注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a 共, b面的充要 条件是存在实数对x, y使 Pxayb
注：可用于证明三个向量共面
B
b
M aA
p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
被唯一确定了 a,， b＝并 b,a且
如果 a,b,则称 a与 b互相垂直， a 并 b 记
2
2）两个向量的数量积
a b a b c o s a , b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影
已知向A量 B＝a和轴 l， e是l上与 l同方向的单位向 点A量 在。作
l上的射A1影 ,作点 B在l上的射B1， 影则 A1B1叫做向A量 B在轴 l上的
或在 e方向上的正射影 射， 影简 。称 B
A1B1 ABcosa,eae
e
A1
A
B1
l
注意：A B 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 与AlB的方向的相对关系，大小代 表在l上射影的长度。
一、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向
量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实
数λ使 ab
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
知非零向量 的a直线,那么对任一点O,点P
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。
则空间中任意一个向量p可表示为
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2A 3 A 3 A 4 A nA 1 0
D1 A1
G D
始点相同的三个 C1 不共面向量之和，等
B1 M
于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公
共始点为始点的对角
线所示向量
C
A
B
3.1.2共线向量定理与共面向量定理
空间向量复习
例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？
F3
F1
C
F2
o
A
B
500kg
例4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。
（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
P
F
E
D
C
A
B
3.1.1空间向量的运算
p=xi+yj+zk
(x,y,z)就是向量p的坐标。
3.1.5 向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba 加法结合律
(ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。
2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。
3.1.3空间向量的数量积
1） 两个向量的夹角
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a
A
a
B
O
b
b
范围 0： a,b在这个规定下量 ，的 两夹 个角 向
注意： 数量积不满足结合律 （ab)ca(bc)
向量数量积的应用
1、应用a b a 可b 证0 明两直线垂直，
2、利用
a
2
可a求2 线段的长度。
3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
M PxM A yM B
或对空间任一点O,有O P O M x M A y M B
注意： 证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据 存 在 唯一实数对（ x ,y ） ,使 得 M P x M A y M B O P x O M y O A z O B ( 其 中 ， x y z 1 )
可 用
在直线 上的l 充要条件是存在实数t,满足等 式OP=OA+t 其中a向量a叫做直线的方向
于 证 明
向量.
点
假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。
共 线
若P为A,B中点, 则
OP1 OAOB 2
P
a
B A
O
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
a
O
A
a
b
O
a
A
a
B
b
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
4)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b ，有：
1) a e a cos a , e
2) a b a b 0
2
3) a a a 注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
2) ab ba (交换律） 3）a(bc) abac (分配律）
