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§1空间向量的坐标表示及基本定理二、教学目标1.了解空间向量的基本概念；2.掌握空间向量的运算及性质. 三、重点：空间向量的运算难点：利用向量证明有关问题 四、知识导学1.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使 .2.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb =++{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 . 3.空间向量的坐标表示概念 4.设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3),若a 、b 为两非零向量，则a b ⊥⇔ =0⇔ =0. 五、课前自学1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量总可以唯一表示为c z b y a x p ++=．其中正确命题的个数为 ．2．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点， BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．3．向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b 位置关系是 ． 4. m ＝（8，3，a ），n ＝（2b ,6,5），若m ∥n ，则a +b 的值为 ． 5．a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为 ． 六、合作、探究、展示例题1 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN ，用基底向量,,OA OB OC 表示向量例题2．已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点。
3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的坐标运算规律；2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示；3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法；2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．空间向量的坐标运算；2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示；3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点：1．向量坐标的确定；2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．活动设计：学生自由发言；教师板书记录．学情预测：学生可能回答：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出A 、B 两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．活动成果：因为上一节课已经学会了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN →的坐标就可以表示出来，还须知道有了向量的坐标如何来求向量的模．设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．探究新知提出问题：我们已经知道了空间向量坐标表示的由来，也已经学会了空间向量的加减、数乘和数量积运算的定义，请根据平面向量的坐标运算规律，猜想空间向量的坐标运算规律，填写下表，并证明你的结论．活动设计：1.学生自己推算并自觉讨论；教师巡视并注意和学生交流；2．部分学生到黑板上板演证明过程；教师点评补充．学情预测：学生基本上都能够猜想出空间向量运算的坐标表示，大部分同学能够给出证明，对数量积运算的坐标表示可能存在困难．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，λ是实数，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.证明一：加法的坐标表示的证明∵ a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )＋(x 2i ＋y 2j ＋z 2k ) ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ＋(z 1＋z 2)k ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)．证明二：空间向量的数量积的坐标表示的证明 ∵a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )·(x 2i ＋y 2j ＋z 2k )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 1z 2i ·k ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＋y 1z 2j ·k ＋z 1x 2k ·i ＋z 1y 2k ·j ＋z 1z 2k 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.设计意图：引导学生大胆地“由旧猜新”，即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程中发现二维与三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论．理解新知 提出问题：空间向量的平行、垂直关系，空间向量的夹角、模的公式应如何用坐标表示？ 活动设计：1.学生自己推演，教师巡视指导；2．部分学生在黑板上板演，教师点评并请学生修改补充．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，且a ≠0，b ≠0. 1．a ∥b 存在唯一确定的实数λ，使得x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2； 2. a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；3.||a ＝ x 21＋ y 21＋ z 21；4．cos 〈a ，b 〉 ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x 21＋ y 1 2 ＋ z 21x 22＋ y 22＋ z 22 . 设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识． 运用新知 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A ，B 中点M 的坐标和||AB ；(2)求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件．思路分析：(1)要求A ，B 中点M 的坐标，就是求向量OM →的坐标，已知A ，B 两点的坐标，就是已知向量OA →，OB →的坐标，由向量的加减运算即可求出向量OM →的坐标；要求||AB ，就是求||AB →，只需求出向量AB →的坐标即可．(2)要求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件，只需把到A ，B 两点距离相等这个条件用点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 表示出来即可．解：(1)∵M 为A ，B 的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12((3,3,1)＋(1,0,5))＝12(4,3,6)＝(2，32，3)．∴M 点的坐标为(2，32，3)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)， ∴||AB→＝(－2)2＋(－3)2＋42＝29. ∴||AB ＝29.(2)∵点P(x ，y ，z)到A ，B 的距离相等， ∴||PA →＝||PB→. 又∵PA →＝(3－x,3－y,1－z)，PB →＝(1－x ，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2， 整理得4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：利用空间向量解决立体几何问题的关键就是立体几何问题向空间向量的转化，转化以后，再利用空间向量的运算或其坐标运算解决即可．巩固练习已知长方体ABCO —A 1B 1C 1O 1，OA ＝OC ＝2，OO 1＝4，D 为BC 1与B 1C 的交点，E 为A 1C 1与O 1B 1的交点，则DE 的长度为________．答案： 5变练演编如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E ′，F ′分别是A ′B ′，C ′D ′的一个四等分点．(1)求BE ′和DF ′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直线BD ′和平面ABCD 所成的角？你能否给出一个可行的方案？ (3)能否利用向量求二面角F ′ADC 的大小？你能否给出一个可行的方案？ 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，E ′(1，34，1)，D(0,0,0)，F ′(0，14，1)．所以'BE ＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，'DF ＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，|'BE |＝174，|'DF |＝174，'BE ·'DF ＝0×0＋(－14×14)＋1×1＝1516. 所以cos 〈'BE ，'DF 〉＝1516174×174＝1517.(2)方案一：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和BD →所成的角； 方案二：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和DD ′→所成的角的余角． (3)方案：二面角F ′ADC 的大小转化为'DF 和DC →所成的角．达标检测1．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 2．已知点A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85) B. (65，－45，－85)C ．(－65，－45，85) D. (65，45，85)3．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值，并求出此时的||k a ＋b ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．答案：1.C 2.A 3.(1)k ＝－13，||k a ＋b ＝3213 (2)k ＝1063课堂小结1．知识收获：空间向量运算的坐标表示；空间向量平行与垂直关系的坐标表示；空间向量夹角和空间两点距离公式的坐标表示；2．方法收获：类比方法；转化方法； 3．思维收获：类比思维；转化思维． 布置作业 课本习题3.1A 组8,9,10. 补充练习1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设||a ＝1，||b ＝2，且a ，b 的夹角为120°；则||2a ＋b 等于________． 3．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案：1.C 2.23．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21， 由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0， 即当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，时λa ＋μb 与z 轴垂直．设计说明 本节课重点研究空间向量运算的坐标表示，并得出夹角、距离的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生把空间向量运算的坐标表示用平面向量运算的坐标表示类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n ，使n ⊥a ，n ⊥b . 解：设n ＝(x ，y ，z)，则 n ·a ＝(x ，y ，z)·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z)·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.这个方程组有三个未知数，但只有两个方程．不妨把未知数x 当做已知，求y ，z.可得y＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x)＝x(1,1,1)．显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线．2如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线． 证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B.∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1. ∴EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析二：选基底，利用向量的计算来证明． 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EF → ＝ EB 1 → ＋ B 1F → ＝ 12(BB 1→ ＋ B 1D 1→) ＝ 12(AA 1→ ＋ BD →) ＝ 12(AA 1→ ＋ AD →－AB →)＝－a ＋b ＋c 2，AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝－a ＋b ＋c2·(a ＋b )＝b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b 2＝(||b 2－||a 2＋0＋0)2＝0.∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC.(设计者：徐西文)。
高三数学第一轮复习讲义（62）空间向量的坐标运算一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：，1．；；；；2．；；3．；．4．。
三．基础训练：1．已知，则向量与的夹角是（）2．已知，则的最小值是（）DC()()A()B()3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.4．设向量，若，则，。
5．已知向量与向量共线，且满足，，则，。
四．例题分析：例1．棱长为的正方体中，分别为的中点，试在棱上找一点，使得平面。
例2．已知，为坐标原点，（1）写出一个非零向量，使得平面；（2）求线段中点M及的重心的坐标；的面积。
（3）求AOB例3．如图，两个边长为1的正方形ABCD与相交于AB，分别是上的点，且，（1）求证：平面；（2）求长度的最小值。
MD五．课后作业：班级学号姓名1．若向量夹角的余弦值为，则= （）()A1 ()B()C()D2．已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（）D()A()B()C()3．已知四面体ABCD中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）()A()BD()C()4．若，且与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）C()D()A()B()5．设，则与a平行的单位向量的坐标为，同时垂直于的单位向量.6．设向量，计算及a与b的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.7．矩形ABCD中，已知面积，若边上存在唯一点，使得，（1）求的值；（2）M是上的一点，M在平面上的射影恰好是的重心，求M到平面的距离。
8.直三棱柱，，分别是的中点，（1）求的长；（2）求的值；（3）求证：。
内容总结（1）高三数学第一轮复习讲义（62）空间向量的坐标运算一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：，1．。
一、考纲要求:1.了解空间向量基本定理，掌握空间向量的正 交分解及其坐标表示.2.理解空间向量数量积的概念、性质、运算律及两向量的夹角公式、两点间距离公式、掌握空间向量的数量积的坐标形式.3.能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直. 二、知识梳理 回顾要求:1.空间向量的坐标表示：若a xi y j zk =++（,,i j k 分别是与x 轴、y 轴、z 轴同方向的单位向量），则a 的坐标是(,,)x y z .2.空间向量的坐标运算：（1）若111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB =212121(,,)x x y y z z ---； （2）空间向量的坐标运算：a －b ＝1(a b -a b ∙＝11a b a +b ⇒11a b λ=，233cos 〈a ，b 〉＝22a a a ==+3(1)两个向量的数量积： ①a b ∙=cos ,a b a b <>；②a b ⊥0a b ∙= ； (,a b 为非零向量)； ③空间向量夹角的范围：[]0,π；(2)空间向量的数量积运算律 ①a b ∙=b a ∙②()()()a b a b R λλλ∙=∙∈ ③()a b c a b a c ∙+=∙+∙ 要点解析1． 空间任意一个向量a 与有序实数组)z ,y ,x (建立的一一对应的关系，强调空间向量坐标的唯一性。
2． 空间向量的坐标运算与平面向量有类似的运算，如加、减、数乘等，而空间向量平行的表达形式与平面向量不一样，它没有平面向量平行的等积式1221y x y x =，但实质是一样的，都是对应的坐标成比例。
3． 需注意当向量与坐标轴或坐标平面平行时向量坐标的特点。
4． 由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以处理空间向量的相关问题，均可将平面向量处理问题的方法推广到空间。
三、诊断练习【教学处理】课前要求学生阅读课本选修2-18094P P -，再完成诊断练习4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
第十三章空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。
（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
空间向量的坐标运算第一课时空间直角坐标系教学目标：㈠知识目标：⒈空间直角坐标系；⒉空间向量的坐标表示；⒊空间向量的坐标运算；⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系；5.中点公式。
㈡能力目标：⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；⒉掌握空间向量坐标运算的规律；3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4.会用中点坐标公式解决有关问题。
教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究1、空间右手直角坐标系的概念⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。
⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。
⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。
注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向量a，且设i,j,k为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可简记作a＝（a1,a2,a3）。
在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3)a －b=(a 1－b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3)a ⋅b=a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) ,z y x ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。
第三课时 空间向量及其运算强化训练一、复习目标：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。
二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程 （一）、基础自测（分组训练、共同交流） 1.有4个命题：①若p =x a +y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p =x a +y b ； ③若MP =x MA +y MB ，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是（ B ）。
A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若|a |=|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，则AB ＞CDD.若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0，则AB ∥CD 3.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a ∥b ，则（ C ）。
A.x=1,y=1B.x=21，y=-21C.x=61，y=-23D.x=-61，y=234.已知A （1，2，3），B （2，1，2），P （1，1，2），点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是 . 答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34,345.在四面体O-ABC 中，OA =a ,OB =b , OC =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则OE = (用a ,b ,c 表示).答案 21a +41b +41c（二）、典例探析例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1AA =a ，AB =b ，AD =c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： （1）AP ；（2）N A 1；（3）MP +1NC .解 （1）∵P 是C 1D 1的中点，∴AP =1AA +11D A +P D 1=a +AD +2111C D =a +c +21AB =a +c +21b . （2）∵N 是BC 的中点，∴N A 1=A A 1+AB +BN =-a +b +21BC =-a +b +21AD =-a +b +21c . （3）∵M 是AA 1的中点，∴MP =MA +AP =21A A 1+AP =-21a +(a +c +21b )= 21a +21b +c ， 又1NC =NC +1CC =21BC +1AA =21AD +1AA =21c +a ，∴MP +1NC =(21a +21b +c)+(a +21c )=23a +21b +23c . 例2、如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N分别是AB 、CD 的中点.（1）求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；（2）求MN 的长； （3）求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值. （1）证明 设AB =p , AC =q ，AD =r .由题意可知：|p |=|q |=|r |=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN =AN -AM =21（AC +AD ）-21AB =21（q +r -p ），∴MN ·AB =21（q +r -p ）·p =21（q ·p +r ·p -p 2）=21（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）解 由（1）可知MN =21（q +r -p ）∴|MN |2=MN 2=41（q +r -p ）2=41［q 2+r 2+p 2+2（q ·r -p ·q -r ·p ）］=41[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）] =41×2a 2=22a . ∴|MN |=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN 与MC 的夹角为θ.∵AN =21(AC +AD )=21(q +r ), MC =AC -AM =q -21p ,∴AN ·MC =21（q +r ）·（q -21p ）=21（q 2-21q ·p +r ·q -21r ·p ）=21(a 2-21a 2·cos60°+a 2·cos60°-21a 2·cos60°)=21（a 2-42a +22a -42a ）=22a .又∵|AN |=|MC |=a 23，∴AN ·MC =|AN |·|MC |·cos θ=a 23·a 23·cos θ=22a . ∴cos θ=32， ∴向量AN 与MC 的夹角的余弦值为32，从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值为32.例3、 （1）求与向量a =(2,-1,2)共线且满足方程a ·x =-18的向量x 的坐标；（2）已知A 、B 、C 三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P 的坐标使得AP =21（AB -AC ）； （3）已知a =（3，5，-4），b =（2，1，8），求：①a ·b ；②a 与b 夹角的余弦值；③确定λ，μ的值使得λa +μb 与z 轴垂直，且（λa +μb ）·（a +b ）=53.解 （1）∵x 与a 共线，故可设x =k a ，由a ·x =-18得a ·k a =k|a |2=k （414++）2=9k ，∴9k=-18，故k=-2. ∴x =-2a =（-4，2，-4）.（2）设P （x ，y ，z ），则AP =（x-2，y+1，z-2）， AB =（2，6，-3），AC =（-4，3，1），∵AP =21（AB -AC ）. ∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x ∴P 点坐标为(5，21，0).（3）①a ·b =（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a |=222)4(53-++=52, |b |=222812++=69,∴cos 〈a ,b 〉=b b a a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387.③取z 轴上的单位向量n =（0，0，1），a +b =（5，6，4）.依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b b b a a a a μλμλ 即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ 故⎩⎨⎧=+=+-531829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ. （三）、强化训练：如图所示，正四面体V —ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M. （1）求证：AO 、BO 、CO 两两垂直； （2）求〈DM ,AO 〉.(1)证明 设VA =a ,VB =b , VC =c ,正四面体的棱长为1, 则VD =31(a +b +c ),AO =61(b +c -5a ),BO =61(a +c-5b ), CO =61(a +b -5c ) ∴AO ·BO =361（b +c -5a ）·（a +c -5b ）=361（18a ·b -9|a |2） =361（18×1×1·cos60°-9）=0.∴AO ⊥BO ，∴AO ⊥BO ，同理AO ⊥CO ，BO ⊥CO ， ∴AO 、BO 、CO 两两垂直.（2）解 DM =DV +VM =-31（a +b +c ）+21c =61(-2a -2b +c ).∴|DM |=()22261⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--c b a =21，|AO |=()2561⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a c b =22，DM ·AO =61（-2a -2b +c ）·61（b +c -5a ）=41，∴cos 〈DM ,AO 〉=222141⋅=22，∵〈DM ,AO 〉∈(0,π),∴〈DM , AO 〉=45°. （四）、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。
空间向量与立体几何 第二课时 空间向量的坐标运算一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ,,i j k 都叫坐标向量．),,(321a a a ),,(321b b b (1) a ±b ＝ 。
(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模长公式：若123(,,)a a a a =， 则21||a a a a =⋅=+ 21312||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+2||(AB AB x ==),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则AB ＝ ，= ．AB 的中点M 的坐标为 ．4、直线的方向向量的定义为 。
如何求直线的方向向量？5、平面的法向量的定义为 。
如何求平面的法向量？（二）典型题型探析题型1：空间向量的坐标例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A. ：||=：||B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各组向量共面的是（ ）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。
设a =，b =，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：∵A(－2，0，2)，B （－1，1，2），C(－3，0，4)，a =，b =， ∴a =(1，1，0)，b =（－1，0，2）.(1)cos θ||||b a 52001⨯++-=－1010，∴和的夹角为－1010。
(2)∵k a +b =k （1，1，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2）， k a －2b =（k+2，k ，－4），且(k a +b )⊥（k a －2b ），∴（k －1，k ，2）·（k+2，k ，－4）=(k －1)(k+2)+k 2－8=2k 2+k －10=0。
则k=－25或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。
（+）(k －2)=k 22－k ·－22=2k 2+k －10=0，解得k=－25，或k=2。
题型2：数量积例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －）·=_____.（2）设空间两个不同的单位向量=(x 1，y 1，0)，=(x 2，y 2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于4π。
(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π)。
解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－21）=13。
（2）解：(1)∵||=||=1，∴x 21+y 21=1，∴x 22=y 22=1. 又∵与的夹角为4π，∴·=||||cos 4π=22222111++=26. 又∵·=x 1+y 1，∴x 1+y 1=26。
另外x 21+y 21=(x 1+y 1)2-2x 1y 1=1，∴2x 1y 1=(26)2－1=21.∴x 1y 1=41。
(2)cos<，||||b a 1x 2+y 1y 2，由(1)知，x 1+y 1=26，x 1y 1=41.∴x 1，y 1是方程x 2－26x+41=0的解. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42611y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42611y x 同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42622y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42622y x ∵≠，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+==,426,4261221y x y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-==.426,4261221y x y x∴cos<a ，b >=426+·426-+426+·426-=41+41=21. ∵0≤<，>≤π，∴<，>=3π。
评述：本题考查向量数量积的运算法则。
题型3：空间向量的应用例4、（1）已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43。
（2）已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功。
解析：（1）设m =(113+a ，113+b ，113+c )，n =(1，1，1)，则||=4，||=3. ∵·≤||·||， ∴m ·n =113+a +113+b +113+c ≤|m |·|n |=43. 当1131+a =1131+b =1131+c 时，即a=b=c=31时，取“=”号。
（2）解：W =F ·s =(F 1+F 2+F 3)·21M M =14。
点评：若=(x ，y ，z)，=(a ，b ，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2).此式又称为柯西不等式(n=3)。
本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。
空间向量的数量积对应做功问题。
（三）、强化巩固训练1、(07天津理，4)设、、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）b 不与c 垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有（ ）A.①②B.②③C.③④D.②④解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；答案：D ②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b ·c ）a －（c ·a ）b ］·c =（b ·c ）a ·c －（c ·a ）b ·c =0，所以垂直.故③假；④（3a +2b ）（3a －2b ）=9·a ·a －4b ·b =9|a |2－4|b |2成立.故④真. 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。
2、已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ． 解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，∴()()30,1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解此方程组，得7211,1,,101010x y z λ=-===。
（四）、小结： (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．（五）、作业布置：课本P56页A 组中6、11、12、19课外练习：限时训练53中2、4、7、9、10、12、14五、教学反思：。
