第十二章微分方程自测题

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第十二章微分方程自测题

一、选择题

1．函数(其中C

是任意常数)是微分方程2

1Cx

eCy+

21,C0=−′′yy

的（）

通解; 特解; C

不是解; 是解,但即不是通解也不是特解; .B..D

2．微分方程

221

yxyyx=+′

的隐式通解为（）

；CxyxA=−2.22

；CxyxB=−3.2

；Cxxy=−3.2

；CxyxD=−3.33

3．

设二阶导数连续且满足微分方程，是)(xf2

eyy=′−′′

0x)(xfy=

的一个极值点,

则（） )(xf

在的某邻域内是凹函数; 在的某邻域内是凸函数;

0x.B

在的某邻域内单增; 在的某邻域内单减; .C

0x.D

4．关于Bernoulli方程的说法不正确

．．．的是（） n

yxQyxpy)()(=+′

nA.

为任何非负整数; 通过变换求解; .Bn

yz−

设则,1n

yz−=

dxdz

dxdyn

−=

1 最终化成一阶线性方程求解; .D

5. 解微分方程时,令02

=′−′′yyypy=′

原微分方程化成的方程为（）

由于,故由于py′=′′02

=−′ypp.B,ppy′=′′

故0=−′ypp

;

由积分得.Cpy=′,

py=故0

=−′pp

; 以上答案都不对; .D

6．下面关于齐次与非齐次线性方程解的说法不正确

．．．的是（）

若),,2,1()(kixy

iL=

是齐次的解,则∑

仍是齐次的解(C

是常数);

iiixyC

1)(

若),,2,1()(kixy

iL=

是非齐次的解,则仍是非齐次的解(C

是常数); ∑

iiixyC

1)(

1.C

若是非齐次的两个解,则)(),(

21xyxy)()(

21xyxy−

是齐次的解;

非齐次的通解等于齐次的通解加上非齐次的一个特解;

7．微分方程shxyy=′−′′

的特解形式应设为( )

；xx

BeAeA−

；xx

BxeAeB−

+.；xx

BeAxe−

+.；)(.xx

BeAexD−

8．微分方程的特解形式应设为（） x

xeyyy−

=+′+′′2

；)(.

10xBBeAx

+−

；)(.

10xBBxeBx

+−

；)(.

102

xBBexCx

+−

；x

BeD−

9．微分方程的特解形式应设为( ) xxeyyyx

cos=+′−′′

；xxBBeAx

cos)(.

10+；xxBBeBx

sin)(.

10+

；xAxeCx

cos.；]cos)(cos)[(.

1010xxCCxxBBeDx

+++

10．的特解形式应为( ) 2

2xyy=′−′′

；2

.xAxA；2

.AxB；2

210.xBxBB++；)(.2

210xBxBBxD++

11．已知一阶微分方程①032

=++

dxdyxy

②0)ln(ln=−−ydxdyyxx

③ ④0)ln(ln=−+dyyxydxy

+++−

yxyx

dxdy

，则下列说法中正确的是（）

①②是齐次方程，③④是一阶线性方程； .A

①③是齐次方程，②④是一阶线性方程；

①可分离变量②是齐次方程③是一阶线性方程④是全微分方程； .

以上都不对; .D

二、填空题

1．已知连续函数满足关系式)(xf∫

dtt

xxf2

2(1

)(

，则=)(xf

2．以为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程为)sin4cos3(2

xxeyx

3．已知且x

xeyy2

2=−′,1)0(=y

则=y

4．则隐式通解为,0cossin=++′x

eyyy

25．已知为全微分方程，则参数应满足条件0)1(=++dyxedxeymyk

mk,

三、计算题

1．已知一阶线性齐次微分方程02=−′xyy

的通解为，用常数变易法求非齐次方程

的通解。 2

Cey=

xexyyx

cos22

=−′

2．求的通解。 xyyy2sin82=−′+′′

3. 求的通解。 yyy′+′=′′3

)(

4.求

)(,0)ln(ln==−+exdyyxydxy

的特解。

5.通过适当的变换求方程的通解. 0)1(22

=−+−xdydxyyx

四、应用题

求一曲线，使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线所围成的梯形面积等于

常数 ,且过点（如图）。 2

3a),1(2

),(yx

微分方程单元测试题(含答案)

题目一

已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，求出这个微分方程的通解。

答案：

根据微分方程的定义，我们可以利用变量分离法来求解这个微分方程。首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和

$\frac{1}{2x}$，得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。然后我们进行积分，得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。将积分限写入，得到 $\int

\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$（这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数）。对于左边的积分，我们可以用换元法来进行计算，令 $u = 2x$，则

$du = 2dx$。将其代入积分式中，得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u}

= \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ （其中 $C_1$ 是常数）。对于右边的积分，我们可以直接计算得到 $x + C_2$（其中

$C_2$ 是常数）。将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|u|^{1/2} +

C_1 = x + C_2$，进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$，其中

$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。对等式两边同时取指数函数，得到

$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$，再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x} e^{C_3}$。最后取绝对值，得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$，进一步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。因此，微分方程的通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$，其中 $C_3$ 是常数。

题目二

第十二章--微分方程(数学竞赛部分)

第十二章微分方程（数学竞赛部分）

1．若afxxfxf)1(,)()(且，求)2(f．

解由xxfxf)()(得xxfxf1)()(，Cxxflnln)(ln，故xCxf)(，

.2)2(,)1(afaCaf所以得由

2．设)(xf在区间],[ba上连续，且满足方程

21122111()()()2xxfxdxfxfxxx

12xx，且12,[,]xxab，求函数)(xf．

解由已知得，)]()()[()(2afxfaxdxxfxa，

上式对x求导，得 )()()()()(2xfaxafxfxf，

即 axafxfaxxf)()(1)(，是一阶线性微分方程，所以

Cdxeaxafexfdxaxdxax11)()()()()()(axCafCaxafax，

将bx代入，有abafbfC)()(，故).()()()()(afaxabafbfxf

3．求满足00()()xxxftdttftxdt的可微函数)(xf．

解 .,)(0dudtuxtdtxttfx则作变换对积分

00)()()(xxduufxudtxttfxxduufxduuuf00)()(，

原式可化为 xxxduufxduuufdttfx000)()()(，

上式对x求导，得)()()()(10xxfduufxxfxfx，

即 )1(,)(1)(0xduufxf

(1)式对x求导，得 )2(),()(xfxf

(2)式对x求导，得 )()()(xfxfxf，于是0)()(xfxf，该微分方程通解为.sincos)(21xCxCxf

高等数学(经济类)课后习题及答案第十二章微分方程答案

习题12—1（A）

1. 指出下列各微分方程的阶数：

（1）yyx3；（2）0d2d)(3yxxxy；

（3）yyxyx2)2(；（4）22()yyyy；

（5）(5)(3)242cosyyyyx；（6）232dd2ddPPtttt；

（7）0222)4(yyyyy；

答案：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）三阶；（5）五阶；（6）二阶；（7）四阶.

2. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解. 如果是解，请指出是通解，还是特解？

（1）函数3yx，微分方程yyx3；

（2）函数sin3yCx，微分方程90yy；

（3）由Cxyxy22确定的函数)(xyy，微分方程(1)()0ydxxydy；

（4）函数xye（其中是给定的实数），微分方程0yy．

解：（1）因为23yx，左式233=xyxxy右式，所以函数3yx是微分方程yyx3解．又因为函数3yx不包含任意常数，所以是特解．

（2）因为9sin39yCxy，即90yy，所以函数sin3yCx是微分方程90yy解，但是由于sin3yCx中只有一个任意常数，又因为微分方程是二阶的，所以sin3yCx既不是微分方程90yy的通解，也不是特解，只是解．

（3）等式Cxyxy22两边同时对x求导，有dd10ddyyyxyxx，整理得(1)()0ydxxydy，所以由Cxyxy22确定的函数)(xyy是(1)()0ydxxydy的解，又Cxyxy22中含有一个任意常数，而(1)()0ydxxydy是一阶微分方程，所以Cxyxy22是(1)()0ydxxydy通解．