数 学 文档 2020-2021秋季（上学期）《数学》
22.2.1 相似三角形及平行线截相似三角形
教学思路 （纠错栏）
学习目标：
1、经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．
2、会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题 学习重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 预设难点：三角形相似的预备定理的应用. ☆ 预习导航 ☆ 一、链接 1、（1）相似多边形的主要特征是什么？ 2、 平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？ 二、导读 阅读课本回答下列问题： 1、若△ABC ∽△DFE ，则()()()AC FE AB ==，∠A= ，∠B= ，∠C= . 2、写一写定理“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程. ☆ 合作探究 ☆ 1、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，对角线AC 与BD 交于点O ，若△OAB ∽△OCD （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若AB=10,OB=8, OA=9,
数 学 文档 2020-2021秋季（上学期）《数学》
教学思路
（纠错栏）
CD=6．求OD 、OC 的长 2、如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ， AE=4cm ，BC=5cm ， 求DE 的长． ☆ 归纳反思 ☆ 本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？ ☆ 达标检测 ☆ 1、 △ABC ∽△DEF 的相似比是m ，△DEF ∽△ABC 的相似比是n ，则mn = . 2、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 对，请写出来. 3、如图，DC ∥AB ，EF ∥OB. 求证：△OCD ∽△FAE.
C 1 B 1 C A B A 1 课题：§11．1 全等三角形 课型：新授 教学目标 (一) 知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二) 过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质． 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角． 教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法 教学准备：多媒体，三角板 预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？ 全等三角形有哪些性质？ 教学过程 (一) 提出问题，创设情境 出示投影片 ：1.问题：你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗？ 这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边，以及有关的数学符号． 记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” D A
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） （二）．新知探究 利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ； 将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略． 3. 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． （三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E
第十一章三角形 与三角形有关的线段 三角形的边 学习目标： 1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类； 2、能利用三角形三边关系进行有关计算。 新课导学： 三角形的有关概念——阅读课本第1至3页，回答以下问题： （1）三角形概念：由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。 （2）三角形的表示法（如图1）三角形ABC可表示为：； （3）ΔABC的顶点分别为A、、； （3）ΔABC的内角分别为∠ABC，，； （4）ΔABC的三条边分别为AB，，；或a，、； （5）顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别是。 三角形的分类： （1）下图中，每个三角形的内角各有什么特点 （2）下图中，每个三角形的三边各有什么特点 （3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类试一试 ①按角分类： ②按边分类： （4）在等腰三角形中，叫做腰，另外一边叫做，两腰的夹角叫做，叫做底角。 （5）等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰的等腰三角形。 3、三角形的三边关系
第1题 问题1：如图，现有三块地，问从A 地到B 地有几种走法，哪一种走法的距离最近请将你的设计方案填写在下表中： 路线 距离 比较 （3）阅读课本第3页，填写：三角形两边的和 （4）用式子表示：BC + AC AB （填上“> ”或“ < ” ） ① BC + AB AC （填上“> ”或“ < ” ） ② AB + AC BC （填上“> ”或“ < ” ） ③ 4、例题：用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少 解：设底边长为xcm ，则腰长是 cm 因为三角形的周长为 cm 所以： 所以x= cm 答：三角形的三边分别是 、 、 课堂练习： A 组 1．①图中有 个三角形，分别为 ②△ABC 的三个顶点是 、 、 ； 三个内角是 、 、 ； 三条边是 、 、 ； 2、如图中有 个三角形，用符号表示 3．判断下列线段能否组成三角形： ①4，5，6 （ ）②1，2，3 （ ） ③2，2，6 （ ）④8，8，2 （ ） 4、等腰三角形一腰长为6，底边长为7，则另一腰为 ，周长为 。 5、等腰三角形一边长为6，一边长为7，则第三边是 ，周长为 。 E D A 第2题 B 地 A 地
27.2.1相似三角形的判定（一） 学习目标：会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A ''' 知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时， △C B A '''与△ABC 的相似比为1/k ． 理解平行线分线段成比例定理的探究过程，并掌握该定理的应用。 学习过程： 活动一：类似相似多边形，我们如何给相似三角形下定义？请用几何语言给相似三角形下定义： 活动二：相似三角形与全等三角形有何内在联系？ 活动三：你知道判定三角形全等的方法有哪些？把它写出来。 类似地，判定两个三角形相似，也有简便的方法。 活动四：DE 是△ABC 的中位线，DE 与BC 有什么位置关系？你能写出一个比例式吗？ B ’ C ’
活动五 (1)两条直线l 1 , l 2 被三条平行线l 3 , l 4, l 5所截， l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上 截得的两条线段DE, EF,猜想 成立吗? 如何来验证你的猜想？ (2)你还能写出其他的比例式吗？ (3) 归纳总结： 平行线分线段成比例定理 ： 两条直线被一组________所截，所得的________ 线段成比例。 请用几何语言写出定理 （4）平行线分线段成比例定理推论 思考：1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ L 5 L 3 L 4 A D E F H B L 2 EF DE BC AB L 1
（2）、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2 （2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 活动五： 归纳总结： 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延 长线），所得的_______线段的比_________. 练习： 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4 ，AB=3，EC=1. 求AD 和BD. 活动六： 1.谈谈本节课你有哪些收获． “三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似． 2.相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比 k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k 1 CA A C BC C B AB B A =''=''=''，它们的关系是互为倒数． 四、达标测评 1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式． 活动七： 活动八： 活动：
19.1 命题与定理 一.教学目标： 1. 知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。 2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 二.教学要点：找出命题的条件（题设）和结论。三.教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。 四.教学难点及突破措施：命题概念的理解。让学生多说，多讲，多练习。 五.教学时间：第九周第3节 六.教法设计：讲练结合 七.教学过程 一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
12.1 全等三角形 导学案 学习目标：1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 学习重点：全等三角形的性质． 学习难点：找全等三角形的对应边、对应角． 学习过程： 一．获取概念： 阅读教材P31-32页内容，完成下列问题： （1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。 （2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于” （4）全等三角形的性质： （5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.，.点A 与 点A 1是对 应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应角： 对应边： 。 C 1 1A B A 1 二 观察与思考： 1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF （图甲）；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC （图乙）； 将△ABC 旋转180°得△AED （图丙）． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。
三、当堂反馈 1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的 边 。相等的角 。 D C A B O D C A B E D C A B E O 图1 图2 图3 图4 2如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的对应角 对应边：AB AE BE 3.已知如图3，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边 对应角 ． 4.如图4，,DBE ABC ???AB 与DB ，AC 与DE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠A B ，求BED ∠。 解： ∵∠ A+ ∠B+∠BCA=1800 ( ), 30,43=∠=∠A B ( ) ∴∠BCA= ∵,DBE ABC ???( ) ∴∠BED=∠BCA= ( ) 5.完成教材P32练习1、2 四、概括总结 找两个全等三角形的对应元素常用方法有： 1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。 2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素． 3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． 4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 五．课后反思
27.1 图形的相似（第1课时）总 1 课时 一、教学目标：通过对事物的图形的观察、思考与分析，认识理解相似的图形。 二、重点难点：认识图形的相似、形成图形相似的概念。 三、学情分析：在现实世界中广泛存在着图形相似的现象，探究相似图形一些重要性质的过程，使学生更好的认识、描述形状相同的物体，体会相似图形在刻画现实世界中重要作用；在解决实际问题中，发展学生数学应用意识和合作交流能力。 四、自主探究 问题一： 1、相似图形的定义？ 2、请举例说明我们生活中相似图形的实例。 问题二： 1、两个相似图形之间有什么关系？ 2、思考 （1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ （2）人站在平面镜前看到的镜像及哈哈镜里看到的镜像，它们相似吗？为什么？ 问题三：全等形与相似图形之间有什么关系？ 五、尝试应用 1、下图中的哪组图形是相似图形（） 2、观察图27-1-6中图形（a）—(g)，其中哪些是与图形（1）、（2）、（3）相似的。
3、如图，在4×4的正方形网格上，有一△ABC 。现要求再画一△A’B’C’，使这两个三角形相似(非全等)。 六、补偿提高 1、（教材P37练习第2题变式题）观察下列各个图形，找出其中相似的图形。 2、如图所示，左侧上海名牌大众汽车的标志图案，与右侧A 、B 、C 、D 四个图形中相似的是（ ） 3、下列是相似图形的有( ) A. 两个三角形 B. 两个正方形 C. 两个直角三角形 D. 两个矩形 4、如图，作出与方格纸中的图形相似的图形，使点A 与A ′对应，且所画的图形是原图形的2倍。 七、小结与作业 八、教学后记： 九、学生出勤： C B A
平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当 1A 2AE C =时，求 AO AD 的值； E A O
鸡西市第十九中学学案
一、填空题 1．_____ 的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____ 上． 3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 4．如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____． 图1－1 图1－2 图1－3 5．如图1－1所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____，∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 6．如图1－2，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°． 7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 8．已知：如图1－3，ΔABD ≌CDB ，若AB ∥CD ，则AB 的对应边是 （ ） A ．DB B ．BC C ．CD D ．AD 9．下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 10．如图1－4，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么 BC 等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 图1-4 图1-5 图1-6 11．如图1－5，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于 （ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 12．如图1－6，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 三、解答题 13．已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°， 求∠ADB 的度数． 综合、运用、诊断 一、填空题 14．如图1－8，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝ 28∶5∶3，则∠α的度数为______． 图1－8 15．已知：如图1－9，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长；（2）求证：AB ∥DE ． 图1－9 拓展、探究、思考 16．如图1－10，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论． 图1－10
三角形的边
检测练习一、如图，在三角形ABC中， （1）AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC （2）假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C， 有路线。路线最近，根据是：， 于是有：（得出的结 论）。 （3）下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？ ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。 （2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解： （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 （1）等边三角形是等腰三角形 （2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （3）三角形的两边之差大于第三边 （4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是（） A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是（） A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？ 【C】组（共小1-2题） 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. （1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数） （2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？
全等三角形 适用年级八年级 所需时间课内8课时，课外2课时。 主题单元学习概述 从知识的特点上来讲，关于全等三角形的相关知识注重学生通过动手实践发现规律，注重培养学生的思维能力，注重数学与现实的联系；从心理学上讲，八年级学生的认知正从具体运算阶段向形式运算阶段转化，适当的动手操作活动以及问题丰富的现实背景可以帮助他们能更好地掌握相关知识。 《全等三角形》的内容，主要包括全等三角形的概念、全等三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质。全等三角形是研究图形的重要工具，只有灵活运用它们，才能学好相关知识。本章开始，使学生理解证明的过程，学会用综合法证明的格式。这是本章的重点，也是难点。对角平线的性质与判
定中也不提出互逆定理。这样不致于一下给同学们过多的概念，而加大学生负担。本章中注重让学生经历三角形全等条件的探索过程，更注重对学生能力的培养与联系实际的能力。 我将采用以下的教法与学法：1、引导学生通过动手操作，探究规律；2、注重推理能力的培养，提高理性思维水平；3、联系生产生活实际，增加学习动力； 发展学生的思维能力，沟通知识与现实的联系。 主题单元规划思维导图 主题单元学习目标（
知识与技能： 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。 2. 探索三角形全等的判定方法，并能灵活、综合运用。 3. 会作角的平分线，掌握角的平分线的性质并会利用它进行证明。 过程与方法： 1.经历三角形全等的探索过程，将两个三角形的六个要素随意组合针对每种情况做出分析与验证，得出三个定理，然后将其迁移到直角三角形的判定中来。 2．经历应用全等三角形及解角平分线的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 3．通过开放的设计题来发展思维，培养学生的创造力。 情感态度与价值观： 1.培养学习数学的兴趣，初步建立数学化归和建模的思想，积极参与探索，体验成功的喜悦。 2.通过体验抽象的数学来源于生活，同时又服务于生活。增强了学习数学的兴趣及对生活的热爱
第四章 三角形 4.1 认识三角形（1） 学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力； 2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”； 3、按角将三角形分成三类。 学习重难点：三角形内角和定理推理和应用。 学习设计： （一） 预习准备 （1）预习书62－65页 （2）思考①三角形的角之间的关系①三角形的分类 （3）预习作业 三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角 三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。 （二） 学习过程 例1 证明三角形的内角和为180° 例2 在①ABC 中，（1）0 82,42,C A B ∠=∠=∠则= （2）5,A B C C ∠+∠=∠∠那么= （3）在①ABC 中，C ∠的外角是120°，B ∠的度数是A ∠度数的一半，求①ABC 的三个内角的度数
变式训练：在①ABC 中（1）00 78,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°，010B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠= 例3 已知①ABC 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状？ 变式训练：已知①ABC 中，0 90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状？ 例4 如图，在①ABC 中，090ACB ∠=,CD ①AB 于点D ， 1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢 例5 如图，已知0 60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。 2 1D C B A O C B A
相似形复习课学案 总编号：NO. 22 命题人：陈光双 审核人：初二数学组 学习目标：1.熟练掌握相似三角形的基础知识 2.灵活应用相似三角形的知识解决数学问题 重点、难点：相似三角形知识的应用 课前复习： 比例的性质 比例的基本性质 和比性质 等比性质 定义 相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于 相似三角形 性质 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于 1. ，两三角形相似 2. ，两三角形相似 判定 3. ，两三角形相似 直角三角形的判定方法是 课中探究： 一．基础巩固（易错点）： 1. △ ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且∠AED= ∠ B ， 那么△ AED ∽ △ ABC ，从而 AD ( ) =DE BC 2.如图，DE ∥BC, AD:DB=2:3, 则S △ AED:S △ ABC =＿＿＿. D A C B A B C D E A B C D E 第1题 第2题 第5题
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm ， 则三角形乙的最短边为______cm. 4.等腰三角形ABC 的腰长为18cm ，底边长为6cm,在腰AC 上取点D, 使△ABC ∽ △BDC, 则DC=______. 5． 如图，D 是△ABC 一边BC 上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA 的条件是（ ）. A.AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB 2=CD·BC D.AB 2=BD·BC 二·基础巩固（易漏点） 6·D 、E 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且DE ∥BC ，∠DCB= ∠ A ，把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_______组。 7·已知菱形ABCD 的边长为8，点E 在直线AD 上，DE 等于4，连接BE 与对角线AC 相交于点N ，则 NC:AN= 三．跟踪检测： 第6题 8．如图，△ADE ∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 第8题 9．·如图若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 第9题 10、如图：DE ∥BC, AD:DB=3:4, △ADE 与 △ ABC 的周长比为 ， △ABC 与四边形DBCE 的面积的比为 A B E D C A C B D E 2 733 图6 A
课题:12.1．1全等三角形 班级 姓名 时间 学习目标: 1、能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。 2、能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。 3、能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。 学习重点:探究全等三角形的性质 。 学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角。 学习过程： 一、课前研学(预习教材31页-32页的内容，完成下面的问题) （约3-5分钟） (一)、全等形、全等三角形的概念 1、能够完全重合的两个图形叫做 ． 全等图形的特征：全等图形的 和 都相同． 2、全等三角形． 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （二）、全等三角形的对应元素及表示 阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空： 1、 平移 翻折 旋转 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2、全等三角形的对应元素（说一说） （1）对应顶点（三个）——重合的 （2）对应边（三条） ——重合的 （3）对应角（三个） ——重合的 3、寻找对应元素的规律 （1）有公共边的，公共边是 ；（2）有公共角的，公共角是 ；
第（4）题图 E B A E 第（1 ）题图E C B F C 第（2）题图D A C B （4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边； 最大角对应最大角，最小角对应最小角． 简单记为：（1）大边对应大角，大角对应 ; (2) 公共边是对应边，公共角是 ，对顶角也是 ; 4、“全等”用“ ”表示，读作“ ” 如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 二、课堂探究 （约15-20分钟） 知识点1：全等三角形的性质 阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空： 活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题： （1） 如图（1）△ABC ≌△DEF ，BC 的对应边是 ，即可记为BC= 。 ∠A 对应角是 即可记为∠A = 。。 （2） 如图（2）△ABC ≌△DEF ，△ABC 的边AC 的对应边是 ，即可记为AC= 。 （3） 如图（3）△ABC ≌△ ，∠ABC 对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （4） 如图（4）△ABC ≌△ ，△ABC 的∠BAC 的对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （5） △ABC ≌与△DEF ，AB=DE,AC=DF,BC=EF,写出所有对应角相等的式子。 小结1：规律总结： 1、全等三角形的对应边 ，对应角 。 2、两个三角形全等，与它们所在的位置 关系。(填有或无) 知识点2：全等三角形的性质例解 例1：如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角． D C A B O D C A B E 图1 图2
1.1与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 「引入课」三角形的引入 视频助学 学习视频【三角形的引入】 「概念课」三角形的分类 学习目标 ? 了解三角形的分类方法 ? 了解等腰三角形与等边三角形的定义 视频助学 请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．． 【三角形的分类】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题1 三角形如何按角进行分类？（00:00-00:26） 1. 三角形按角分类可以分为a ：___________、b ：____________和c ：_____________． 引导问题2 三角形如何按边进行分类？（00:26-03:07） 2. 等腰三角形：有________相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做________，另外一条边叫做________，腰和底边的夹角叫做________．如图，等腰三角形ABC 中， AB AC =，B ∠和C ∠是____角，且B ∠____C ∠． 3. 等边三角形：____边相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的________三角形．如图中，等边三角形ABC 中， ______AB ==，且______60A ===?∠． 4. 三角形按边分类可分为：三边都不相等的三角形和________________． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】 提出疑问 预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来： ______________________________________________________________________
「概念课」三角形的三边关系 学习目标 ? 了解三角形的三边关系 ? 掌握三角形的构成条件 视频助学 请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．． 【三角形的三边关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题1 三角形的任意两边之和与第三边有什么关系？（00:00-04:00） 1. 三角形两边之和________第三边． 证明：根据两点之间________最短 ∴有___AB BC +> ___AB AC +> ___BC AC +> 2. 我们可以快速验证任意三条线段是否可以构成一个三角形，只需要比较相对 ________(短/长)的两条边的长度之和与第三边长度的关系，如果________第三边，则可以构成一个三角形． 3. 根据上述方法，请你算一算三条分别长为4cm ，6cm 和10cm 的线段能否构成三角形？ 引导问题2 三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？（04:00-04:46） 4. 三角形两边之差________第三边． 证明：由三角形两边之和大于第三边，得： ______AB BC AB BC +>??→>- ______AB AC AC AB +>??→>- ______BC AC BC AC +>??→>-
第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形 名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形． 巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ： QD. (第1题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值． (第2题) 3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ． (第3题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC . (第4题 ) 过一点作平行线构造相似三角形 5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1 4 AB ，连接EM 并延 长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一： (第5题①) 作辅助线的方法二： (第5题②) 作辅助线的方法三： (第5题③) 作辅助线的方法四： (第5题④)
§4.6相似三角形及其应用 学习目标： 1.了解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的方法；会用相似三角形性质证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等． 2.了解图形的位似及性质，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小． 3.在利用图形的相似解决一些实际问题的过程中，进一步学习分析问题和解决问题的能力． 一、课前预习 （一）知识梳理 1．相等，成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形 是三角形。 2．相似三角形的判定：①对应相等的两个三角形相似．②两边对应成，且相等的两个三角形相似．③三边的两个三角形相似． ④如果一个直角三角形的和一条边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．⑤平行于三角形一边的直线，截其它两边所得三角形与原三角形 . 3.相似三角形的性质 ①相似三角形的相等，成比例．②相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于．面积的比等于． 4. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做位似比． （二）基础训练 1．如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm， △ABC∽△APQ的相似比是（） A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 2．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.
3.如图，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行， 请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC． 4.下列说法中正确的是（） A．两个直角三角形一定相似； B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似； D．两个等腰梯形一定相似 5.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（） A．1 4 B ． 4 1 C． 1 3 D． 3 4 6. 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16， 面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( ) A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6 7.如图，点P是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点， 过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似， 满足这样条件的直线共有（）条． A．1 B．2 C．3 D．4 二、例题精讲 例1如图，⊙O中的弦AB截另一弦CD成CE、DE两部分，已知AB=7，CE=2，DE=6，求AE长 A E D C B