2013届高三数学二轮复习 专题一 第2讲 函数的图象与性质教案

- 1 - 第2讲 函数的图象与性质

自主学习导引

真题感悟

1．(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x|

解析 利用排除法求解．

A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数，故选D.

答案 D

2．(2012·山东)函数y＝cos 6x2x－2－x的图象大致为

解析 利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解．

∵y＝f(x)＝cos 6x2x－2－x，∴f(－x)＝cos－6x2－x－2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A；当x从正方向趋近0时，y＝f(x)＝cos 6x2x－2－x趋近＋∞，排除选项B；当x趋近＋∞时，y＝f(x)＝cos 6x2x－2－x趋近0，排除选项C.故选择选项D.

答案 D

考题分析

高考考查函数的性质主要是单调性、奇偶性与周期性的应用，考查图象时一般以图象的应用与识别为主，题目立意多样、角度很灵活，高、中、低档题目皆有，题型有选择题，也有填空题，若为解答题，则与导数相结合．

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高频考点突破

考点一：函数及其表示

【例1】(1)(2012·衡水模拟)函数y＝ 1－lgx＋2的定义域为

A．(0,8] B．(－2,8]

C．(2,8] D．[8，＋∞)

(2)(2012·石家庄二模)已知函数f(x)＝ log2x， x＞0，9－x＋1， x≤0，则f(f(1))＋flog312的值是

A．7 B．2 C．5 D．3

[审题导引] (1)根据函数解析式的结构特征列出不等式组并解之；

(2)根据自变量的范围代入解析式求解．

[规范解答] (1) x＋2＞01－lgx＋2≥0⇒ x＞－2x≤8⇒－2＜x≤8，

∴函数的定义域为(－2,8]．

(2)∵f(1)＝log21＝0，log312＜0，

∴f(f(1))＋flog312＝f(0)＋31log29＋1

＝90＋1＋3log43＋1＝7.

[答案] (1)B (2)A

【规律总结】

1．求函数定义域的类型和相应方法

(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．

(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．

(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．

2．求f(g(x))类型的函数值 应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图象、解不等式等问题，必须依据条件准

- 3 - 确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性．

【变式训练】

1．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝2logf(x)的定义域是________．

解析 要使函数g(x)有意义，则需f(x)＞0，由函数f(x)的图象知2＜x≤8，

即函数g(x)＝2logf(x)的定义域为(2,8]．

答案 (2,8]

2．已知函数f(x)＝2x－12x，且g(x)＝ fx， x≥0，f－x， x＜0，则函数g(x)的最小值是________．

解析 易知g(x)＝ 2x－12x， x≥0，2－x－2x， x＜0，

∵当x≥0，g′(x)＝(2x＋2－x)ln 2＞0，

∴g(x)min＝g(0)＝0，

当x＜0时，g′(x)＝－(2x＋2－x)ln 2＜0，

∴g(x)＞g(0)＝0.

故函数g(x)的最小值为g(0)＝0.

答案 0

考点二：函数的图象

【例2】(1)(2012·丰台二模)已知函数y＝sin ax＋b(a＞0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是

- 4 - (2)(2012·武威模拟)函数y＝ln|x|x的图象大致是

[审题导引] (1)利用已知函数的图象求出a，b的范围，再选择y＝loga(x＋b)的图象；

(2)利用函数y＝ln|x|x的性质，结合排除法求解．

[规范解答] (1)由y＝sin ax＋b的图象知其周期T＝2πa＞2π，

∴0＜a＜1.又∵0＜b＜1，故选A.

(2)∵x＝±1是y＝ln|x|x的零点，且当x＞1时，y＞0，

当0＜x＜1时，y＜0，故可排除A、B.

当x＞0时，y＝ln xx，由于函数y＝x的增长速度要大于函数y＝ln x的增长速度，

故当x→＋∞时，y＝ln xx→0.

故可排除D，选C.

[答案] (1)A (2)C

【规律总结】

函数图象的识别方法

(1)性质法：在观察分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系．

(2)图象变换法：根据函数解析式之间的关系，或利用基本初等函数的图象去选择未知函数的图象．

【变式训练】

3．(2012·兰州模拟)函数y＝xsin x，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的

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解析 因函数y＝xsin x是偶函数，故排除A，

又x∈0，π2时，x＞sin x，

即xsin x＞1，排除B，D，故选C.

答案 C

4．(2012·湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为

解析 由y＝f(x)的图象写出f(x)的解析式．

由y＝f(x)的图象知f(x)＝ x0≤x≤1，11＜x≤2.

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

所以f(2－x)＝ 10≤x≤1，2－x1＜x≤2，

- 6 - 故y＝－f(2－x)＝ －10≤x≤1，x－21＜x≤2.图象应为B.

答案 B

考点三：函数的性质及应用

【例3】(1)(2012·湘潭二模)已知函数f(x)＝x2－cos x，则f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是

A．f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6) B．f(－0.5)＜f(0.6)＜f(0)

C．f(0)＜f(0.6)＜f(－0.5) D．f(－0.5)＜f(0)＜f(0.6)

(2)(2012·聊城二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x，则f(2 012)－f(2 011)的值为

A．－12 B.12 C．2 D．－2

[审题导引] (1)利用函数f(x)的奇偶性与单调性比较各数的大小；

(2)利用函数的周期性与奇偶性求解．

[规范解答] (1)f′(x)＝2x＋sin x，

∴当x＞0时，f′(x)＞0，

即f(x)＝x2－cos x在(0，＋∞)上是增函数，

又f(x)是偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，

∴f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)．

(2)由题可知函数的周期为4，

故f(2 012)－f(2 011)＝f(0)－f(－1)＝0－2－1

＝－12.

[答案] (1)A (2)A

【规律总结】

函数性质的综合应用

求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路，即把自变量化归到已知区间中，然后根据函数的有关性质进行求解，如例3第(1)题中要比较f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小，就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到[0，＋∞)内，然后根据函数的单调性比较它们的大小．

[易错提示] 常见周期函数的几种形式

函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合，常涉及函数周期的求解，常见形式主要有以下几种：

(1)如果f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝|a－b|；

(2)如果f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|；

(3)如果f(x＋a)＝－f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；

(4)如果f(x＋a)＝1fx或者f(x＋a)＝－1fx，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；

(5)如果函数f(x)既有对称中心，又有对称轴，则该函数是一个周期函数，若其中的对称中心

- 7 - 为(a，m)，与其相邻的对称轴为x＝b，则该函数的一个周期为T＝4|a－b|.

【变式训练】

5．(2012·东莞二模)已知函数f(x)＝|x|－sin x＋1|x|＋1(x∈R)的最大值为M，最小值为m，则M＋m的值为________．

解析 f(x)＝|x|－sin x＋1|x|＋1＝1－sin x|x|＋1，

令g(x)＝－sin x|x|＋1，易知g(x)是R上的奇函数，

设g(x)的最大值为a，则其最小值为－a，

∴M＝1＋a，m＝1－a，∴M＋m＝2.

答案 2

6．(2012·龙岩模拟)已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(2 012)＝

A．－2 B．0

C．2 D．3

解析 ∵f(x＋1)是奇函数，

则函数y＝f(x＋1)的图象关于(0,0)对称，

∴函数y＝f(x)的图象关于(1,0)对称，

即f(2－x)＋f(x)＝0.①

∵f(x－1)是偶函数，即其图象关于直线x＝0对称，

∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，

即f(x)＝f(－2－x)．②

由①②两式得f(2－x)＝－f(－2－x)，

即f(x＋4)＝－f(x)，③

可得f(x＋8)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝8.

∴f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)，在③式中，

令x＝0得f(4)＝－f(0)＝－2，

∴f(2 012)＝－2.

答案 A

名师押题高考

【押题1】在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sin ax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是