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习题 12.11. (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. (1) 是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证略,所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．(1) 2y x y '=+，00x y==(2)xy y '-=以及初值条件23x y ==。
习 题 12-21．( 1) C x y =+-1010； (2)； C x y +=a r c s i n a r c s i n (3) C e e y x =-+)1)(1(； (4) C x y +-=sin 1C x a a y+--=)1ln(1；2.(1) 2)(arctan 21x y =； (2)0)cos 2(cos =-y x ； (3) )4(412--=x y ； (4) y e xcos 221=+；(5) 0322=+-y y x ； (6) )2(ln 222+=x x y ； 3. (物体冷却的数学模型))20(--=T k dtdT. 4. ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π5. 6分钟后，车间内2CO 的百分比降低到%.056.0习题12-31． (1) x C x y sin e )(-+=；(2) x x C y 2cos 2cos -=；(3) 1sin esin -+=-t C s t； (4) 2e 2x C y -+=； (5) )2()2(3-+-=x C x y ;（6）)||(ln 12C y yx +=2． (1) 412e e 22++-=x y xx； (2) 11332e 2--=x x x y ； (3) x x y sec =； (4) )cos 1(1x xy --π=； (5) 1e5sin cos =+xx y ； （6）.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 3.⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 4. ,62320⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤5 ..224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 6. yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(l n 2x a C .1= 习题12-41. (1) Cxy x =-331; (2) x sin y +y cos x =C ; (3) xe y -y 2=C ;(4) .132C yx y =+- (5)不是全微分方程;(6) 不是全微分方程.2. (1) y x +1, x -y =ln(x +y )+C ; (2) 21y , C x y x =+22.(3) 21y , Cxy y x =--3122; (4) 221y x +为, x 2+y 2=Ce 2x ; (5) 21x , x ln x +y 2=Cx ; (6) 2y x , 032=-x y x .3. (1)2212yx e Cy x =; (2) C y y x y x =++||ln 3113322.4. (1)21ln 2x C x y +-=; (2) x C x x y cos 1tan ++=. 习 题12-51、（1）21c x c e y x ++=（2）21212x y x x c e c =--++（3）12ln y C x C =+ （4）12arcsin()xy c e c =+（5）.3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（6）221121()c y c x c -=+ 2、(1).4521cos 412-++=x x e y x (2) .133++=x x y （3）x y 11+= （4）11y x=-(5) ).4tan(π+=x y3、 .212+=x y 4、2)1()(-=x x f5 、.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x ach y 这曲线叫做悬链线.习题12-61. (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. 略.3. (1) y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C += (2) ;22x x xe e y y y -=-'-''(3) .342x x x xe e e y ++=- 4. .33221x C x C y ++=习题12-71.(1) y ＝C 1e -x＋C 2e-2x；(2)＝C 1e 0x ＋C 2e-2/3x＝C 1＋C 2e-2/3x ；(3) y ＝C 1cos2x ＋C 2sin2x ．（4）x ＝(C 1＋C 2t) e 5t/2；(5) .321x x e C e C y +=-(6）.)(221x e x C C y -+=(7）).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-(8))3sin 3cos (212x C x C e y x +=．(9) y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋C 3e x ＋C 4e -x；（10）).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=（11）w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x C x C ex 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-x C x C ex βββ(12) .sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (13) x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++(14) y ＝C 1＋C 2x ＋(C 3＋C 4x)e x. 2. ϕ(x)＝1/2(cosx ＋sinx ＋e x)．3. ,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y .2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=4.略.习题12-81. (1) ;30*x e b y =(2) ;)(210*x e b x b x y -+=(3) .)(21202*x e b x b x b x y -++=(4) *(c o s 2s i n 2).xy x e a xb x =+2.（1）.31*+-=x y （2）*y **21y y +=.3)221(22++-=x e x x x 3. (1) .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=(2) y .21s i n c o s 21x e x x C x C +++=(3) y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-(4) .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=（5）.2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=4． y ＝－1/16 sin2x ＋1/8 x(1＋sin2x) 5..32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 6. .221x x x xe e C e C y ++=7.y .1)(ln ln 321xx x C C -++=8. y .2123321x x C x C C -++= 9. .)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=本章复习题A1.（1）二;（2）;（3）ln(ln )xy x x e=+;（4）''2'50y y y -+=；（5）2()x Ax B x e -+. 2. （1） A （2） (A)（3）（C ）（4） (B )（5）（C ） 3. （1）);(12x x e Ce xy +=（2）3221Cy y x += （3）C x xy +=2；（4）x Ce x y tan 1tan -+-=（5）13423++=x Cx y （6）22)1(1-=-x C y （7）31)1(tan x e C y -=- （8）221ln xCx y +-=（9）C x e x x +=+2)1(；（10）C xy x =-4. （1）322142224181C x C x C x e y x +++-=； （2）2212C x C e xe y x x ++-= （3）21|)cos(|ln C C x y ++-= （4）)sin cos (e 212x C x C y x+=x x x2cos e 412-5. （1）)1(ln 222+=x x y （2）)2sin 22(cos x x e y x +=- （3）x x x y 2sin 31sin 31cos +--= （4）2135672--+=-x e e y x x ． 6. 2231()()4f x x x=- 7. 可知当敌舰行245个单位距离时，将被鱼雷击中。
二、 高阶微分方程1．高阶微分方程的定义：'''()(,,,,)0n F x y y y =2．可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型： （1）()()n y f x = 解法：逐次积分（2）),(y x f y '='' 特点：不显含y 的方程解法：设p y ='，则p y '=''，代入方程中得),(p x f p ='。
已降为一阶。
（2）),(y y f y '='' 特点：显含x 的方程 解法：设p y ='，则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 代入方程中得),(p y f dydpp=，已降为一阶。
【例1】求微分方程(1)ln (1)x y y x '''++=+的通解.解：由于不显含y ，令()y p x '=，则y p '''=，代入原方程得(1)ln(1)x p p x '++=+ 即 ln(1)11p x p x x+'+=++ 为一阶线性微分方程 利用公式得11ln(1)ln(1)111111ln(1)ln(1)()()111(ln(1))ln(1)111dx dx x x x x x x p e e dx C e e dx C x x C x dx C x x x--++++++⎰⎰=+=+++=++=+-+++⎰⎰⎰即 1ln(1)11C y x x'=+-++ 积分得 12()ln(1)2y x C x x C =++-+ 【例2】求微分方程2()0y y y '''-=满足初始条件0011,2x x y y =='==的特解。
解：由于不显含x ，令()y p y '=，所以y pp '''=，代入原方程得 20ypp p '+= 所以 0p = 或 0yp p '+=当0yp p '+=时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得dp dy p y=-积分得 1ln ||ln ||ln p y C =-+，所以 ， 1C p y =， 即 1C y y'= 将0011,2x x y y =='==代入得112C =，从而 12y y '=分离变量得 22y x C =+，将01x y ==代入得21C = 所求方程的特解为 21y x =+当0p =时，即0y '=，积分得y C =，特解为1y =，含在21y x =+内。
3．二阶线性微分方程的解的结构二阶线性齐次微分方程： ()()0y P x y Q x y '''++= 二阶线性非齐次微分方程：()()()y P x y Q x y f x '''++= 解的结构性质：（1）若1y 和2y 是齐次方程的解，则1122C y C y +齐次方程的解。
（2）若1y 和2y 是齐次方程的线性无关解，则1122C y C y +是齐次方程的通解。
（3）若1122Y C y C y =+是齐次方程的通解，*y 是非齐次方程的特解，则*Y y +是非齐次方程的通解。
（4）若1y 和2y 分别是非齐次方程的特解，则12y y +是非齐次方程的特解。
（5）若1y 和2y 分别是非齐次方程的特解，则12y y -是对应齐次方程的特解。
4．二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数齐次方程： 0=+'+''qy y p y 解法：由特征方程02=++q pr r ，解出特征根1r 和2r 。
通解为：①当21r r ≠（实根）时，x r x r e C e C y 2121+=；②当21r r =时，x r e x C C y 1)(21+=；③当i r β±α=2,1时，)sin cos (21x C x C e y x β+β=α。
（2）二阶常系数非齐次方程特解 )(x f qy y p y =+'+''解法：1）写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解Y ；3）根据不同类型的自由项)(x f ，利用待定系数法求出一个特解y *；4）写出原方程的通解*Y y +。
自由项有两种：① 当)()(x P e x f m x λ=时，原方程的特解形式是 x m k e x Q x y λ=)(*。
② 当]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ω+ω=λ时，原方程的特解形式是]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ω+ω=λ。
【例1】设)(,)(x q x p 和)(x f 都是x 的连续函数，并设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A)32211y y c y c ++ (B) 3212211)(y c c y c y c +-+(C) 3212211)1(y c c y c y c ---+ (D) 3212211)1(y c c y c y c --++ 【 】 解：因为321,,y y y 是二阶非齐次线性方程的解，且线性无关，所以 13y y -，23y y -是对应齐次方程的两个线性无关的特解，非齐次线性方程的通解为：*11322331122123()()(1)y Y y c y y c y y y c y c y c c y =+=-+-+=++--【例2】具有特解x e y -=1,x xe y -=22,x e y 33=的三阶常系数齐次线性微分方程是 (A) 0=+'-''-'''y y y y (B) 0=-'-''+'''y y y y(C) 06116=-'+''-'''y y y y (D) 022=+'-''-'''y y y y 【 】 解：由特解知1231,1r r r ==-=，代入(A),(B),(C),(D)的特征方程验证(B)满足。
【例3】求微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：特征方程为2440r r ++=，解得特征根122r r ==-， 则齐次方程通解是 2212x x Y C e C xe --=+因为2()x f x e -=为()x m e P x λ型，2,0m λ=-=，且2λ=-为重根，可设特解*22x y x ae -=，将**,y y '''代入原方程得21=a ，即*2212x y x e -= 所以通解为 *22221212x x x y Y y C e C xe x e ---=+=++【例4】 求方程x e x y y +=+''sin 的通解解：特征方程为 012=+r ，解得特征根 i r ±=2,1， 则齐次方程通解是 12cos sin Y C x C x =+其中1()x f x e =为()x m e P x λ型，1,0m λ==，且1λ=不是特征根，可设特解x ae y =*1，代入原方程得21=a ，即x e y 21*1= 2()sin f x x =为[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+型，0,1,0,0l n λω====，且i i λω±=±为特征根，可设特解)sin cos (*2x c x b x y +=，代入原方程得21,0-==b c ，即xx y cos 21*2-=故原方程的特解 ***1211cos 22x y y y e x x =+=-，所求通解为 )cos (21sin cos 21x x e x C x C y x -++=【例5】设函数)(x y y =满足微分方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数)(x y y =. 解：特征方程为2320r r -+=，解得特征根11r =，22r = 则齐次方程通解是 212x x Y C e C e =+因为()2x f x e =为()x m e P x λ型，1,0m λ==，且1λ=为单根，可设特解*x y xae =，代入原方程得2a =-，即*2x y xe =-所以通解为 *2122x x x y Y y C e C e xe =+=+-212222x x x x y C e C e e xe '=+--因为)(x y y =的图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，所以00|1,|1x x y y =='==-代入,y y '得121,0C C ==，则(12)x y x e =-【例6】设)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f ，1)0(='f ，已知曲线积分⎰'---Lx dy y x f x f dx y x f xe cos ))()(5(sin ))(6(2与积分路径无关，求)(x f .解：因为曲线积分与路径无关，所以，根据曲线积分与路径无关的条件P Qy x∂∂=∂∂，得 2[(5()())cos ][(6())sin ]x f x f x y xe f x y x y∂∂'--=-∂∂ 即 2[5()()]cos [6()]cos x f x f x y xe f x y '''--=-亦即 2()5()6()x f x f x f x xe '''-+=可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为23212()(2)2x x x xf x C e C e x e =+-+再由(0)0f =，(0)1f '=，可得特解232()22(2)2x x x xf x e e x e =-+-+【例7】设函数)(x f 连续，且满足0()()()xxx f x e tf t dt x f t dt =+-⎰⎰，求)(x f .解：等式两边对x 求导得0()()()()()x xx x f x e xf x f t dt xf x e f t dt '=+--=-⎰⎰两边再对x 求导得 ()()x f x e f x ''=-，即 ()()x f x f x e ''+= 为二阶线性非齐次微分方程，且(0)1,(0)1f f '==解此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为121()cos sin 2x f x C x C x e =++再由(0)1,(0)1f f '==可得特解1()(cos sin )2x f x x x e =++【例8】利用代换xuy cos =，将方程x e x y x y x y =+'+''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解．解：因为sec cos uy u x x==，sec sec tan y u x u x x ''=+，23sec 2sec tan sec tan sec y u x u x x u x x u x '''''=+++代入整理得 4x u u e '''+=通解为 121cos 2sin 25x u C x C x e =++将cos u y x =代入得 12cos 212sin cos 5cos xx e y C C x x x=++ 5．欧拉方程()1(1)11()n n n n n n x y p x y p xy p y f x ---'++++=， 12,,,n p p p 为常数解法：做变换t x e = 或ln t x =，记d D dt=1.dy dy dt dydx dt dx x dt==xy Dy '⇒= 222221()d y d y dy dx x dt dt=-2(1)x y D D y ''⇒=- 33233321(32)d y d y d y dydx x dt dt dt=-+3(1)(2)x y D D D y '''⇒=--()(1)(2)(1)n n x y D D D D n y =---+将欧拉方程化为常系数线性微分方程，解方程，将ln t x =代回即可。
