人教版高中数学必修二第2章2.12.1.4平面与平面之间的位置关系

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
自主预习耐S ；新钏
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思考：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？
［提示］不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况 ，而后 者仅指直线与平
面平行.
2. 两个平面的位置关系
［提示］分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系
是平行或异面.
凸初试身丟」
1 •直线I与平面a有两个公共点，则（）
A . I € a
B . I //a
C. I与a相交 D . I? a
D［根据公理i可知，i? a
2 •若M€平面a, M €平面B, a B为不同的平面，则平面a与B的位置
关系是（）
A .平行
B .相交
C.重合 D .不确定
B ［由公理可知，平面a与平面B相交.］
3. _ 已知直线a，b分别在两个不同的平面a, B内.则下列说法正确的是填序号）.
①若直线a和直线b相交，则平面a和平面B相交；
②若平面a和平面B相交，则直线a和直线b相交.
①［若直线a，b相交，设交点为P，则P€ a，P€ b.又a? a, b? B,所以P€ a, P€ B,故a, B相交.反之，若a, B相交，则a, b可能相交，也可能异面或平行.］
合作探究匂提盍养
【例1】（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（）
A •直线上所有的点都在平面外
B. 直线上有无数多个点都在平面外
C. 直线上有无数多个点都在平面内
D. 直线上至少有一个点在平面内
B [直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.]
（2）下列说法中，正确的个数是（）
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平
面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
C [易知①正确，②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误.选C.]
直线与平面位置关系的判断
（1）空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型（如正方体、长方体等）也是解决这类问题的有效方法.
（2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面a内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
1. 以下命题（其中a，b表示直线，a表示平面），①若a // b，b? a,则a // a；
②若a// a, b// a,贝U a// b；③若a// b，b// a,贝U a// a；④若a// a, b? a,则a// b.其中正确命题的个数是（）
A. 0个B . 1个C. 2个D . 3个
A ［如图所示,在长方体ABCD-A'B'C D中,
AB//CD ,AB?平面ABCD,但CD?平面ABCD，故①错误；AB'// 平面ABCD,
B C /平面ABCD,但A B与B C相交，故②错误；AB / A B , A B '//平面ABCD,
但AB?平面ABCD,故③错误；A B /平面ABCD, BC?平面ABCD,但A B
与BC异面，故④错误.］
［探究问题］
1. 若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？
［提示］因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与
另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行.
2. 平面a内有无数条直线与平面B平行，那么all B是否正确？
［提示］不正确.如图，设aA A l,则在平面a内与I平行的直线可以有无数条a i, &,•••, a n,它们是一组平行线，这时a i, a2,…，a n与平面B都平行, 但此时a不平行于B,而aA A I.
【例2】(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那
么两个平面的位置关系一定是()
A .平行
B •相交
C.平行或相交 D .不能确定
C ［逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如图所示).
么二
(2)完成下列作图：
①在图中画出一个平面与两个平行平面相交.
②在图中分别画出三个两两相交的平面.
［解］①如图所示,
②如图所示,
W n 5A
1. 平面与平面的位置关系的判断方法:
(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.
2. 常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行; (2)长方体的六个面中，三组相对面平行.
⑥)跟歸训练.
2. ________________________________ 三个平面最多能把空间分为 _________ E 分，
最少能把空间分成 ___________________________ 部分.
8 4 ［三个平面可将空间分成4, 6, 7, 8部分，所以三个平面最少可将空
间分成4部分，最多分成8部分.］
3•试画出相交于一点的三个平面. ［解］如图所示(不唯一).
I 课堂小结|I
1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式
直线与平面平行
直线与平面没有公共点
按公共
直线与平面相交 直线与平面
(1)点的个 直线与平
有唯一公共点
数分类 面不平行
直线在平面内 无数公共点
直线与平面有
按是否 (2)在平面 内分类
直线在平面内
亠小亠
直线与平面相交
直线在平面外舌
直线与平面平行
2.判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法 (1) 定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；
(2) 模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的
效果；
(3) 反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目
的.
当堂达标。

固5H基
1. 已知直线a在平面a外，则（）
A. a //a
B. 直线a与平面a至少有一个公共点
C. a A a= A
D. 直线a与平面a至多有一个公共点
D [直线a在平面a外，则直线a与平面a平行或相交,故直线a与平面a
至多有一个公共点.选D.]
2. 如果直线a//平面a,那么直线a与平面a内的（）
A .仅有一条直线不相交
B .仅有两条直线不相交
C. 无数条直线相交D .任意一条直线不相交
D [直线a//平面a则a与a无公共点，与a内的任一直线均无公共点.]
3. 圆柱的两个底面的位置关系是（）
A .相交
B .平行
C.平行或异面 D .相交或异面
B [圆柱的两个底面无公共点，则它们平行.]
4. 下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若I，m是异面直线，I // a, m// B,贝u all 3
其中错误命题的序号为___________ .
①②[①中两个平面也可能相交；②a与3可能平行也可能相交.]
5. 如图，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，分别指出直线B i C，D i B与正方体六个面所在平面的关系.
［解］根据图形，直线B i C?平面B i C,直线B i C //平面A i D,与其余四个面相交，直线D1B 与正方体六个面均相交．。