人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案

高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）模：|λa|=|λ||a|；（2）方向：λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ； λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。

《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案目的：<1）理解平面向量共线的坐标表示；<2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；<3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教案重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教案难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教案过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2b5E2RGbCAP(1>我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2>基底不惟一，关键是不共线；(3>由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4>基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得p1EanqFDPw把叫做向量的<直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.2．平面向量的坐标运算<1）若，，则，，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

<2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

3．练习：1．若M(3， -2> N(-5， -1> 且，求P点的坐标2．若A(0， 1>， B(1， 2>， C(3， 4> ，则 2=.3．已知：四点A(5， 1>， B(3， 4>， C(1， 3>， D(5， -3> ，如何求证：四边形ABCD是梯形.？二、讲解新课：1、思考：<1）两个向量共线的条件是什么？<2）如何用坐标表示两个共线向量？设=(x1， y1> ，=(x2， y2> 其中≠.由=λ得， (x1， y1> =λ(x2， y2> 消去λ，x1y2-x2y1=0∥ (≠>的充要条件是x1y2-x2y1=0探究：<1）消去λ时能不能两式相除？<不能∵y1， y2有可能为0，∵≠∴x2， y2中至少有一个不为0）<2）能不能写成？<不能。

2.3.1 平面向量根本定理A 级 根底稳固一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析：B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， 所以(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案：B2．在菱形ABCD 中，∠A ＝π3，那么AB →与AC →的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：由题意知AC 平分∠BAD ，所以AB →与AC →的夹角为π6.答案：A3．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，那么AD →可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：因为BD →＝2DC →， 所以BD →＝23BC →.所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，那么( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.答案：D5．(2021·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案：A 二、填空题6．假设OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，那么OP →＝________．解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， 所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→.所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案：11＋λa ＋λ1＋λb 7．|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，那么a 与b 的夹角为________．解析：如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，那么BA →＝a －b .由，得OA ＝1，OB ＝2，OA ⊥AB ，所以△OAB 为等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以a 与b 的夹角为45°.答案：45°8．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为向量，那么e 1＝________，e 2＝________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a 三、解答题9．如下图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，假设OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如下图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，那么OC →＝OD →＋OE →.在直角△OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10．如下图，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，假设AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →.解：DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b .BF →＝AF →－AB →＝AD →＋DF →－AB →＝b ＋12a －a ＝b －12a .如下图，连接DB ，延长CG ，交BD 于点O ，点G 是△CBD 的重心，故CG →＝CE →＋EG →＝12CB →＋EG →＝12CB →＋13ED →＝－12b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－13a －13b .B 级 能力提升1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③假设向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，那么有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④假设存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，那么λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②解析：由平面向量根本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量根本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案：B2．如图，向量BP →＝14BA →，假设OP →＝xOA →＋yOB →，那么x －y ＝________．解析：因为OP →＝OB →＋BP →＝OB →＋14BA →＝OB →＋14(BO →＋OA →)＝14OA →＋34OB →，所以x ＝14，y ＝34.所以x －y ＝－12.答案：－123．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)假设4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．(1)证明：假设a ，b 共线，那么存在λ∈R ，使a ＝λb ， 那么e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23. 所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解：由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。

《平面向量基本定理（第一课时）》教学设计一、教材分析：本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第3节“平面向量基本定理及坐标表示”的第一课时内容，本节共2个课时。

平面向量基本定理是本节的重点也是本节的难点。

平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，由于高中数学设计的向量是自由向量，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任何一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量得到表示，这是引进平面向量基本定理一个原因（学生可以不讲）。

实际上，本节课在本章中起到一个“承上启下”的作用，一方面要在平面向量线性运算的基础上归纳定理，另一方面，作为平面向量基本定理的特殊情况，研究平面向量的正交分解及坐标表示，是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后续学习向量坐标表示的基础。

二、学情分析：知识方面：学生学习了第一节“平面向量的实际背景及基本概念”和第二节“平面向量的线性运算”，已经有了一定的平面向量基础知识，学力和能力方面：授课对象为省级示范学校高一学生，有比较扎实的数学基本知识，其数学基本素养和学习能力应该在普通高中学生中处于中上水平。

三、教师教学的出发点：根据课程标准的要求备课，备学生，把课程标准的要求溶解在课堂中，让学生在潜移默化中提高数学素养。

本节课的教学设计主要是针对学习情况为中等的学生（占大多数），第一、注重知识的生成，通过创设问题情境，引导学生自主学习，主动探究发现新知（平面向量基本定理）；第二、注重数学思维的培养，通过问题的两个方面，即平面向量合成和分解，培养学生的观察能力，启发学生的逆向思考能力，抽象概括能力，引导学生进行适当的合情推理（定理的证明）；第三、注重对知识的理解、消化、应用，主要通过典型的问题，掌握对新知的应用，可进行适当的拓展，发散思维；第四：激发学生的学习兴趣，在3个方向：新知识的维度拓展的兴趣激发，解决几何问题的兴趣激发，后续学习的兴趣激发。

§2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案【学习要求】1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．【学法指导】本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵.【知识要点】1．向量：既有 ，又有 的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作____. 3．向量的有关概念：（1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .（2）单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量． （3）相等向量： 且 的向量叫做相等向量．（4）平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作 . ②规定：零向量与 平行.【问题探究】探究点一 向量的概念和几何表示（1）我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有 ，是向量的有 . 向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小．（2）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．有向线段AB →的长度就是向量AB →的长度(简称模)，记作|AB →|；有向线段AB →箭头表示向量AB →的方向．假设下图每个格子是边长为1 cm ，比例尺为1∶100，请求出下列各向量的模． |AB →|＝ ，|CD →|＝ ，|EF →|＝ ，|GH →|＝ ，|a |＝ .探究点二 几个向量概念的理解（1）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的． （2）单位向量：长度(或模)为1的向量叫做单位向量．（2）相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 与b 相等，记作a ＝b .研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错．例如：下列说法中正确的是________．①3牛顿的力一定大于2牛顿的力；②长度相等的向量叫作相等向量；③一个向量的相等向量有无数多个；④若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；⑤单位向量都大于零向量． 想一想，在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？ 探究点三 平行向量与共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a 、b 平行，通常记作a ∥b .规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 练一练，如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，（1）写出与BC →相等的向量：________.（2）写出与BC →共线的向量：________. 想一想，向量平行具备传递性吗？【典型例题】例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；（2）若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； （4）向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．（1）作出向量AB →、BC →、CD →；（2）求|AD →|.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. （1）试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；（2）在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．（1）写出与EF →共线的向量；（2）写出与EF →的模大小相等的向量；（3）写出与EF →相等的向量．跟踪训练3 如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．（1）写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；（2）写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；（3）分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．【当堂检测】1．下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量 2．下列命题正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．向量的模一定是正数C ．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上 3．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．（1）OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 东偏北45°； （2）AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； （3）BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 正北方向． 4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段 的交点)为起点和终点的向量中．（1）写出与AF →、AE →相等的向量；（2）写出与AD →模相等的向量．【课堂小结】1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．规定：零向量与任一向量都平行.【拓展提高】§2.2.1 向量加法运算及其几何意义【学习要求】1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．【学法指导】1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n 个向量求和——多边形法则，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n 个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【知识要点】1．向量的加法法则 （1）三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量____叫做a 与b 的和(或和向量)，记作_____，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝__＋__＝__. （2）平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以 ， 为邻边作 ，则对角线上的向量 ＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律（1）交换律：a ＋b ＝ .（2）结合律：(a ＋b )＋c ＝ .【问题探究】探究点一 向量加法的三角形法则如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．问题1 当向量a ，b 是共线向量时，a ＋b 又如何作出？ 问题2 想一想，|a ＋b |与|a |和|b |之间的大小关系如何？当a 与b 同向共线时，a ＋b 与____同向，且|a ＋b |＝_______.当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______；若|a |<|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______.探究点二 向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以 这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB →＝a ，AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的对角线AC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC →，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .①根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB →＝a ，AD →＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．探究点三 向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋… ＋A n －1A n ＝A 1A n →.或A 1A 2→＋A 2A 3→＋… ＋A n －1A n ＋A n A 1→＝__. 这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例如，在正六边形ABCDEF 中， AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.【典型例题】例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b . 跟踪训练1 如图，已知向量a ，b ，c ，利用三角形法则作出向量a ＋b ＋c .例2 化简：（1）BC →＋AB →； （2）DB →＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．（1）AB →＋AD →＝________； （2）AC →＋CD →＋DO →＝________；（3）AB →＋AD →＋CD →＝________； （4）AC →＋BA →＋DA →＝________.例3 在水流速度为4 3 h km /的河中，如果要船以12 h km /的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．跟踪训练3 某人在静止的水中的游泳速度为2 3 h km /，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 h km /，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？【当堂检测】1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是 ( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →2．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：（1）DE →＋EA →＝________；（2）BE →＋AB →＋EA →＝______；（3）DE →＋CB →＋EC →＝________；（4）BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 3．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.4．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋ AD →，试判断四边形的形状．【课堂小结】1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．【拓展提高】§2.2.2 向量减法运算及其几何意义【学习要求】1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．2．掌握向量减法的几何意义．3．能熟练地进行向量的加、减运算．【学法指导】1．关于向量的减法，在向量代数中，常有两种理解方法：第一种方法：是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a －b ，这样，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .(如图(1))第二种方法：是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a ，b ，定义a －b ＝a ＋(－b )，在这种定义下，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，作OB ′→＝－b ，OA →＝a ，则由向量加法的平行四边形法则知OC →＝a ＋(－b )，由于a ＋(－b )＝a －b ，即OC →＝a －b .(如图(2))2．关于“差向量”方向的确定，通常归纳为“指向被减向量”，这个结论成立的前提是两个“作差向量”共起点，因此几何法确定差向量的方向有两个关注点：（1）共起点；（2）指被减.【知识要点】1．我们把与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作____，并且有a ＋(－a )＝__. 2．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的 ，记为______，求两个向量差的运算，叫做 . 3．向量减法的平行四边形法则以向量AB →＝a ，AD →＝b 为邻边作 ，则对角线的向量BD →＝b －a ，DB →＝a －b . 4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示从向量 的终点指向向量 的终点的向量.【问题探究】探究点一 向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：对比项实数的减法向量的减法对比 内容（1）相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数（1）相反向量的两个向量，互为相反向量 （2）零的相反数是零（2）对比项 实数的减法向量的减法对比内容（3）互为相反数的和是零（3）（4）实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数（4）向量的减法：减去一个 向量相当于根据相反向量的含义，完成下列结论：（1）－AB →＝___；（2）－(－a )＝__；（3）－0＝__； （4）a ＋(－a )＝__； （5）若a 与b 互为相反向量，则有：a ＝____，b ＝____，a ＋b ＝__. 探究点二 向量减法的三角形法则（1）由于a －b ＝a ＋(－b )．因此要作出a 与b 的差向量a －b ，可以转化为作a 与－b 的和向量．已知向量a ，b 如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a －b .（2）当把两个向量a ，b 的始点移到同一点时，它们的差向量a －b 可以通过下面的作法得到： ①连接两个向量(a 与b )的终点；②差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a －b 的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a 与b 的差向量a －b . 探究点三 |a －b |与|a |、|b |之间的关系 （1）若a 与b 共线，怎样作出a －b ?（2）通过上面的作图，探究|a －b |与|a |，|b |之间的大小关系： 当a 与b 不共线时，有：_____________________； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：_______________； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：_______________.【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p＋n －q －r .例2 化简下列式子：（1）NQ →－PQ →－NM →－MP →；（2）(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．跟踪训练2 化简：（1）(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；（2）(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .（1）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ （2）当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |?（3）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ （4）a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？跟踪训练3 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：（1）|a ＋b ＋c |；（2）|a －b ＋c |.【当堂检测】1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( )A ．AB → B ．BA →C ．CD → D ．DB →2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是 ( )A ．AB →－DC →＝0B ．AD →－BA →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →D ．AD →＋CB →＝03．在平行四边形ABCD 中，BC →－CD →＋BA →－AD →＝_______.4．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________【课堂小结】1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.【拓展提高】§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【学习要求】1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．【学法指导】1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.【知识要点】1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下： （1）|λa |＝ .（2）λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同当 时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝ 或λ0＝ .2．向量数乘的运算律（1）λ(μa )＝ .（2）(λ＋μ)a ＝ .（3）λ(a ＋b )＝ .特别地，有(－λ)a ＝ ＝ ；λ(a －b )＝ . 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______. 4．向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ .【问题探究】探究点一 向量数乘运算的物理背景（1）一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v ，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v 表示，试在直线l 上画出3v 向量，看看向量3v 与v 的关系如何？（2）已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ （3）已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 探究点二 向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R ，则有 ①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？ 探究点三 共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在一个实数λ，使b ＝λa .判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在．例如，已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 探究点四 三点共线的判定由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AC →＝λAB →.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1.推论2：已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，则A 、B 、C 三点共线．【典型例题】例1 计算： （1）(－3)×4a ； （2）3(a ＋b )－2(a －b )－a ； （3）(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )． 跟踪训练1 计算：（1）6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；（2）12⎣⎡⎦⎤3a ＋2b －23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； （3）6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．例2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．跟踪训练2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线．例3 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？跟踪训练3 如图，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，求证：DE →＝12BC →.【当堂检测】1．化简：（1）8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a 2．如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.3．已知e 1与e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．4．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，试求实数k 的值．【课堂小结】1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.【拓展提高】§2.3平面向量的基本定理及坐标表示【学习要求】1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义．2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【学法指导】1．平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的．2．求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是有公共起点；两向量夹角的范围是[0，π].【知识要点】 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. （2）基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底． 2． 两向量的夹角与垂直 （1）夹角：已知两个 向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是 ．②当θ＝0°时，a 与b ． ③当θ＝180°时，a 与b ．（2）垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作______.【问题探究】探究点一 平面向量基本定理的提出（1）平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .通过观察，可得： AB →＝_______，CD →＝________，EF →＝_______，GH →＝__________，HG →＝_________，a ＝______. （2）平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？ 探究点二 平面向量基本定理的证明 （1）证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系． （2）证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 探究点三 向量的夹角（1）已知a 、b 是两个非零向量，过点O 作出它们的夹角θ.（2）两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？ （3）在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角：①〈AB →，AC →〉＝ ；②〈AB →，CA →〉＝ ； ③〈BA →，CA →〉＝ ；④〈AB →，BA →〉＝ .【典型例题】例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.例3 在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b为基底表示OM →.跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .（1）用a 和b 表示向量OC →、DC →；（2）若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【当堂检测】1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.【课堂小结】1．对基底的理解 （1）基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． （2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．（2）平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．【拓展提高】§2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示§2．3.3 平面向量的坐标运算【学习要求】1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．【学法指导】1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并不是向量的坐标，此时AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.【知识要点】1．平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示．（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝ ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ 2．平面向量的坐标运算（1）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝ ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．（3）若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【问题探究】探究点一 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的任一向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．显然有，i ＝ ，j ＝ ，0＝ ．问题1 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.问题2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系． 请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a ，b ，c ，d 所对应的点A ，B ，C ，D .探究点二 平面向量的坐标运算问题1 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋。

2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则． 类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形． 所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角． 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33， 所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量基本定理(2)平面向量的基底是唯一的吗？[提示](1)不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．2．向量的夹角[0，π]a与b同向[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )(2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( )[解析] (1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示．(3)错误．当e 1与e 2共线时，结论不一定成立． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．若△ABC 是等边三角形，则AB →与BC →的夹角的大小为________． 120° [由向量夹角的定义知AB →与BC →的夹角与∠B 互补，大小为120°.] 3．如图2-3-1所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．图2-3-14e 1＋3e 2 [由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)D ，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ； ③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a . 其中正确的结论的序号为________．(2)如图2-3-2，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →，EF →，FC →.图2-3-2[思路探究] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．(1)①②③ [(1)如图，AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a ) ＝12b －12a ，③正确；④EF →＝12CB →＝－12a ，④不正确．](2)因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b . EF →＝ED →＋DA →＋AF → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .[规律方法] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型：[跟踪训练]1．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →等于( )【导学号：84352209】图2-3-3A ．－a ＋15b B ．a －15b C ．23a －13bD ．13a ＋23bA [∵AE →＝15AB →，∴BE →＝－45AB →. 又∵EF ∥BC ，∴EF →＝15BC →＝15(AC →－AB →)，∴BF →＝BE →＋EF →＝－45AB →＋15(AC →－AB →) ＝15AC →－AB →＝－a ＋15b .](1)b ，c ⊥a ，则a ，b的夹角等于________．(2)若a ≠0，b ≠0，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角.【导学号：84352210】[思路探究] 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120° [作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(如图所示)， 则a ，b 夹角为180°－∠C . ∵|a|＝1，|b|＝2，c ⊥a ， ∴∠C ＝60°， ∴a ，b 的夹角为120°.](2)[解] 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a ，b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°.[规律方法] 两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.[跟踪训练]2．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝AC ，则AB →与BC →夹角的大小为________．150° [如图所示，因为∠A ＝120°，AB ＝AC ，所以∠B ＝30°，所以AB →与BC →的夹角为180°－∠B ＝150°.][探究问题]若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e 1，e 2，使向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？提示：由题意λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2，由于e 1，e 2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.如图2-3-4所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.【导学号：84352211】图2-3-4[思路探究] 可利用OP →＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而得OP →.[解] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB → ＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b . 因为OP →与OM →共线， 故可设OP →＝tOM →＝t3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .母题探究：1.将本例中“M 是AB 上靠近B 的一个三等分点”改为“M 是AB 上靠近A 的一个三等分点”，“点N 是OA 上靠近A 的一个四分点”改为“N 为OA 的中点”，求BP ∶PN 的值．图2-3-5[解] BN →＝ON →－OB →＝12a －b ，OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b ， 因为O ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， 所以存在实数λ，μ使BP →＝λBN →＝λ2a －λb ， OP →＝μOM →＝2μ3a ＋μ3b ，所以OB →＝OP →＋PB →＝OP →－BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2μ3－λ2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ3＋λb ， 又OB →＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2μ3－λ2＝0，μ3＋λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，所以BP →＝45BN →，即BP ∶PN ＝4∶1.2．将本例中点M ，N 的位置改为“OM →＝12MB →，N 为OA 中点”，其他条件不变，试用a ，b 表示OP →.图2-3-6[解] AM →＝OM →－OA →＝13OB →－OA →＝13b －a ，BN →＝ON →－OB →＝12OA →－OB →＝12a －b ，因为A ，P ，M 三点共线，所以存在实数λ使得AP →＝λAM →＝λ3b －λa ， 所以OP →＝OA →＋AP →＝(1－λ)a ＋λ3b .因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数μ使得BP →＝μBN →＝μ2a －μb ， 所以OP →＝OB →＋BP →＝μ2a ＋(1－μ)b . 即⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，所以OP →＝25a ＋15b .[规律方法] 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．]2．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°D [AD →与CD →的夹角与∠DAB 互补，其大小为180°－30°＝150°.] 3．设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( )【导学号：84352212】A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → A [因为BC →＝3CD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AC →)＝3AD →－3AC →， 所以3AD →＝4AC →－AB →，所以AD →＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.]4．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．3 [因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ， 所以⎩⎨⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.]5．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.【导学号：84352213】图2-3-7[解] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC → ＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

3.2平面向量基本定理使用说明：认真阅读课本83~84页，并完成下列预习案内容。

【学习目标】1.通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法。

能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达【重点难点】重点:平面向量基本定理.难点:平面向量基本定理的运用.一、知识链接1.对于向量a,b 可以在平面内任取一点o ，利用三角形法则或平行四边形法则（两向量）求出向量a,b 的和向量a+b.向量的加法运算满足交换律，结合律2.实数与实数的运算法则，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的，在根据去括号原则去掉括号 二、教材助读1.给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?2.如图,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们如何通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.3.平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？4.对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？三、预习自测1.如图，已知向量e 1与e 2不共线，求作向量2e 1-3e2.2.如图。

已知E,F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交与点G ，若AB =a ，AD =b ，用a ，b 向量表示AG预习案 e 1 e 2ABCDGa b5.如图,ABCD 中,AB =a .,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a .,b 为基底分解向量AM与HF当堂检测：1.如图;D 是∆ABC 中BC 的中点，AB =a ，AC =b,(1)试用a ，b 表示AD(2)若点G 是∆ABC 的重心，能否用a ，b 表示AG(3)若点G 是∆ABC 的重心，那么GA +GB +GC2.如图，在 ABCD 中，设对角线AC =a ，BD =b,试用a ，b 表示AB ,BC .我的收获探究案AB CDA BC DO。

第二章 平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理 [A 组 学业达标]1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下面关于向量a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 垂直D ．a 与b 中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0. 答案：B2.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a >0，b <0. 答案：B3．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2 ＝0时，这样的λ有无数个．故选B. 答案：B4．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →可用基底a ，b 表示为 ( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →.∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________．解析：设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案：－74m ＋138n6．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________．解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：37．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．解析：易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案：128．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC →，BC →，MN →. 解析：如图，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM →＝12BC →＋e 2－12AD →＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2. 9．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上且AN →＝2NC →，AM 交BN 于P 点，求AP与AM 的比值．解析：设BM →＝a ，CN →＝b ，则AM →＝AC →＋CM →＝－a －3b ，BN →＝2a ＋b . ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使AP →＝λAM →＝－λa －3λb ， BP →＝μBN →＝2μa ＋μb .∴BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)a ＋(3λ＋μ)b . 又∵BA →＝BC →＋CA →＝2a ＋3b ，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35，则AP →＝45AM →.∴AP 与AM 的比值为45.[B 组 能力提升]10．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( )A ．a ＋λbB ．λa ＋bC ．λa ＋(1＋λ)bD.a ＋λb 1＋λ解析：∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝a ＋λb1＋λ.答案：D11.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝( )A ．1 B.43 C.23D.56解析：AF →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋2nAE →， 由B ，F ，E 三点共线，得m ＋2n ＝1，① AF →＝mAB →＋nAC →＝2mAD →＋nAC →， 由C ，F ，D 三点共线，得2m ＋n ＝1，② ①＋②得3(m ＋n )＝2，m ＋n ＝23.答案：C12．设G 为△ABC 的重心，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →，则OG →＝________．解析：OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋13(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：13(a ＋b ＋c )13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________．(用e 1，e 2表示)解析：如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 214．已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△P AB 的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解析：如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H . 因为S △P AC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13. 15．如图，已知三点O ，A ，B 不共线，且OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明：L ，M ，N 三点共线．解析：(1)∵B ，E ，C 三点共线， ∴OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2x a ＋(1－x )b .①同理，∵A ，E ，D 三点共线，∴OE →＝y a ＋3(1－y )b .②比较①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，1－x ＝3（1－y ），解得x ＝25，y ＝45，∴OE →＝45a ＋35b .(2)证明：∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，∴MN →＝ON →－OM→＝6a ＋12b 10，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b10， ∴MN →＝6ML →，又MN →与ML →有公共点M ， ∴L ，M ，N 三点共线．。

平面向量的基本定理及其坐标表示考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定 理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档. 教学过程基础梳理一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理：如果e 21与e 是同一平面内的两个（ ）向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e21与e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对 （ ） 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ （ ） ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设向量OA ＝xi ＋yj ，则向量OA 的坐标(x ，y)就是 的坐标，即向量OA ＝(x ，y)，则A 点坐标为 ( ) ，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝ ( ， ) a －b ＝( ， ) λa ＝ ( ， )．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB ＝( ， )， | AB |＝ .三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔双基自测1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－23．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35 D.⎝⎛⎭⎫45，－35 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝ma ＋nb ，则nm＝________.1．平面向量基本定理的理解(1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底．(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的．(3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算． 2．共线向量充要条件的应用技巧两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：已知坐标，判定平行；已知平行，可求参数．但要注意与共线向量定理结合应用，如果求与一个已知向量共线的向量时，用后者更简单．典例分析考点一 平面向量基本定理[例1] (2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·舟山模拟)如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP ＝m OP1＋n op2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0[冲关锦囊]用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二、平面向量的坐标运算 [例2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(－3，－5)D ．(－2，－4)[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．[冲关锦囊]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算． 2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.考点三、平面向量共线的坐标表示 [例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )A.14B.12 C ．1D ．2[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 4．(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量 a ＝(1,2)，若AB ∥a ，则实数y 的值为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8[冲关锦囊]向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是：a ∥b(b ≠0)⇔a ＝λb ，或x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未知数的值．一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．23．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)， 则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD＝k BC (k ∈R)， 由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。

第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念 自主探究学习1.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 名师要点解析 要点导学1. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.2.向量a 与b 相等，记作a ＝b ；零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.3.零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4. 平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【经典例题】A .a 与b 共线，b 与ｃ共线，则a 与ｃ也共线B .任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C .向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行 【解】选C .【点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，注意这两方面的结合.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；A(起点)B （终点） a③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【分析】首先区别零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，再一一判别正误..【解】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量的模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.【点拨】本题考查基本概念，平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 自主探究学习1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2. 向量的加法有三角形法则和平行四边形法则.3.122311n n n A A A A A A A A -+++=. 名师要点解析 要点导学1. |a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号；2.几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的3. 向量加法有如下规律：a ＋b =b ＋a (交换律)； a +(b +c )=(a + b )+c （结合律）；a +0=a ,a ＋(－a )=0. 因此，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.【经典例题】【例1】若a =“向东走8 km”，b =“向北走8 km”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 【分析】画出图形，以a 、b 为邻边的平行四边形是正方形，根据勾股定理可得|a +b |=6464+=82（km ），a +b 的方向是东北方向..【解】82 km 东北方向【点拨】解决这样的问题，画出以a 、b 为邻边的平行四边形以后，问题就会迎刃而解.【例2】如图，一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).【分析】画出图形，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，根据勾股定理即可得解.【解】设AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD ,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行的速度.在ABC Rt ∆中，2||=AB ，32|BC |=. 所以4|BC ||AB ||AC |22=+=. 因为23tan CAB 3CAB 602∠==⇒∠=︒. 答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为 60.【点拨】：向量的加法可以用几何法进行，正确理解向量的各种运算的几何意义，进一步加深对“向量”的认识，体会用向量处理问题的优越性.2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 自主探究学习1. 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a. （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0.如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0. （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3.向量减法的几何表示：三角形法则， 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.名师要点解析 要点导学以向量AB =a 、AD =b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,BD =b －a ,DB =a －b 且有︱a ︱－︱b ︱≤︱a ±b ︱≤︱a ︱+︱b ︱．【经典例题】(1)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a +b 与a 方向相同 (2)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a -b 与a +b 方向相同 (3)若向量a 与b 方向相同,且|a |＜|b |,则a -b 与a 方向相反 (4)若向量a 与b 方向相同,且|a |＜|b |,则a -b 与a +b 方向相反 A .1 B .2 C .3 D .4 【分析】画出具体的向量进行判定正误. 【解】D .【点拨】正确理解向量减法的几何意义，即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量可快速解决本题.【例2】在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于 【 】 A .ACB .BDC .ADD .AC【分析】AB －DC －CB =AB －DB =AB +BD =AD .【解】C .【点拨】考查向量加法与减法的几何意义，深入理解向量的减法是向量加法的逆运算. 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 自主探究学习1.实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa.（1）|λa |=|λ||a |.（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0.2. 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线，当且仅当只有一个非零实数λ，使b =λa名师要点解析 要点导学若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b 为共线向量；反之若a 与b 共线(a≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa ；当a 与b 反向时b =-μa 从而得向量b 与非零向量a共线，当且仅当只有一个非零实数λ，使b =λa【经典例题】【例1】若3ｍ＋2ｎ＝a ，ｍ－3ｎ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .【分析】可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解得向量m 、n . 【解】记3m ＋2n ＝a ① , m －３n ＝b ②. 3×②得３m －９n ＝３b ③.①－③得11n ＝a －３b . ∴n ＝111a －113b ④. 将④代入②有 m ＝b ＋３n ＝113a ＋112b.【点拨】在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从中我们知道解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.【例2】已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点，若OC OB OA ++= 0，则O 是△ABC 的 （填内心、重心、垂心、外心等）.【分析】可利用平行四边形法则进行向量的加法运算，由于连续的加法运算满足交换律与结合律，即与代数中的加减运算方式一样，进行等式的变形后，再找出O 与△ABC 之间（内心、重心、垂心、外心）的关系.【解】∵OC OB OA ++= 0，∴)(OC OB OA +-=，即OC OB +是与OA 方向相反且长度相等的向量. 如图所示，以OB 、OC 为相邻的两边作平行四边形BOCD ，则OC OB OD +=，∴OA OD -=.在平行四边形BOCD 中，设BC 与OD 相交于E ，EC BE =，则ED OE =. ∴AE 是△ABC 的BC 边的中线，且.||2||OE OA =AOCDBE∴点O 是△ABC 的重心.【点拨】以三角形的重心为起点，以其各顶点为终点的三个向量之和为零向量.除此还有首尾相连的向量之和为零向量.这两个结论在用数形结合的方法研究零向量时是有力的工具.2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 自主探究学习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .名师要点解析 要点导学1.平面向量基本定理中不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不惟一，关键是不共线；3.由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的实数. 【经典例题】【例1】设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP =λOA +μOB ，且λ+μ=1，λ、μ∈R . 【分析】根据点P 在AB 上，AP 与AB 共线入手解决问题. 【证明】∵P 在AB 上，∴AP 与AB 共线. ∴AP =t AB .∴OP －OA =t （OB －OA ）. ∴OP =OA +t OB －t OA =（1－t ）OA +t OB .设1－t =λ，t =μ，则OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ、μ∈R .【点拨】本题重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.本题以OA 、OB 为基向量通过引入参数，在OAB ∆OAP ∆中利用三角形法则寻求OP 与OA 、OB 的关系.本题结论应用较广,要求掌握.【例2】已知平行四边形OADB 中，OA = a ，OB = b ，AB 与OD 交于C . 且|BM | =31|BC |，|CN |=31|CD |，用a 、b 表示OM ，ON ，MN .【分析】选取基底以后，运用向量加法或减法的三角形法则或平行四边形法则求解.【解】∵=-=OB OA BA a – b ， 616131===BA BC BM a 61-b ， ∴BM OB OM += = b +61a 61-b =b a 656+； CN DM OACD OD CN OC ON 3121+=+= =32326121==+OD OD OD (a + b ) =b a 3232+； -==62b a -. 【点拨】平面内的任何一个向量可以用平面内不共线的两个向量a 、b 表示，这是用向量解题的基本功.在处理这类问题时，除了正确利用向量加法、减法、数乘运算外，还要注意如下解题规律：尽可能的把要用a 、b 表示的向量连同a 、b 向同一个三角形或平行四边形转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解.2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 自主探究学习1．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=，我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标.2.平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±； （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--；（3）若a =(x ,y )，则λa =(λx , λy ). 名师要点解析 要点导学1.相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；2.向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关. 【经典例题】【例1】已知三个力1F (3, 4), 2F (2, -5), 3F (x , y )的合力1F +2F +3F =.求3F 的坐标【分析】根据向量的坐标运算求解.【解】由题设1F +2F +3F = 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x , y )=(0, 0).即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F =(-5,1).【点拨】相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.【例2】已知：四点A (5, 1), B (3, 4), C (1, 3), D (5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形 【分析】要证明四边形ABCD 是梯形，需要证明一组对边平行且不相等.【解】∵=(-2, 3) , =(-4, 6) , ∴=2 .∴∥，∴AB ∥DC ，且 ||≠||， ∴四边形ABCD 是梯形. 【点拨】注意向量的平行与直线的平行不同.2.3.4 平面向量共线的坐标表示 自主探究学习设a = (x 1，y 1)，b = (x 2，y 2)，若a ∥b ，则x 1y 2 – x 2y 1 = 0. 名师要点解析 要点导学1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理. 平面向量 实数对(x , y ). 任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一. 也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系. 即向量OA 点A (x , y ). 向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标. 要避免将向量的终点坐标误认为是向量坐标.【经典例题】【例1】平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m ,n ；（2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ；（3）若d 满足()()b a c d +-//，且5=-c d ，求d .【分析】依据条件特点，可将所求向量坐标看作未知数列出方程或方程组，求解得到的方程或方程组即可.【解】（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=,所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a .()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k （3）设d =（x ,y ）,则()()4,2,1,4=+--=-b a y x c d , 由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x 从而，d =（3，-1）或d =（5，3）. 【点拨】运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，要熟练把握向量的坐标运算.本题在求解参数或向量坐标时，都以向量共线的条件为等量关系列方程.【例2】已知O (0, 0)，A (1, 2)，B (4, 5)及OP = AB t OA +(t ∈R). 试问：（1）t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？点P 在第二象限？（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.一一对应 一一对应【分析】（1）对向量OP 的坐标表示为(x , y )后，分别求y = 0；x = 0；x ＜0且y ＞0时t 的值；（2）属于存在型问题，可以假设其存在，若有解（即求出相应t 值）就是能成为平行四边形，若t 值无解，就是不能成为平行四边形.【解】（1）AB t OA OP AB +==),3,3(= (1 + 3t , 2 + 3t ). 若P 在x 轴上，则2 + 3t = 0，解得t =32-. 若P 在y 轴上，则1 + 3t = 0，解得31-=t . 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧>+<+.032,031t t 解得32-＜t ＜31-.（2）∵+==),2,1(= (3 – 3t , 3 – 3t ). 若四边形OABP 为平行四边形，则PB OA =，而⎩⎨⎧=-=-233133t t 无解. ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.【点拨】本题依据向量的坐标运算，将向量用坐标表示解决具体问题，其特点是简捷明了，有章可循.2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 自主探究学习1.数量积定义：设a ,b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积（也叫内积），记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cosθ．规定：0与任何向量的数量积为0；非零向量夹角的范围：πθ≤≤02.投影的定义：非零向量a ,b 的夹角为，则数量|b |cosθ称为向量b 在a 方向上的投影.注意；投影是一个数量.3.数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积．4.向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a （交换律）；(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa. 名师要点解析 要点导学1. 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；3︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||；4︒cos θ =||||b a ba ⋅；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |.2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |3. 向量的数量积不满足结合律,即)(c b a c b a ••••≠）（.5.对于非零实数a ,b ,c ,有ab =bc ⇒a =c . 但对于向量这个结论不成立，即 c a c b b a ==••不能推出.【经典例题】【例1】 判断正误，并简要说明理由①a ·0＝0；②0·a ＝０；③0－＝；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠０；⑥a ·b ＝０，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有（a ·b ）c ＝a （b ·c ）；⑧a 与b 是两个单位向量，则a ２＝b ２【分析】对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝０； 对于②：应有０·a ＝0；对于④：由数量积定义有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜·｜cosθ｜≤｜a ｜｜b ｜，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜；对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝０； 对于⑥：由a ·b ＝０可知a ⊥b 可以都非零； 对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc 则a ·b ＝（λc ）·b ＝λ（c ·b ）＝λ（b ·c ），∴（a ·b ）·c ＝λ（b ·c ）c ＝（b ·c ）λc ＝（b ·c ）a 若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠（b ·c ）a 【解】只有③⑧正确.【点拨】这一类型题，要把握好数量积的定义、性质、运算律,才能正确作答.【例2】已知｜a ｜＝３，｜b ｜＝６，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b 【分析】可根据数量积的定义、性质、运算律进行解答.【解】①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝０；③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos60°＝3×6×21＝9. 【点拨】两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，有0°或180°两种可能2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 自主探究学习1.数量积的坐标表示：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 2.重要的公式： （1）长度公式：y x a a a 212122+===（a =11(,)x y ） （2）夹角公式：cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).（3）平面两点间的距离公式：,A B d =||AB AB AB =⋅=(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).（4）不等式：b a b a b a ≤=•θcos3.向量的平行与垂直的充要条件： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0)⇔a ·b =012120x x y y ⇔+=.名师要点解析 要点导学1. 两向量的夹角与三角形的内角的范围不同.因此转化方法也不同.三角形的内角的范围是()0,π,因此ABC ∆中A 为锐角⇔cos A >0, A 为钝角⇔cos A <0,而两向量的夹角的范围是[]0,π,若采用相同的转化方法就错了.向量的夹转化为用数量积与夹角公式解决时要注意等价性.①a 与b 的夹角为锐角⇔ cos ＜a ，b ＞＞0且cos ＜a ，b ＞≠1,容易忽略cos ＜a ，b ＞≠1；②a 与b 的夹角为钝角⇔cos ＜a ，b ＞<0且cos ＜a ，b ＞≠-1,容易忽略cos ＜a ，b ＞≠-1. 2．a ∥b ⇔x 1y 2 – x 2y 1 = 0与a ⊥b ⇔x 1x 2 – y 2y 1 = 0要区分清楚；3．由于向量有多种表达形式，又向量的各种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知识解决有关问题时往往有多种方法. 其中坐标法是最常用，最重要的一种方法.4.平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起，因此，涉及到角度与距离有关的问题，可优先考虑用向量的数量积进行处理.【经典例题】【例1】已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?【分析】为求a 与b 夹角，需先求b a ⋅及｜a｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.【解】由a＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b ｜＝２2．记a与b 的夹角为θ，则cos θ＝22=⋅⋅ba b a .又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π. 【点拨】已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.【例2】如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量的坐标【分析】设出向量b的坐标，列出等量关系解方程求解.【解】设b点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2)∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0,又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴b 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(-. 【点拨】结合图形，能快速的找到向量b 的坐标满足的条件.2.5平面向量应用举例自主探究学习1.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.2.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解,运动的叠加也用到了向量的加法.3. 动量mv 是数乘向量.4.力所做的功就是作用力F 与物体在力F 的作用下所产生的位移s 的数量积.名师要点解析要点导学用向量研究物理问题的方法:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.【经典例题】【例1】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）、B （－1，3），若满足OC =αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为【 】A .3x +2y －11=0B .（x －1）2+（y －2）2=5C .2x －y =0D .x +2y －5=0【分析】C 点满足OC =αOA +βOB ，且α+β=1，∴A 、B 、C 三点共线.∴C 点的轨迹是直线AB .【解】选D【点拨】本题设出点C 的坐标，代人向量等式，也可得到坐标的关系，再代人条件α+β=1，即可得 点C 的轨迹方程.即设()y x C ,，则()()()3,1,1,3,,-===OB OA y x OC ，由OB OA OC βα+=得()()()()βαβαββαα3,33,,3,+-=-+=y x .于是⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=133βαβαβαy x ，先消去β，由αβ-=1得⎩⎨⎧-=-=αα2314y x 再消去α得052=-+y x .此方法关键在于寻求等量关系列出点C 坐标(),x y 所满足的方程.条件OB OA OC βα+=与1=+βα均为等量关系.由此列出的方程组除x 、y 是未知数外，α、β为参数，通过消参即可得C 坐标(),x y 所满足的方程，即为点C 的轨迹方程.【例2】如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg 和2 kg 的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）【分析】先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解.【解】设所求物体质量为m kg 时，系统保持平衡，再设F 1与竖直方向的夹角为θ1，F 2与竖直方向的夹角为θ2，则有⎩⎨⎧=+=22②，①，mg g g g g θθθθcos 2cos 4sin 2sin 411（其中g 为重力加速度）.由①式和②式消去θ2，得m 2－8m cos θ1+12=0，即m =4cos θ1±23cos 412-θ. ③∵cos θ2＞0，由②式知，③式中m =4cos θ1－23cos 412-θ不合题意，舍去.又∵4cos 2θ1－3≥0，解得23≤cos θ1≤1. 经检验，当cos θ1=23时，cos θ2=0，不合题意，舍去. ∴23＜m ＜6.综上，所求物体的质量在23 kg 到6 kg 之间变动时，系统可保持平衡.【点拨】（1）m 的范围是通过函数y =4x +2342-x 的单调性求得的.（2）实际问题的处理要注意变量的实际意义，本题容易忽略cos θ2＞0的实际限制.作 者 于华东责任编辑 庞保军。

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2．3。

1 平面向量基本定理预习课本P93～94,思考并完成以下问题（1）平面向量基本定理的内容是什么？（2)如何定义平面向量基底?(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？错误!1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[12向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向［点睛］当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时,夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。