恒星环境下β+衰变的计算

第２８卷Ｖｏｌ．　２８第２期

Ｎｏ．　２ 西华师范大学学报（自然科学版）

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ　Ｗｅｓｔ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）２００７年６月

Ｊｕｎ．　２００７

文章编号：１６７３－５０７２　（２００７）　０２－０１４１－０４恒星环境下１８＋衰变的计算

刘门全，罗志全，李家烈（西华师范大学理论物理研究所．四川南充６３７００２）

摘要：对恒星环境下尹‘衰变的相空间积分进行了讨论．计算中考虑了Ｆｅｒｍｉ函数、形状修正因子、子核反冲效应这几个方面对相空间积分的影响，以’＇Ｎｅ，．　）１８Ｆ反应为例给出了不同温度下电子的Ｆｅｒｍｉ一Ｄｉｒａｃ分布对相空间积分的影响．结果表明：低温下电子的Ｆｅｒｍｉ一Ｄｉｒａｃ分布对相空间积分的影响很小，可以忽略，高温下电子的Ｆｅｒｍｉ一Ｄｉｒａｃ分布对相空间积分的影响较明显．因此在恒星环境下讨论温度的影响是很必要的．关键词：恒星演化；，ａ衰变；相空间中图分类号：Ｐ１４５．　８文献标识码：Ａ

１引言 由于弱相互作用（特别是ａ衰变和电子俘获）在恒星晚期理论研究中的重要性，多年来人们对恒星环境下的弱相互作用问题进行了深人的研究．Ｂｅｔｈｅ等认为，在高密环境下Ｇａｍｏｗ一Ｔｅｌｌｅｒ（　ＧＴ　）共振跃迁能大大提高其电子俘获反应率，并可能影响ＩＩ型超新星的前身星中铁核心的形成和核心区的坍缩［１ｌ．此后，Ｆｕｌｌｅｒ，Ａｕｆｄｅｒｈｅｉｄｅ等学者对恒星环境下的弱相互作用率的精确计算做了许多工作，他们采用核壳层模型讨论了ＧＴ跃迁的共振能量和共振强度，并详细计算恒星内部大量核素的电子俘获率和刀衰变率［’一‘］．近年来，由于关于原子核内ＧＴ分布的实验数据成为可以获得的信息，表明ＦＦＮ采用的ＧＴ贡献参量值有较大误差．这些数据清楚的表明：在子核中，ＧＴ强度分布分裂成好几个激发能不大的状态．这样人们就意识到我们需要改进以前的理论描述，但是，也变得明显的是：要对核内的ＧＴ分布进行可靠的描述，就要求对核壳层模型进行仔细的分析，包括分析大幅度震荡壳层中的价核子间的所有关联．Ｌａｎｇａｎｋｅ等人对核素进行了大量壳层计算，极大地丰富了超新早前身星环境下的核素的弱相互作用率数据［５，６Ｊ现在认为比较精确的壳层模型方法有２种，即大结构的对角化方法和壳层模型Ｍｏｎｔ　Ｃａｒｌｏ技术（ＳＭＭＣ）．　ＳＭＭＣ其实是得出一个平均的ＧＴ强度分布，对电子俘获的计算结果比ＦＦＮ的结果普遍偏小，但与实验符合很好，对某些核素甚至减小１　－２个量级，但它在对低温时的奇一Ａ和奇一奇核的处理上有较大误差，对角化方法提供详尽的谱分布信息，因而它比ＳＭＭＣ更精确．但这种计算是相当复杂的，而且不能适用于所有的核素〔，１刀衰变是电子俘获的逆过程，在塌

缩初期虽然不是引起坍塌的主要因素，但是随着塌缩进行，当电子丰度在０．４２一０．４６时，Ｒ衰变速度可能大过电子俘获的速度从而达到Ｒ平衡〔月］．除了对核的激发态的分布情况研究，对于弱相互作用相空间函数的研究同样活跃，我们曾经考虑过电荷屏蔽效应的影响〔＂．　２００５年，Ｈａｒｄｙ等在原有许多作者的基础上，同时考虑对非恒星环境下的库仑因子、形状因子、反冲力、屏蔽作用等相空间函数的影响〔‘。］，但是忽略了温度对于相空间函数的影响．在恒星内部温度０．　１　＜兀＜１０（几是以１扩Ｋ为单位的温度），在这样的高温高压下，综合考虑包括温度在内的几个方面影响是必要的，本文将就此问题以９衰变为例开展探讨．

２恒星环境下１６十衰变的计算 在致密恒星内部高温高压的情况下，对于一个处于平衡态下的核素，应用原子核的壳层模型，按照衰变的跃迁定则，便可以确定某一原子核发生衰变时可能的跃迁途径，当计及所有初态Ｌ和末态１时，其１３衰变率公式为〔４］

收稿日期：２００６一１２－２０签金项目：国家自然科学基金资助项目（（１０３４７００８）作者简介：刘门全（１９７８一），男，四川沪州人，西华师范大学物理与电子信息学院助教，主要从事天体物理方面的研究１４２西华师范大学学报（自然科学版）２００７年

，、，、，，，（２　Ｊ，＋１）ｅｘｐ［一Ｅ；／ｋＢＴ］，ｅ（ｐ，Ｔ，玖，Ｑｃ，　）Ａ．ｋＤ，Ｉ。Ｉ＿）＝ｉ　ｎａ　２．ｅｓｅｓｅｓｅｓｅｓｅｓｅｓｅｓｅｓ二尸犷二二ｅｓｅｓ了－：二二．ｓｅ一￣－．－，－州 ｘ　Ｌ 下‘（Ｚ，Ａ，Ｔ）了办１１

（１）

其中Ｐ为质量密度，Ｔ为温度，玖为电子丰度，Ｋ为常数，通常取为６　２５１土６，　Ｊ‘和Ｅ‘分别为母核的角动量和激发能量，ｋ，为玻尔兹曼因子，Ｇ（Ｚ，Ａ，　Ｔ）为核配分函数（Ｚ，Ａ分为表示核的电荷数和质量数），Ｑ。为初态和终态之间的能量差别，ｆｔ，；是连接Ｌ和ｉ的比较半衰期，ｅ（ｐ，Ｔ，Ｙ，Ｑ）是１６衰变的相空间积分，当忽略形状修正和屏蔽修正但考虑温度影响时

ｆ｝　（ｐ，Ｔ，　ＹＩ，Ｑ户＝（ｍ，　ｃ２）ｐ２ｐ（Ｑｏｏ一Ｗ）　２　Ｆ（一Ｚ＋１，Ｗ）　（１一ｆ）　ｄｐ．

（３）

这里关＝１／［１　＋ｅｘｐ［（Ｗ＋２ｍ，ｃ２　＋Ａ，）／ｋＢＴ］为正电子的Ｆｅｒｍｉ－Ｄｉｒａｃ分布函数，其中Ｗ。为电子的化学势．仇。是电子总能量的最大值，Ｆ（Ｚ＋１，Ｗ）为Ｆｅｒｍｉ函数，。是光速，ｍ，，ｐ分别为电子质量和动量，Ｗ是电子能量（包括其静止质量）．当考虑形状修正和子核的反冲效应而忽略温度影响时采用类似文献【１０］中的方法可以得到

ｆ２　（Ｐ，Ｙ，Ｑｏｏ）＝一兰－ＹＲ（。、１＿＿２＼，‘、、丫田，、ｍ，ｃ　）

９一’今（Ｑ二一Ｗ）　２　Ｆ（一Ｚ＋１，Ｗ）Ｓ（Ｚ，Ｗ）　ｄｐ．（３）

这里若为常数，在超容许Ｆｅｒｍｉ型跃迁中，｝＇＝１川Ｍ，．　１２．　Ｉ　ＭＦ｝是Ｆ型跃迁矩阵元．对于‘一Ｔ跃迁９＝１／　Ｉ　Ｍｃｒ　１２．　Ｉ　Ｍｃｒ｝是‘一Ｔ跃迁矩阵元．由于子核发生月衰变后不是静止的，而应有一个很小的反冲动能．但是这个修正是非常微小的，因此，只需在上式中引入一个反冲力因子Ｒ　（Ｑｏｏ　） Ｒ（Ｑ．）＝１一３　Ｑｏｏ／２Ｍ，，． （４）其中Ｍ，是开始和最后核静止质量的平均值．Ｓ（Ｚ，Ｗ）为形状修正因子，进一步化简可表示为Ｆ（Ｚ，Ｗ）　Ｓ（Ｗ，Ｚ）＝ＦｏＬａＣ（Ｚ，Ｗ）．其中Ｆｏ　＝２Ｆ（Ｚ，Ｗ）／１　＋ｙ󰀀ＦｏＬ。是电子波函数的振幅，ＦｏＬ。二（ＣＬ　２　，　＋　ａ２　Ｉ　）　／２Ｐ２，　ｙ．　＝　｛　ｋ２一（ａｚ）２｝Ｉ／２，　ｋ多偏振的跃迁算符，Ｃ（Ｚ，Ｗ）是的形状修正函数．而在文献【５」中给出其表达式为（５）代表

Ｃ（Ｚ，Ｗ）二．Ｅ．ａｋ｝｛麟（ｋ．，Ｋ，）＋ｍｋ　ｚ　（ｋ，　ｋ󰀀）一（２Ｎ，ｔ＿，ｙｔ＿）／（ｋ，Ｗ）Ｍｋ（ｋ，ｋｙ）ｍｔ（ｋ．，ｋｙ）｝．（６） 心产产其中ｋ．，　ｋ，分别是电子和中微子波函数分波展式，气＝１．＋１／２，　ｋ，　＝ｊ｝　＋　１／２．　ｊ．　Ｊ，是电子和中微子的总角动量

整数〔川＋Ａｋ　＝　｛　（ａ？　ｋ　＋ａ＋ｋ）／（ａ？　，　＋ａ＋１　）［ （ｋＷ）／Ｙｋ｝，对于一个单独的跃迁扁坷。

、Ｉ

Ｊ工

、，Ｊｌ

，尸

００

矛‘、

了．、

Ｍｋ　（ｋ，　ｋ󰀀）二ｖ４ｉＴ／ＫＪ；　ＩＬＳ（一）“一’‘＜ｊ．　１　Ｆ（ｒ）　ＴＫＳ　１‘，＞，ｍｋ（ｋ，ｋ｝）＝甲４？Ｔ／Ｋｊ；　Ｉ一）（Ｋ一‘，＜１ａ“ｆ（ｒ）编１１　Ｊｓ＞．其中１二

其中（２ｊ　＋１）ｖ２，　ｊ，‘是衰变核的自旋，其中辐射函数是

Ｆ（ｒ）二Ｈ（ｒ）｛Ｇ＿－１ｋ，－，　（Ｐ．ｒ）一Ｇ＿＋．ｌｋ，（Ｐ，ｒ）　ｆ　＋ｄ（ｒ）｛Ｇ，－Ｊｋ｝－ｉ　（Ｐ，ｒ）一Ｇ，＋Ｊｋ｝　（Ｐ，．）ｒ｝．ｆ（　ｒ）＝ｈ（ｒ）｛Ｇ－－ｊｋｖ－ｉ（Ｐｏｒ）一Ｇ－　Ｊ，（Ｐ，ｒ）｝＋ｄ（ｒ）｛Ｇ　＋　－１ｋ，－．　（Ｐ，ｒ）一Ｇ＋＋Ｊｋｏ（Ｐ．ｒ）｝． （９）

（１０）

Ｈ（ｒ）＝１／２［ｆｋ．（ｒ）＋ｇ一，Ｊｒ）］・Ｄ（ｒ）＝１／２［ｇｋ｝（ｒ）　＋ｆ－　ｋ，（ｒ）］・ｈ（ｒ）＝１／２［ｇｋ｝　（　ｒ　）＋ｇ一；。（ｒ）〕．ｄ（ｒ）＝１／２［ｇｋ．（ｒ）　＋ｆ－ｋ，（ｒ）］・人（ｒ）　，ｇｋ（ｒ）是电子发射函数，用球贝塞函数代替了中微子发射波函数．函数Ｇｘｒｓ（ｋ｝，ｋ．．） （１１）

二１‘，＋乙＋‘・（一）ｊ，　－ｊ｝，

Ｃ，＋，Ｃ，＿，ｃ＿，，Ｃ＿＿分别表示ＧＫＬｓ　（ｋ，　ｋ，．）　，　ＧＬ，　（ｋ，，一ｋ󰀀　）　，　ＧＫＬＳ（一ｋ，　ｋ，）和ＧＵＳ（一ｋ，，一ｋ，）．　Ｔ，“取决于角度的自旋坐标，并写为瑞二（Ｖｏ＋Ａｏ）１／２　ｉＬ　ＹＬＭ（Ｔ）ＳＫＬ，

ＴＫＬＳ二（Ｖ＋注）・ＬＬ　ＹＫＬＡＩ（Ｔ）．（Ｓ＝０　）

（ｓ＝Ｉ）Ｖｏ，　Ａ。是矢量和轴矢量的时间部分，Ｖ，Ａ是矢量和轴矢量的空间部分，Ｙ．　（ｒ）是矢量球偕函数． （１２）

以上所得到的相空间积分都没有把形状修正、子核的反冲效应和温度这几个因素一起讨论，为了进一步提高刀衰变率的第２８卷第２期刘门全，等：恒星环境下川衰变的计算１４３

精度，我们给出了新的相空间积分．６（。，Ｔ，　Ｙ，，Ｑｏｏ’二（　ｍ　ｃ２　）　｝Ｒ　（Ｑ．’２ｏａ；－ｆｉ，４ｐ２ｓ２’Ｗ）　（Ｑ．一Ｗ）２Ｆ一（一Ｚ＋１，　Ｗ）　（１　－ｆ　）　ｄｐ． （１３）

３数值结果和分析 为了与原来的结果比较，表１给出了以‘８Ｎｅ（口＋）１８Ｆ为例子考虑温度从１０８　Ｋ一１０＇Ｏ　Ｋ，密度为１０，ｇ／ｃｍ３和ｐ　＝　１０６　ｇ／ｃｍ，时的相空间积分值，其中ｅ，考虑了Ｆｅｒｍｉ一Ｄｉｒａｃ分布函数的影响．从中可以看出随着温度增加Ｓ９／兵越小，表明影响越大，在１护Ｋ以下，温度对“Ｎｅ（月＋　）　＂Ｆ的衰变率几乎没有影响，可以忽略．但是在温度很大时，特别是超过５　ｘ　１０＇　Ｋ时，影响比较明显甚至大于５％　（Ｔ＝　１０＇０Ｋ）．由于化学势主要由密度决定（特别当密度较大时），因此Ｆｅｒｍｉ一Ｄｉｒａ。分布的影响是密度和温度共同作用的结果，在相同的温度下密度增加，影响越小（见表１），综合以上分析，我们认为在高温和低密条件下，考虑电子Ｆｅｒｍｉ－Ｄｉｒａ。分布函数对月＋衰变的影响尤为必要

表１．当然对于其他核素的影响也是类似的．这里不再一一详述．

不同温度下’ＢＮｅ（Ｒ＋）１８Ｆ反应的相空ｊｅｌ积分（Ｃ２　＝　１３４．　４８５　２　）Ｐ＝１０５ｇ／ｃｍ３Ｐ二１０６　ｇ／ｃｍ；Ｆ４，　（Ｍｅｖ　） ０．０５２ ０．０１１一０．０２６一０．０９８一０．３８３一０．４７６一０．５０２一０．５０７一０．５０９Ｓ３Ｓ３１　２６３Ｓ３ｌＳ２１３４．４８５２１３４．４８５２１３４．４８５　２１３４．４８５２１３４．４８５２１３４．４８１　６１３４．３８１　５１３３．１０９７１２３．６９５０１．０００　０００１．００００００１．０００　０００１．００００００１．０００００００．９９９９７３４０．９８９７７２３０．９６７　１８３　４０．９１９７６６５Ｕ．（Ｍｅｖ） ０．２１４ ０．２０２ ０．　１８９ ０．１６１ ０．００１一０．２１２一０．４２０一０．４６９一０．４９１