高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面的位置关系课件理

考点1 平面的基本性质
【典例1】(1)(2015·厦门模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;
④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)①AM和CN不是异面直线. 理由:连接MN,A1C1,AC. 因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点, 所以MN∥A1C1. 又因为A1A C1C, 所以四边形A1ACC1为平行四边形, 所以A1C1∥AC,所以MN∥AC, 所以A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线.
②D1B和CC1是异面直线. 理由: 因为ABCD -A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α, 所以D1,B,C,C1∈α, 这与B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假设不成立, 即D1B和CC1是异面直线.
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
表示 公理
文字语言
_过__不__在__一__条__直__线__上__ 公理2 的三点,有且只有一个
平面
公理3
如果两个不重合的
平面有一个公共点, 那么它们有且只有
_一__条__过该点的公共 直线
图形语言
符号语言
A,B,C三点不共线 ⇒有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
(2)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点,
所以EF∥A1B且EF=
1 2
A1B.
又因为A1D1∥BC,且A1D1=BC,

跟踪训练3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点， 用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视 图是
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后， 剩余部分的直观图如图. 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.
(2)当AC，BD满足条件__A_C__＝__B_D_且__A_C__⊥__B_D___时，四边形 EFGH为正方形.
∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
√C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β ＝AB，B对； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.
教师备选
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中 点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面.

证明:(1)连接 EF,CD1,A1B. 因为 E,F 分别是 AB,AA1的中点,
所以 EF∥BA1. 又因为 A1B∥D1C, 所以 EF∥CD1, 所以 E,C,D1,F 四点共面.
反思归纳计算由三视图或平面图形折叠得到几何体中异面直线所成 角的思路 (1)准确作出直观图. (2)在直观图中作出异面直线所成的角,进而求解.
解析:①由平行公理知①正确;②不正确,也可能相交或异面;③不正确,也 可能异面;④不正确,a与c不一定相交;⑤不正确,a与b也可能相交或异面.
3.若直线l不平行于平面α ,且l⊄α ,则( B ) (A)α 内的所有直线与l异面 (B)α 内不存在与l平行的直线 (C)α 内存在唯一的直线与l平行 (D)α 内的直线与l都相交
所以CE,D1F,DA三线共点.
反思归纳 (1)证明点共面或线共面的常用方法 ①直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. ②同一法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. ③辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面 β,最后证明平面α,β重合. (2)证明空间点共线问题的方法 ①公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证 明这些点都在这两个平面的交线上. ②同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (3)证明三线共点的方法 先选取两线交于一点,再证明该点在第三条线上即可.
答案:②③④
反思归纳(1)空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂 直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利 用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质 定理;对于垂直关系,常常利用线面垂直的性质来解决. (2)解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利用正(长)方体模 型来解决问题.

(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线
锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的_____________
b 所成的角(或夹角). (2)范围：
π . 0， _________ 2
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
第3讲
空间点、直线、平面之间
的位置关系
最新考纲
1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解
可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已
获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
知识梳理
1.平面的基本性质
两点 在一个平面内，那么这 (1) 公理 1 ：如果一条直线上的 _____ 条直线在此平面内. 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平 (2) 公理 2 ：过 _________________ 面. 一个 公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有 ______ 们有且只有一条过该点的公共直线.
答案 (1)D (2)A
考点三 异面直线所成的角
【例 3】(1)(2017· 佛山模拟)如图所示， 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 是 AC 的中点，AA1∶AB＝ 2∶1，则异 面 直 线 AB1 与 BD 所 成 的 角 为 ________.
(2)(2016· 全国Ⅰ卷)平面 α 过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A， α∥平面 CB1D1， α∩平面 ABCD＝m， α∩平面 ABB1A1＝n， 则 m，n 所成角的正弦值为( 3 A. 2 2 B. 2 ) 3 C. 3 1 D.3
2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面 直线B1C与EF所成的角的大小为( A.30° B.45° )

【通关秘籍】 1.公理和推论中“有且只有”一个平面的含意是:平面存在,而且唯一, “有且只有”有时 说成 “确定”. 2.使用公理或推论确定平面时,哪些元素(点或直线)确定了平面,该元素本身就在确定 的平面内.
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高考复习讲义
考点全通关 4
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空间点、直线、平面之间的位置关系
3.公理3 (1)自然语言:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
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高考复习讲义
考点全通关 2
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.公理2 (1)自然语言:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(2)图形语言:如图8-3-2所示.
图8-3-2
(3)符号语言:A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使得A∈α,B∈α,C∈α.
(4)作用:①确定一个平面的依据;②判断两个平面重合的依据;③证明点、线共面的依据.
考点全通关 10
空间点、直线、平面之间的位置关系
【说明】 直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记作l⊄α.
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高考复习讲义 考点全通关 11 考点四 两个平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
由公理2,结合初中所学的“两点确定一条直线”,易得以下推论:
推论1 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
பைடு நூலகம்
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高考复习讲义
考点全通关 3

(3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 9 _相__等__或__互__补__．_
(4)异面直线所成的角
①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′ 与 b′所成的 10 _锐__角__(_或__直__角__)_叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
和定理. 选择题和填空题的形式出现，解
3.能运用公理、定理和已获得的结 题要求有较强的空间想象能力和
论证明一些空间图形的位置关系 逻辑推理能力.
的简单命题.
[核心素养]
1.直观想象 2.数学运算
1
课 前 ·基 础 巩 固
1．平面的基本性质
名称
图示
公理 1
‖知识梳理‖
文字表示
符号表示
如果一条直线上的 1 __两__点_____在 一个平面内，那么这条直线在此平 A∈l，B∈l，且 A∈α，
解析：(1)∵四边形 EFGH 为菱形， ∴EF＝EH，故 AC＝BD. (2)∵四边形 EFGH 为正方形，∴EF＝EH 且 EF⊥EH， ∵EF 12AC，EH 12BD，∴AC＝BD 且 AC⊥BD. 答案：(1)AC＝BD (2)AC＝BD 且 AC⊥BD
3．(必修 2P52B 组 T1(2)改编)如图所示，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为________．
第八பைடு நூலகம் 立体几何
第三节 空间点、直线、 平面之间的位置关系
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测

即 D，B，F，E 四点共面． ②在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，设平面 ACC1A1 为 α，平 面 DBFE 为 β. 因为 Q∈A1C1，所以 Q∈α， 又 Q∈EF，所以 Q∈β，则 Q 是 α 与 β 的公共点， 同理，P 是 α 与 β 的公共点，所以 α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，所以 R∈A1C，R∈α 且 R∈β， 所以 R∈PQ，故 P，Q，R 三点共线．
[典题 1] (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( B )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，
B，C，D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接①四边形 BCHG 的形状是___平__行__四__边__形____； ②点 C，D，E，F，G 中，能共面的四点是_C__，_D__，__E_，__F_． 解析：①∵G，H 分别为 FA，FD 的中点， ∴GH 綊12AD.又 BC 綊12AD，所以 GH 綊 BC，
所以四边形 BCHG 为平行四边形．
C．2
D．3
[解析] ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A，B， C 三点共线，则 A，B，C，D，E 五点不一定共面；③构造长方 体如图，显然 b，c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线 段不共面．故只有①正确．
(2)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条___相__交___直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条___平__行___直线有且只有一个平面．

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数学
考点全通关 10
第八章·第三讲 考点三
空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有以下三种:
位置关系 直线a在 平面α内 直线a与平 图形表示 符号表示 a⊂α 公共点 有无数个 公共点 有且只有
面α相交
直线a与平 面α平行
a∩α=A
一个公共点
a∥α
A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.
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图8-3-8
数学
题型全突破 11
第八章·第三讲
空间点、直线、平面之间的位置关系
因为AB1=AC=B1C,
所以∠B1CA=60°.
数学
知识全通关
2
第八章·第三讲
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.公理2 (1)自然语言:过 不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
图8-3-2 (2)图形语言:如图8-3-2所示. (3)符号语言:A,B,C不共线⇒有且只有一个平面α,使得A∈α,B∈α,C∈α. (4)作用:①确定一个平面的依据;②判断两个平面重合的依据;③证明点、线共面的依据.
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1
考点2
考法1
考法2
方法
考点3
考点4
易错易误
考情精解读
数学
考情精解读
1
第八章·第三讲
空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲解读
考试大纲 命题规律
01
1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解有关的可以作为推理依据 的公理和定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简

(3) DE ， BF ， CC 1三线交于一点. [解析] 因为 EF ∥ BD 且 EF ＜ BD ，所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M ，则由 M ∈ DE ， DE ⊂平面 D 1 DCC 1，得 M ∈平面 D 1 DCC 1，同理， M ∈平面 B 1 BCC 1. 又平面 D 1 DCC 1∩平面 B 1 BCC 1＝ CC 1，所以 M ∈ CC 1. 所以 DE ， BF ， CC 1三线交于一点.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.

第八章
立体几何
第三节
空间点、 直线、 平面之间的位置关系
1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为 推理依据的公理和定理； 3.能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
知 识
梳 理 诊 断
1．平面的基本性质 图形 文字语言 如果一条直线上 公 理 1 符号语言
如果两个不重合 公 理 3 的平面有一个公 共点，那么它们 若 P∈α 且 P∈ β，则 α∩β＝a， 且 P∈a
有且只有一条 ______________
过该点的公共直 线
2.空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ①共面直线
一个 公共点； a．相交 _____直线：同一平面内，有且只有_____ 没有 公共点． 平行 直线：同一平面内，_____ b．_____
(5)两条直线 a， b 没有公共点， 则 a 与 b 是异面直线． (
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2．若直线 a∥b，b∩c＝A，则直线 a 与 c 的位置关系是 ( ) A．异面 C．平行 B．相交 D．异面或相交
[解析]
因为 a∥b，b∩c＝A，所以由公理 4 知 a 与 c 一
[答案]
D
6．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点， 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________．
[解析] AF. ∵在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， EF∥B1C1，B1C1∥BC， ∴EF∥BC，∴∠AEF 即为异面直线 AE 与 BC 所成的角． 取 A1B1 的中点 F，连接 EF，
锐角或直角 作直线 a′∥a， b′∥b， 把 a′与 b′所成的____________ 叫做异面