可以通过椭圆的方程来确定。椭圆还与抛物线和双曲线等曲线密切相关，它们都是圆锥曲线的特殊情况。 总结起来，椭圆是一种重要的数学图形，具有许多特殊的性质和方程。通过标准方程、中心方程和参数方程，我们可以描述椭圆的形状和位置。椭圆在数学和其他科学领域中都有广泛的应用，深入了解椭圆的方程和性质对于理解和解决相关问题非常重要。希望本文能够为读者提供有关椭圆的方程的基本知识和理解。
第一节 椭圆 1．椭圆的定义 (1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． （2）第二定义： )10(,||<<=e e d PF 注：第二定义中焦点与准线应对应 2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：1 2 22 2=+b y a x ，其中( > >0，且= 2 a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 1 2 22 2=+b x a y ，其中a ，b 满足： ． 说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(12 2 n m n m ny mx ≠>>=+ 适用于焦点位置未知的情形 （4）参数方程：?? ?==θ θ sin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对1 2 22 2=+ b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】 1．若方程 11 32 2 =-+ -k y k x 为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________ 2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是4 3，则此椭圆的标准方程是_____________ 3．若椭圆 12 2 2 =+ m y x 的离心率为2 1，则实数=m ______ 4．已知21,F F 为椭圆14 2 2 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2?的周长为______8 5．已知椭圆 12 16 2 2 y x + =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则 |ON|的长等于 .1 【例题讲解】 例1：根据下列条件求椭圆方程 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率5 5= e ； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为5 3 4和 5 3 2，过P 作长轴的垂 线恰好过椭圆的一个焦点；
椭圆及其标准方程 自主预习·探新知 情景引入 椭圆是一种美丽的曲线，它具有形状美和科学美．“神舟”六号载人飞船进入预定轨道绕地球飞行，其运行的轨道就是以地球中心为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及椭圆的方程，这样我们能算出“神舟”六号绕地飞行的轨迹方程． 新知导学 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F 1、F 2的距离的__和__等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，__两焦点__间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F 1F 2|时轨迹为__线段F 1F 2__，当常数小于|F 1F 2|时，轨迹__不存在__. 2．椭圆的标准方程 当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为__x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)__；当焦点在y 轴上时，椭圆的 标准方程为__y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)__. 其中在椭圆的标准方程中a ，b ，c 的关系为__a 2＝b 2＋c 2__. 预习自测 1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( A ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 [解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝10>|F 1F 2|＝6， 由椭圆定义，动点M 轨迹为椭圆． 2．设P 是椭圆x 24＋y 2 3＝1上的任意一点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于 ( A ) A ．4 B ．2 C ．23 D ．3 [解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴选A ． 3．椭圆x 2m ＋y 2 4＝1的焦距是2，则m 的值是( C ) A ．5 B ．3或8 C ．3或5 D ．20 [解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C ．
椭圆的基本方程 椭圆是平面几何中常见的一种物体，它是指在平面上取定两个定点（称为焦点），对于任意一点所满足的加权距离两点定理的数值恒等于一个定值的轨迹。这个定值叫做离心率，离心率为0时这个图形就成了一个圆。 椭圆的数学描述方法有很多种，其中最常见的就是基本方程式。在数学中，基本方程式是指用一组二次方程来描述椭圆的形状。具体的基本方程式表达如下： $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$其中，$x_0$和$y_0$分别是椭圆的中心点的坐标，a 和b分别是椭圆在x轴和y轴上的轴长。这个方程可以用来描述所有具有类似形状的椭圆。 基本方程算法的优点在于它非常简单，而且可以用来描述多种不同的椭圆形状。而且由于它是一个二次方程，因此它可以很容易地通过计算求出椭圆的各个参数，比如长轴、短轴、中心坐标等等。 然而，基本方程式也有一些缺点。比如，如果要描述一个非常宽或非常窄的椭圆时，基本方程法不太适合。这是因为在这些情况下，椭圆的轴长可能相差很大，甚至可能一个方向的轴长比另一个方向的长出数个数量级。这种情况下，基本方程法就会导致精度问题。另外，在描述非常扁平的椭圆时，也会存在类似的问题。
解决这些问题的方法之一是使用参数方程式来描述椭圆。参数方程式是指用一个参数（通常为$t$）来描述椭圆上的每一个点的坐标。具体的参数方程式表述如下：$ \begin{cases} x = x_0 + a\cos(t) \\ y = y_0 + b\sin(t) \end{cases} $ 这个方程式中，$x_0$和$y_0$表示中心点的坐标， $a$和$b$表示椭圆在x轴和y轴上的轴长。这个方程式能 够描述所有的椭圆形状，并且可以解决基本方程法的精度 和适用性问题。 综上所述，椭圆的基本方程式是数学描述椭圆最常用的方法之一。尽管它存在一些局限性，但它仍然是一个广 泛应用的方法。对于需要更高精度的椭圆描述问题，可以 使用参数方程式等其他方法进行求解。
椭圆标准方程的推导 椭圆是数学中的一个重要的几何图形，它在很多领域都有广泛的应用，比如天文学、航天技术、电子工程等。椭圆标准方程是描述椭圆的一种数学表达式，它可以用来表示椭圆上的所有点的坐标。本文将详细介绍椭圆标准方程的推导过程。 首先，我们需要明确椭圆的定义。椭圆是一个平面上的闭合曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。我们假设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，常数为2a。那么对于椭 圆上的任意一点P(x, y)，其到F1和F2的距离之和为2a。 根据勾股定理，点P到F1和F2的距离可以表示为： PF1 = √((x - c)^2 + y^2) PF2 = √((x + c)^2 + y^2) 其中c为焦距，即F1和F2到椭圆中心O的距离之和的一半。由于椭圆是对称的，所以F1O = F2O = c。 根据椭圆定义，我们可以得到以下等式： PF1 + PF2 = 2a √((x - c)^2 + y^2) + √((x + c)^2 + y^2) = 2a
为了方便计算，我们可以将上述等式两边平方，得到： (x - c)^2 + y^2 + 2√((x - c)^2 + y^2)√((x + c)^2 + y^2) + (x + c)^2 + y^2 = 4a^2 化简上述等式，可以得到： 2(x^2 + y^2) + 2c^2 + 2√((x - c)^2 + y^2)√((x + c)^2 + y^2) = 4a^2 进一步化简，可以得到： (x^2 + y^2) + c^2 - a^2 = √((x - c)^2 + y^2)√((x + c)^2 + y^2) 将等式两边平方，可以得到： (x^2 + y^2)^2 + 2c^2(x^2 + y^2) + c^4 - 2a^2(x^2 + y^2) + a^4 = ((x - c)^2 + y^2)((x + c)^2 + y^2) 继续化简，可以得到： x^4 - 2a^2x^2 + a^4 + 4a^2c^2x^2 + 4a^2c^2y^2 - 4a^4 - 4c^4 = 0 将上述等式进行整理，可以得到椭圆标准方程： (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1
椭圆的普通方程 椭圆是一种基本的曲线，它与圆形相似，但有很大的不同。椭圆是二维平面中最常见的曲线，它使用普通方程来描述。椭圆的普通方程有多种不同的形式，其中最简单的形式是标准椭圆方程：（x2/a2）+（y2/b2）=1 其中，a和b分别指椭圆的长轴和短轴。显然，当a = b，等式可以简化为： x2/a2 + y2/a2=1 这是一个圆的方程，a圆的半径。 如果要表示一个实际的椭圆，标准椭圆方程是不够的，我们需要添加一个额外的偏移量，使椭圆移动到新的位置。例如，要描述一个椭圆，可以使用如下方程： （x-h）2/a2 +（y-k）2/b2=1 其中，x-h和y-k表示椭圆的偏移量。h和k分别指定椭圆的中心的 x y标。 此外，椭圆还可以以非标准形式表示，这种形式也称为双曲椭圆方程，它的形式为： （x2/a2）-（y2/b2）=1 双曲椭圆的 a b 与标准椭圆的 a b同，但是 x向和 y向的系数不同。双曲椭圆是一种特殊的椭圆，它的长轴和短轴都不受限制。 椭圆是一种复杂的曲线，其形状受椭圆的参数（a、b、h、k）的影响。椭圆的普通方程提供了一种有效的方法来描述和分析椭圆的特
性。人们通过改变椭圆的参数来控制其外观，用于绘制各种形状的图形。由于椭圆的普通方程比较容易理解和求解，因此它被广泛应用于工程、科学和数学中。 椭圆的普通方程在很多领域都有用处，例如，在电力系统中，可以使用椭圆方程来描述电流和电压的关系。此外，它还被用于最小化函数，用于求解线性和非线性方程组，以及用于绘制受力分析图以及椭圆面积的计算。因此，椭圆的普通方程对工程、科学和数学都有重要的作用。 椭圆的普通方程也可以用来解决许多实际问题，例如，用椭圆方程可以设计各种装饰物，比如椭圆形的画框和壁画。此外，椭圆方程还可以用来计算椭圆形面积以及椭圆周长。 可以看出，椭圆的普通方程是一种非常重要的工具，它可以用来解决很多有趣的实际问题。它可以用来描述椭圆的特性和形状，以及应用于工程、科学和数学方面的实际问题。
椭圆定义及标准方程 椭圆定义及标准方程 椭圆是一种广为人知的几何图形，可以用来描述天文学、宇航学、力学等领域的许多轨迹。它的特点是自身的短轴大于长轴，形态有点像一个橄榄果，因此也称为橄榄式椭圆。在几何上，椭圆可以通过标准方程的形式来定义。 首先，我们需要明确椭圆的结构，即椭圆的焦点、长轴和短轴。焦点是椭圆周围的两个特殊点，椭圆的点都在连接焦点的线段对称；长轴是椭圆主要轴线，从一个焦点到另一个焦点的距离；短轴就是椭圆的副轴，它是从一个焦点到圆周上任意一点的距离。椭圆的标准方程都是指圆心坐标为(0, 0)的情况，即椭圆的圆心也是其中心点O。 根据椭圆的结构，可以推出椭圆的标准方程： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$是长轴长度，$b$是短轴长度。若要表示一般性的椭圆，需要使用一般性的椭圆方程：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$，其中$x_0, y_0$是椭圆中心点的坐标。可以通过改变$x_0, y_0$的值，将椭圆移动到任意位置。 在代数形式中，椭圆的标准方程可以定义为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，而一般性的椭圆方程为：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。 总结，椭圆可以用标准方程来定义。如果椭圆的圆心为(0, 0)，那么标准方程就是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，如果椭圆的圆
心不在原点，则一般性的椭圆方程为：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。椭圆的定义和标准方程对于理解和记忆椭圆有至关重要的作用，因此需要用心去学习。
椭圆圆方程的一般式和标准式 椭圆圆方程的一般式和标准式 椭圆是一种重要的数学和几何对象，具有广泛的应用。了解椭圆的方 程式是理解椭圆的第一步。本文将介绍椭圆圆方程的一般式和标准式。 一、椭圆圆方程的一般式 椭圆圆方程的一般式可以表示为： $$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$ 其中，$(h,k)$是椭圆的中心坐标，$2a$和$2b$分别是椭圆的长轴和短 轴长度。可以看出，当$a=b$时，椭圆变成了一个圆。 通过一般式，我们可以得到椭圆的一些基本信息。例如，椭圆的离心 率可以表示为： $$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$ 离心率越小，表示椭圆越圆；离心率越大，表示椭圆越扁平化。 二、椭圆圆方程的标准式 椭圆圆方程的标准式是：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 其中，$(0,0)$是椭圆的中心坐标，$2a$和$2b$分别是椭圆的长轴和短轴长度。这里的标准式是假定椭圆中心在坐标系原点的情况下的一种表示方式。 通过标准式，我们可以快速得到椭圆的一些基本特征。例如，椭圆的周长可以表示为： $$C=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2{\theta}}d\theta$$ 其中，$\theta$为参数角度，$e$为椭圆离心率。这个公式可以使用椭圆的长轴、短轴和离心率计算椭圆的周长。 三、椭圆圆方程的实际应用 椭圆在科学、工程和其他领域中都有广泛的应用。例如，椭圆可以描述行星的轨道、电子轨道和加速器环的设计。在实际应用中，我们可以使用椭圆方程来解决问题。 例如，一个椭圆形的花坛需要修建一条边长为$20$米的铁艺护栏，同时保证护栏与花坛的距离为$1$米。我们可以使用椭圆方程求出椭圆的一般式，以确定花坛的长轴和短轴长度，确定护栏的形状和大小。
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性：
【说明】： 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三) ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ∆=。 (四)通径 ：如图：通径长 ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22 =+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方 程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： x
椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0) 当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2 (2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上. (3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 典型例题 例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所 求椭圆方程为+ =1 又∵点M(3，-2)在椭圆上 ∴+ =1，得a4-18a2+45=0 ∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍) ∴所求椭圆方程为+ =1 解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即 2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2 ∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10
∴所求椭圆方程为+ =1 例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ， - )，求椭圆的方程. 解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0) 由题意有 解得m= ，n= ∴所求椭圆方程为+ =1 说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便. 例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和 ，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜= 由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a= 而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直. ∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= = ∴∠PF1F2= 2C=｜PF1｜cos = ∴b2=a2-c2= 故所求方程为+ y2=1或x2+ =1