3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 (i)两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 O A =a, O B =b,则∠AOB叫做
向量a与b的夹角,记作 b>= ,则称a与b
2
<a,b> ,其范围是
0≤<a,b>≤π ,若<a,
互相垂直 ,记作a⊥b.
BC =-a+b+
分配律:a· (b+c)=
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 数量积 共线 垂直 模 a· b a=λb(b≠0,λ∈R) a· b=0(a≠0,b≠0) |a| 夹角 <a,b>(a≠0,b≠0) 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面. 其中不正确的命题是 .
答案 ②③④
解析 ①正确;对于②,|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充分不必要条件;对于 ③,a与b所在的直线可能是同一条直线;对于④,必须满足x+y+z=1,故④ 错.
考点突破
考点一 空间向量的线性运算
1
1
1
1
2
2
2
5.下列命题:
A B + D A =0; B C + C D + ①若A、B、C、D是空间任意四点,则有
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件; ③若a、b共线,则a与b所在直线平行;
O P =x O A +y O B +z OC ④对于空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若
1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是 ( A.2,
2 1
)
B.- ,
3 2
1 1
C.-3,2
D.2,2
答案 A ∵a∥b,∴b=ka(k∈R),即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),∴
6 k ( λ 1) , λ 2, λ 3, 2 μ 1 0 , 解得 1 或 1 μ μ . 2 λ 2k, 2 2
典例1 (2017四川内江六中期末)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1 D1中,设 A B =b, A D =c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c A A =a,
1
表示以下各向量: (1) AP ; (2) A N ;
1
M P + NC . (3)
(ii)两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则 积,记作 a· b ,即a· b= λ(a· b) ; b· a ; a· b+a· c . |a||b|cos<a,b> 叫做向量a,b的数量
|a||b|cos<a,b> .
(2)空间向量数量积的运算律 结合律:(λa)· b= 交换律:a· b=
或 O P = u O M +v O A +wO B ,其中u+v+w=
1 .
(3)空间向量基本定理
如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任意一向量,那么存
在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a= 这个空间的一个基底. λ1e1+λ2e2+λ3e3 ,其中{e1,e2,e3}叫做
O A +t OB O P =⑩ (1-t) 或 .
(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:p=
xa+yb ,其中x,y∈R,a,b为不共线
M P =x M A +y M B 或对空间任意一点O,有 向量,推论的表达式为 OP =
M A +y MB O M +x
理数
课标版
第五节
空间向量及其运算
教材研读
1.空间向量的有关概念
名称 零向量 概念 模为① 0 的向量 表示 0
单位向量 长度(模)为② 1 的向量 相等向量 方向③ 相同 且模④ 相等 的向量 相反向量 方向⑤ 相反 且模⑥ 相等 的向量 a =b a的相反向量为-a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相⑦ 平行或重合 的向量
1
解析 (1)∵P是C1D1的中点,
A P = ∴ A A + A D + D P
1 1 1 1
A D + D C =a+
1
1
2
1
A B =a+c+ =a+c+ b.
1
1
2
2
(2)∵N是BC的中点,
A B + A N = A A + BN ∴
1 1
A E = A A +x A B 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若
1
A D ,则x,y的值分别为 ( +y
)
A.x=1,y=1 C.x= ,y=
2 2 1 1
B.x=1,y=
2
1
D.x= ,y=1
2
1
A E = A B + A D ,故x=y= A A + 答案 C 易求 .
2
a1 a 2 a 3
2
2
cos<a,b>=
2
a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3
2 2
a1 a 2 a 3
b1 b 2 b 3
2
2Hale Waihona Puke 25.两个重要向量
(1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所 表示的向量,一条直线的方向向量有无数个. (2)平面的法向量 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显 然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.
共面向量 平行于同一个⑧ 平面 的向量
a∥b
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理 空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ,使得⑨ b=λa . 推论 如图所示,点P在l上的充要条件是
O P = O A +ta(O为空间上任意一点). (*)
A B =a,则(*)可化为 AB O P = O A +t 其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取
