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高三文科数学复习(向量)

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1 高三文科数学复习(向量)

一：基础知识整理

⑴平面向量的概念、加、减、数乘运算

⒈向量是既有大小又有________的量，向量常用_______线段来表示，向量AB的长度记作_______,长度为零的向量叫做__________，记作______,长度等于1的向量叫做____________;方向相同或相反的向量叫______________,也叫______________,长度相等，方向相同的向量叫______________。

⒉向量的加法是由几何作图定义得向量ab可由__________法则或__________法则作得。

⒊实数与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度和方向规定如下：①_____a；②当>0时，a与a的方向_______，当<0时，a与a的方向_______，当=0时，a=____

⒋ 向量b与a共线的充要条件是_________________________________(其中0a)

⑵平面向量的分解与坐标运算

⒈平面向量基本定理：如果1e和2e是一平面内的两个_______的向量，那么该平面内的任一向量a，存在______的一对实数1a，2a，使2111eaeaa 。不共线向量1e，1e叫做表示这平面内所有向量的一组_______，记为21,ee。2111eaea叫做向量a关于基底21,ee的分解式。

⒉向量的正交分解：如果基底的两个基向量1e和2e互相______,则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫__________。

⒊向量的直角坐标：),(21aaa，1a叫向量a在x轴上的坐标分量, 2a叫a在y轴上的坐标分量.

⒋向量的直角坐标运算:

①若),(21aaa,),(21bbb.则a+b=_______,ab=_______,a=________,a//b (b0)的充要条件是_______ .

②已知点A11,yx,B22,yx,则AB=______________

⑶平面向量数量积

1.数量积的概念，已知两个非零向量a、b

(1)向量的夹角 规定∈ (2)数量积的定义

(3)数量积的几何定义

2.数量积的性质

若a，b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，是a与e的夹角，则

（1）ab________________=__________________ （2）ea=ae=acos

（3）abab=0_____________________（其中1122,,,axybxy）

（4）当a与b同向时，ab =ab;当a与b反向时，ab =ab，

22aaaa或aaa________________

（5）cos=abab=______________________ （6）abab

3.数量积的运算律： 2 A

B C P

(1)交换律：a·b= (2)数乘结合律：(a·b)= =

(3)分配律：(a·b)·c=

注意 ：

①数量积不适合乘法结合律，即（ab）c与a（bc）未必相等。

②数量积的消去律不成立，即ac=bc，不一定得到a=b 4.数量积的坐标运算

设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)则

(1)a·b= (2)a= _____ (3)cos= _______

(4) a∥b (5)a⊥b ______

二：基础训练

⒈与向量a（1，3）平行的单位向量是_______________

⒉||,,,1.cbacACbBCaABAB则，的边长为已知正方形

⒊若向量ba,满足2a，1b，1)(baa，则向量ba,的夹角大小为

⒋下列命题：

①若a与b为非零向量，且a//b时，则ab必与a或b中之一的方向相同；

②若e为单位向量，且//ae，则aae；

③若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；

④若平面内四点A、B、C、D，则必有.ACBDBCAD 正确的命题个数是________个

⒌在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若DBAD2，CBCACD31,则λ= _

⒍已知)23,21(a，baOA，baOB ，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积是

⒎若P为△ABC所在平面内一点，并且ACABAP5152,

则△ABP的面积与△ABC的面积之比为___

⒏如图，点P为ΔABC的外心，且|AC|=4，|AB|=2，

则AP·(AC-AB)等于__________

⒐在△ABC中，O为中线AM上的一动点，若AM=2，则)(OCOBOA的最小值为

10.已知｜a|=2|b|0,且关于x的方程0||2baxax有实根，则a与b的夹角的取值范围是

三：典型例题

⒈已知平面向量，a=(3,-4) , b=(2,x) , c=(2,y) 且 a//b , ac,

求 ,bc 以及 b 和 c 的夹角

3

⒉已知4,3,23261ababab

（1）求 a 与 b 的夹角 （2）求 ab 和 ab

（3）若,,ABaACb作三角形ABC，求ABC的面积。

⒊已知向量a＝(sin，1)，b＝(1，cos)，－22．

(1) 若a⊥b，求； (2) 求|a＋b|的最大值．

⒋如图，已知OFQ的面积为S，且1FQOF，（1）若221S，求OF与FQ的夹角的取值范围；（2）设csccOF43),2(||，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||OQ取得最小值时，求此椭圆方程。

四：课后作业

⒈已知a是平面内的单位向量，若向量b满足0)(bab，则b的取值范围

⒉设a、b、c是平面内不共线的向量，下列命题：①若OAa, OBb, OCc,且a+b+c=0,则O为Q y

x F O 4 ;的重心ABC②若ab=ac,则b=c;③若b＝c,则ab=ac;④“ab=ac”是“ a(b-c)”的充要条件;⑤a（b c）=(ab)c,其中真命题的序号为

⒊已知)3,2(mma，)2,12(mmb，且a与b的夹角为钝角，则实数m范围

⒋给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，

点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若,OCxOAyOB其中,xyR，则xy的最大值是________.

⒌在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若DBAD2，CBCACD31,则λ=

⒍已知向量)3,5(),3,6(),4,3(mmOCOBOA，

（1）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m满足的条件；

（2）若△ABC是直角三角形，求实数m的值。

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文科数学高考二轮复习专题篇平面解析几何4由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应

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由向量形式的三角形面积公式获得的坐标式三角形面积公式及其应用

高考题 1 (2010 年高考辽宁卷理科第 8 题 )平面上 O, A, B 三点不共线， 设 OA a,OB b ，

则 OAB 的面积等于 ( )

2 2

(a b ) 2 2 2 (a b) 2 C. 1 2 2 ( a b) 2 D. 1 2 2 (a b )2 A. a b B. a b a b a b

2 2

答案： C.

这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：

定理 1 若三点 O, A, B 不共线，则 S OAB 1 2 2

(OA OB )2 .

OA OB

2

1

1 2 2

证明 S OAB OA OB 1 c o 2s AOB OA OB (OA OB )2 .

2 2

由此结论，还可证得

定理 2 若三点 O, A, B 不共线， 且点 O 是坐标原点， 点 A, B 的坐标分别是 (x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，

则SOAB 1 x1 y2 x2 y1 .

2

证法 1 由定理 1，得

S OAB 1 2 y1 2 2 y2 2 ( x1 x2 y1 y2 ) 2 1 x1 y2 x2 y1

(x1 )( x2 )

2 2

证法 2 可得直线 AB 的方程是

平面向量-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)

平面向量-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)

专题 11 平面向量

1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是

A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b

2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 AC BC=1，则点 C的轨迹为

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知 P是边长为 2的正六边形 ABCDEF内的一点，则 AP AB的取值范围是

A．(2,6)

C．(2,4) B．(6,2)

D．(4,6)

4．【2019年高考全国 I卷文数】已知非零向量 a，b满足|a | 2|b|，且(a b) b，则 a与 b的夹角为

π B． π A．

C． 6

2π 3

5π D． 3 6

5．【2019年高考全国 II卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=

A． 2 B．2

C．5 2 D．50

6．【2018年高考全国 I卷文数】在△ABC中， AD为 BC边上的中线， E为 AD的中点，则 EB

1 A． AB 1 AC 3 B． AB 3 AC

4

3 4 4

1 4 C． AB 1 AC D． AB 3 AC

4 4 4 4

7．【2018年高考全国 II卷文数】已知向量 a，b满足|a | 1，a b 1，则a (2a b)

A．4

C．2 B．3

D．0

8．【2018年高考浙江卷】已知 a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量 a与 e的夹角为 π3，向量 b

满足 b −4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是

2

A． 3 −1

C．2 B． 3 +1

D．2− 3

9．【 2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知 BC·OM的值为 OM 1,ON 2,MON 120 ,BM 2MA,CN 2NA,则

2019版高考文科数学大一轮复习人教A版5.4 平面向量的综合应用 Word版含答案

2019版高考文科数学大一轮复习人教A版5.4 平面向量的综合应用 Word版含答案

§平面向量的综合应用

最新考纲 考情考向分析

.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.

．向量在平面几何中的应用

()用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型 所用知识 公式表示

线平行、点共线等问题 共线向量定理 ∥⇔＝λ⇔－＝，其中＝(，)，＝(，)，≠

垂直问题 数量积的运算性质 ⊥⇔·＝⇔＋＝，其中＝(，)，＝(，)，且，为非零向量

夹角问题 数量积的定义 θ＝(θ为向量，的夹角)，其中，为非零向量

长度问题 数量积的定义 ＝＝，其中＝(，)，为非零向量

()用向量方法解决平面几何问题的步骤：

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． ．向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

知识拓展

．若是△的重心，则＋＋＝.

．若直线的方程为＋＋＝，则向量(，)与直线垂直，向量(－，)与直线平行．

题组一思考辨析

．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

()若∥，则，，三点共线．(√)

()在△中，若·<，则△为钝角三角形．(×)

()若平面四边形满足＋＝，(－)·＝，则该四边形一定是菱形．(√)

()设定点()与动点(，)满足·＝，则点的轨迹方程是＋－＝.(√)

()已知平面直角坐标系内有三个定点(－，－)，(，)，()，若动点满足：＝＋(＋)，∈，则点的轨迹方程是－＋＝.(√)

2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案

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2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章

第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案

编 辑：__________________

时 间：__________________

教学资料范本

2 / 22 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节 平面向量的概念及其线性运算

20xx考纲考题考情

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为零的向量，其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量 定义 法则 运算律

3 / 22 运算 (或几何意义)

加法 求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1)交换律：

a＋b＝b＋a。

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。

1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)。

2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1。